장음표시 사용
131쪽
eus parabolici P v r supra duplum minoris arcus v L ut quadrantum fimi par ametri i L ad qr prioris ordinara R U .
Completo rect m M oncor sub integra ordinatam vo in abscissam R i , & facta i s aequali I L , deIctibatur circa axem Tl hyperbola aequi latera ABS, centrum tabcns in I. verticem in B ; postea protractis rectis ov. t ad hyperbolam in A, S, Claudatur rcei luna An iis per junctam AS, quae ad axem Ix erit ordinata: & a centro I agatur per S recta IF , quae hyperbolae dia in uter erit; & ad hanc diametrum IF ordinetur am puncto B recta B pM , quae tangenti verticali s puta Ns si M. i aequid litabit; Sc a punctis F , M ducantui rectae FG, M K rU 47. ad axem x I paraliciae ; sumaturque i a quarta proportionalis post l B . i K . LMK-- BI, scilicet post trcS IB. I Κ. GF quippe Cp aequat scinistem ciuarum simul MK. IB) quatenus trape
i ,3 n L. Et cum . ob tangentem SN l l relatio X I. Is rationi Bi .i N. eouie. seu FI. is sit Contimilis inter se aequabuntur hyperbolica hi-δ ' D linea AB s. BsM, ut ad propositionem 3 s. innuimus. Et quia ex hyperbolae aeqvi laterae natura, di isterentia qq: XI. BI quadrato S x, vel quadpato R v est aequalis ; quadratum x I lum maeqq. IB. RU , Vel quadratorum I L. RV aequabitur; atque relatioq: IL acq:. XI similis erit rationi ejusdem quadrati IL ad mIL cum q: Ru , vel tota hypothesim rationi, quam habet
quadruplum q: Ru ad q. . T P, seu rationi q: o v ad q: et p. Quia vero vo dupla est iptius i , & Κ dupla partis is ;relatio OV. IK. rationi iaci I G. vel SL. IF , Vel rationi IN. is,
sive I B . ix assimilabitur ; ratioque quadrati ou ad q: i x rationi. q: I B ad q: I x . seu quadrati I L ad q: i x , vel rationi q: o v ad q: T P consimilis erit ὲ quare rectae I K. aes inter se aequabuntur, atque recta ΚM axi lx aequid illans iatransire debct per punctum P , Producia li opus fuerit.
Ulterius cum tu ad ix nempe ad dimidium summae basium aequalium sin. An hyperbolici quadrilinei sΗΑncis situi. OV , vel ut ad IK . ideoque lΚ Fit quarta proportionalis post trcS I Η . II . I x ; rect m luia sub I B in cellum rectae tu supra parabolicunt arcum v IO, Vel supra duplum arciri VI ,.i,i aequabitur excellui quadrilateri Λ/ι G supra quadrilineum
132쪽
Byperbolicum saAn , idest hyperbolico bilin eo Aas, sta
At huic hilineo Mss, nempe excessiti trapetii Maix supra quadrilineum M s Bix aequatur redi m tum sub in in excellum rectae a i supra arcum pi; quandoquidem ipsa al, per constructionem est quarta proportionalis post tres IB.lK. GFὲ hoc igitur rechmium aequabitur rect lo ex in in excessum reae ix supra duplum arcus vi ; & huic excessui aequalis erit excessus rectae a I supra arcum P I : & permutando excessus a K rectae Iasupra rectam IK aequabitur excessui arcus Pi supra duplum ar
Denique relatio IB. ix similis est rationi i N. IB, vel IS. F. Vel rationi as. FG, seu TI. FG: unde quadratum IS ad q. IT erit ut a B ad GF, sive s ob constructionem) ut iκ ad ia: dc dividendo crit iκ , seu Υp ad K a s nempe ad excessum arcus Pi supra duplum arcus vi ut q. Is ad disserentiam qq. IX. 3 B , vel ut q: IL ad q: sