장음표시 사용
121쪽
Unde est , quod congeries ex radicibus quadratis omnium ordinatarum in quadrilineo Ac DB se habebit ad eumulum ex radicibus quadratis cunctarum ordinatarum in alio quadrilineo redo ut arcus parabolicus AC ad arcum I c; quandoquidem illa congeries aequatur producto ab arcu AC in radicem ipsius 3 o ; productumque ab hac radice in arcum I c sequatur Praedicto cumulo.
Et in quadrilineo Acoa ordinando quamcumque rectam GH, se habebit ubique AB ad GH ut m Bo cum P semι para- metri ad hoc q: cum q: H D. Etenim, in parabola, i l est i P ad ι E ut q: G p ad q: IE; idemque a P ad Io, subquadruplam parametri l E, erit ut q: GP ad q: semiparametri; & componendo, erit po ad io, vel GH ad I Ο, ut q: G P cum q: semiparametri ad hoc q:, & pari modo reperitur Io, ad AB eile ut q: semiparametri ad hoc q: cum UBo: unde ex aequo, & convertendo constat propolitum.
SI circa axem x E datae FVperbolae M u N s descripta At parabo.
sica cur &. IO , verticem halens in centro Θperbola, p rametrumque habens aequalem coniugato L L .uuadrilineum Θperbolicum Mus K ab is,m a duabus ordinatis Κ M . s Q UIecundum axem y y aequabitur rectiso sub δε- mitransversum l N primi axis E x in parabolicum arcum o v comsrehesum inter Vsas ordinatas , O huic arcui erit analogum in gracitate. Hanc propositionem egregie jam demonstratam video a Rev. P. Abbate Grandi, insigni nostri temporis Mathematico, & in Pisano Licaeo Matheseos prosellore dignillimo , cui s ut cetera taceam ) secretiora, & magis abstrusa Geometriae mysteria non sunt
122쪽
sunt abkondita; quippe qui omnes latebras, & recessus per
vestigavit. Nullatenus tamen meam qualemcumque demolir tionem non reticebo. Abscindatur igitur ab axe x2 uItra parabolae verticem i seogmentum ic subquadruplum parametri LL, ordineturque per Crecta DCB, occurratque rectis GK - Sc productis; quatenus efficiat ut parabolicum quadrilineum o v v DB, in quo lil erit Eo t . ad π D ut q. C B cum q. I L ad q. C D cum q. I L, nempe ut q. xi
Cumq: et L ad q: cum m i , & ob hyperbolicam sectionem ut o MK ad q: S u quare MK ad s a erit ut radix quadrata ipsius
o B ad radicem quadratam recta: v D : & ordinando quamcumque aliam rectam EF nu ad secundum axem v erit quidem us ad Sa ut radix quadrata rectae nE ad radicem quadratam rectae D V;& similiter is ad s o erit ubique ut radix quadrata rectae IC ad raohcem qu dratam rectae v D. Rebus sic stantibus. Rethmium sub iN in κα eandem habebit rationem ad hyperbolicum quadrilineum M u s. c. quam Psoductum a radice ipsius ic in κα ad coacervationem ex radicibus omnium oris dinatarum in parabolico quadrilineo on DB : quo carca rectratum sub iN in parabolicuin arcum ouu se habebit ad hypeta holicum quadril incum Mus c ut productum a radice rectae r Cin eundem arcum o v v ad praedictam coacervationem. videlicet in propmne aequali. ix ex Similiter reperietur quadrilineum hyperbolicum MuFR aequari ree mlo sub iN in arcum parabolicum on; proindeque quadrilineum M tis mc se habebit ad quadrilineum Mu FK ut rectra .lum lub iN in arcum onu ad rechmium ipsius IN in arcum o Hves ut arcus Ου v ad arcum On ; S. arcui On V analogum erit in gravitate, &c.
Quadrilineum h7perbolicum Music erit ad redimium IN , Ic ut parabolicus aicus uno ad rectam Κα, quandoquidem ipsum quadrilineum rectrato sub 1 N in arcum uti o adaequatur.
123쪽
Si recta G Η eum recta La claudat, intre ordinatis v M . Sc triangulum, aut quadrilaterum GHω , sumptaque sit quarta proportionaliis Q. A post tres N . uJc . - H a --: GK .Hyp rbolicum quadrilineum Mus uoc erit ad rectilineum LN uJ ut Parabolicus arcus uno ad iplam quartam proporti
t. Etenim quadri lineum Mus ας iam aequatur producto ab arcu Uno in Ni, rectilineam vero GH c aequatur rect m lci sub KQ in B LG Α, vel sob hypothesim rect lo I ri illudque quadris meum ad hoc rectilineum esse. dubet ut rectis
lam arcus Uuo in NI ad reci lum N L . A scilicet ut arcus uno ad rectam mΑ-
Quamobrem differentia quadrilinei hyperboli et Mus αλ rectilineis Cusic aequabitur rect is lo sub semitransversum i N in disterentiam parabolici arcus vuo a recta αδε . eritqua at Idem rectilineum ut haec differentia ad rectam a L.
Bilineum hyperbolicum suNM, cujus axis x Fr, se habebit ad AS tri istum s NM. ii, eadem base s M. & altitudine x N constitu-tuni. ur ditarentia quartae proportionalis ui post treS i N. IX-S M supra parabolicum arcum o iv ad dimidiarii disserentiae ipi ius quartae proportionaliv supra tertiam S M. Compleatur rect tum M K M per rectas MK . Sa ordinatas ad coniugatum axim II: & Cum ponatur IN ad I x, nempe ad Z MK - Δ Suo ut S M, seu TQuid c , erit, convertendo,& per convertionem rationis. ix ad x N ut A id ΑΚ, & Ix d xN ut A ad I ΑΚ : atqui bilineum MNus disterentia
scilicet hyperboIici quadrilinei Music a parat immo MK S est ad ipium parallminum sper praecedens corollarium) ut desectus
124쪽
fectus arcus uno a recta αδε ad αδε, & hoe parali ramum M K s est ad trimium MNs ut Ix ad 2 N X, vel ut RQ ad Δ AK; erit ex aequo bilineum MNus ad trimium MNS, ut arcus par holici uno desectus a recta os ad ρ AK, nempe ad dimidium desectus rectae s M ab ipsa Q A.
THEOREM A XXXVI. Propositio ΑΟ.SI ensui y i potentis quadrarum semiparametri i L dati
co uiis Parabolici & I o , cum q: radii E o basis & O .re ' ''Iupra i am Iemiparametrum L , ita dividatur in R , ut y L ad a L Ie habeat in ratione , in qua es 3 L i -- 3 y r ad
L I -- 2 y I : curva superficies ejusdem conridis & i o ad harisim & o eandem habebit proportionem, quam R I ad I L. Ab axe i E abscindantur partes lN . IZ semiparametro IL, A inter se aequales, & in plano parabolae Olo, quae datum cono-ides genuit, Sc Circa eundem axim I E describatur hyperbola sequitatera PNuM, Vertices oppositos habens in punctis N. E, centrumque in i, & per punctum o Ordinetur recta Mog ad axem coniugatum y Κ , Compleanturque rect mla M Κ I x . I N D κ δ Et quia q: x i s ob aequilateram hyperbolam sequatur duobus simul qq: i N. x M, nempe qq: IL. DE, Vel, Ob hypothesim, uni co quadrato I I, recta xI, Vel MK aequabit II: & x N aequabit
Et quoniam parabolicus arcus Io quadrilineo hyperbolico tia Mu Nix est in analogus in gravitate , mis I x intervallum a pro mcentro gravitatis arcus Io Puta intervallum E idem erit ιδὶ iii ..cum distantia ejusdem axis Ix a centro gyaVitatis quadrilinetisreb iri Mu Ni κ; & insuper idem arcus io ad semiordinatam o E se ha hebit 3 ut quadrilineum Mu NIK ad rectra Ium Ni KD; idest in propra ne composita ex ratione ejusdem quadrilinei Mu NIK p .pim ad trapetium MNI K seu ratione tΑὶ rect ii y L H Ri ad rect* i. 3-lum o Ea & ex ratione trapetii MNI K ad rect Ium NK, seu, .uoros.
Iigitur, quod quadrilineum Mu NIK adrect tum NIKD, vel arcus io ad rectam OE, se habebit ut productum ab Ri in rect talum ac Ma i i L. vel in rect tum Ex N, vel in q: x M, seu
125쪽
in q: OE . ad productum a is x in rectis lum o Eoia vel potius
ut rectis tum ni M E ad duplum rect Ii E NIL . . . .
Quare proportio, in qua est curva superficies conoidis Oiad circulum d o. .& uuae componitur ex ratione arcus opp. i. i. ad D E radium circuli I seu ratione rectrali RI M o E ad du-Plum rectruli Ea Mi L J & ex ratione Eixi EO vel ratione dupli rectisti ΕαMi L ad rect m tum Eo M i L similis erit rationi rectruli ni in E ad rect m tum Li MoE, scilicet rationi R I. L. Quod, &c.
Ex progressu demonstrationis constat arcum parabolicum o Iesse ad semiordinatam O E ut rectritum RIMO E ad duplum
Idem arcus io se habebit ad axim iE ut RI ad E . Nam proportio arcus Io ad rectam o E, sive proportio rect αli arcus io in o E ad q: OE, vel ob parabolam) ad duplum rectαli Et L similis est rationi rect α li ni Mog ad duplum rectrali ΕαHIL; & permutando est rectrulum arcus Io in D E adrect tum RIMO E, sive arcus Io ad rectam ill ut duplum rect mli Et L pd duplum rectisti E M i L sive ut Ei ad Eud & iterum permutando; erit arcus Io ad EI ut IR ad E&z.
Ab indieata similitudine, quae reperitur inter relationem RI . LI, & inter Correlationem curvae superficiei conoidis parabolici ρο io ad hasim Oo infertur propositio sq. alio Progressis a nobis suo loco demonstranda: scilicet, quod utraque harum proportionum sequatur rationi , quam habet desectus Cubi ex semiparametro IL a cubo rectae LI, potentis q: ejusdem semiparametri IL, quadratumque semidiametri oE halis o drad tesquialterum producti ab ipsamet semiparametro IL in q:
126쪽
praefatae semidiametri Gg, vel potius in differentiam quadra
Etenim aggregatum qqt FG. LI rectulique IIv . aequatur sesquialtero tecti lorum oria. LlR ut mox Ostendetur ac pro Pterea productum abis in praedictunt aggregatum L scilicet cudisserentia cuborum at . I. I) aequiparabitur Producto ad In solum . in sesquialterum rectis lorum I in . LIR, nempe aequiparabitur se ut sesquialtero producti ab st i in differentiam sv qq. yl. Lir proportionique dimerentiae cuborum I l . . LI ad sesquialterum prod λζ. dii ab iti in differentiam qq: si . La vis milabitur proportio. l Iρρον quam habet ad sesquialterum hujus producti, sesquialterum e producti ab sti in ipsam differentiam q*II . Li, Vel quam hahet Rl ad IL, & per consequens etiam proportio Curvae superficiei conoidis edi Io ad basam Ero.
Remanet nunc demo stranda aequalitas inter aggregatumqq: II . LI rectri lique Fri . & inter sesquialterum duorum sumul redi m lorum FIR . Lia : quae provenit ex similitudine . quam ex hypotheli habent interse reiationes I L. RL ὲ 3I.I 3LI . LI- - a II; nam dividendo, erit IR ad RL ut a LI- r. ad LI- 2II; productumque ab extremis terminis producto
. THEOREM A XXXVII. Propositio. I.
Ss defectus Ur rectae τi potentis quadratum femiparametri n. 1 Sy.
dem proportionem habebit ad disserensiam basium Hv: ao , quam
127쪽
A conoidis axe abscindantur segmenta IN. IO semiparametro IL, & inter se aequalia: & in plano parabolae HIV, quae conoides procreavit, describatur circa eundem axem aequilat Ta hyperbola SN P, vertices oppositos habens in punctis Noe. centrumque in I, quaeque secetur in M. S a rectis KOM . Us ordinatis ad coniugatum axem I a per puncta vo: completi que rect α Iis ix Mx . t α Ss , quadratum XI aequabitur q: ΚM, vel sob uperbolam sequi lateram quadratis simul IK . IL, Vel OD . IL, leu ex hypothesii) qcladrato TI, ac recta xl rectae TIaequalis erit; & pari modo recta I G rectae II aequalis reperie
G - Et quia hyperbolicum quadrilineum se MKa est ad trape- , i lium SMΚQ ut rect lum I Υ Rr ad recitatum sub v v in cli- stantiam axis is a centro gravitatis ipsius quadrilinei, vel pa- έδὶ M p. raholici arcus V o, eidem quadrilineo analogi in gravitate 8 puta in distantiam C m) trapezium vero sMΚα est ad rect
vel quam productum ab RI in differentiam quadratorum II. TI, vel quadratorum Gl . X , Vel potius, s ob hyperbolam sequi lateram J m differentiam q* SG.Mx seu quadratorum CV Do, seu in rect tum H FV, ad Productum se I FbH Cm. vel quam habet rect tum RINHF ad duplum rectinii Li in
Atqui proportio, in qua est curva superfietes paraboIiei se
vo an ad differentiam basium seu circulorum ex radiis vc in componit ex ratione arcus uno ad rectam us nempe ratione rectrali R INHF ad rectrulum MLM Cm; & ex ratione cm. CV - 4 CF, vel rectrali ai L H Cm ad rectis tum ex 2IL, in ac V Φα CF; ac Propterea aequatur rationi, quam habet rectratum RIM AF ad duplum rectrali sub in in .s evcr. seu adrect mlum sub IL in QV - CF. vel ad rectis lum L RH F; consurulis erit etiam rationi RI . I L. Quod, &c. Diuitigod by GOrale
128쪽
Ex demonstratione constat arcum O n v esse ad rectam v p in Proportione Composita ex ratione RI . IL, bc ex ratione, quam habet vC- CF, vel unaca H F in a C m.
Similitet reperietur 'stod arcus Aio ad rectam ris se habo.
puncto ν inter illud L , in inter prae criptum terminum& ur rect-- ar Sc ex duobus figmeuiis By . y& 'habear ad quadratum y L iu data ralioue R . SSupra rectam describatur semicirculus & a tangente A er abscindatur segmentum A ct se habens ad Loin proportione subduplicata rationis uatae R . S '; quatenus relatio quadrati A ω ad q. ct L consimilis sit datae rationiae . S ; drinde juugatur tecta A L , quae semicirculi arcum secabit in aliquo puncto, puta ra quo agatur sinus ly . dico rectam B c divisam esse in hoc puuetosi justa quaesitum. Nam recimium Byω, sequans quadratum dii , se habebit ad q. IL ut q-Fr ad idem q: IL, vel ut Q AO au q: Loe, stilices in data ratione R . dcc.
129쪽
ipsius quadratum esun ιripsi quadrati y a sit ad triplum rect*ti y B L-rmione ab . ha majoris ime qum
Producatur L B in θ' ita ut Lidi ad La sit ut ad ad d b, &pet praecedens lemma, dividaturi recta Bre ita inter puncta crx in F, ut rectπlum BIor subtriplum sit quadratis L. quatenus triplum rect ii BF ct aequetur quadrato IL Dico quod tegmen
tum diti additum rectae B L quaesito sisti facit ira o .. /
A ρ ρ mi e Drabolico insinite loveo , portionem rectam
&ici abscindere , cuius curva superficies se habeat ad basem dc O in data proporatone a s majoris inaequalia
Esto LB parameter conoidis dimidiatus in vertice I, & existens in plano parabolae ctio, quae ipsum conci ides genuit; omdinatisque aequidistet: & per praecedens Lemma addatur rectae La hujusmodi segmentuni F L ut quadratum I L cum triplo quadrati dis se habeat ad triplum rect in liFa L, scilicet ad se luplum redimii I B l. in data ratione R . s: postmoduin ut q:Li adiplius defectum a q: I l ita fiat quadrans parametri L B ad ιε, & per punctum E ordinetur cuculus cto. Dico quod cuiva superficies portionis conoidalis ctio se habe. Diqitigod by GO Ie
130쪽
habebit ad cireulum o ut q: γ r. cum triplo φ F B ad se
luplum rect ii I B I . videlicet tu data ratione R .s . ex eo strum ne . Fiat N aequalis in. & in plano supradiclae parabolae. Circa eundem axem v N describatur hyperbola aequilatera MN P. verticem habens in N, centrum vero in I, & a teris mino o ordinatae ct o in illa parabola, agatur recta Κo Mad axem EN parallela, & quae cum hyperbolica curva claudat tu is quadrilineum MNig ames parabolico Io anaingam in gra- Iinoo sp
Et quia q: Let ad ipsus desectum aq: si est per constructionem ut parametri BL quadrans ad I E. scilicet ut quadrans quadrati L n ad rectis tum L Brixae vel ut q: Li ad q: E O ; hoc q: E o illi defectui aequabitur , ac propterea quadratum II, duobus simul qq: i L. Eo, vel sq: I L . i K, vel sob byperbolam) unico quadrato x M aequale erit: & I B erit aggregatum, at IL erit differentia halium M K. iN quadriliuei hyperbolici
Praeterea completo Tectis Io Nix D. quadrilineum MNix erit ad rectrulum NK ut parabolicus arcus Io ad O E : at axis 'NE distantia a centro gravitatis quadrilinei MNi K ad dista tiam ejusdem axis a centro gravitatis rectrali NK , nempe ad dimidium iptius Εο, est ut axis intervallum a centro gravitatis arcus io ad intorvallum axis a centro gravitatis rectae OE, scilicet ad iplius Eo dimidium: unde infertur quod curva superficies genita circa axem NE ab arcu parabolico o I ad circulum radii .o E svidelicet curva superficies conoidis Oio ad basim o o) se habebit ut ibi ilum similiter progenItum a qua- . .drilineo MN ix ad cylindrum factum a rect lo κ H , vel po- δε Laius 3 ut q: IL cum triplo q: F Bad sextuplum rect m li I B i, δα.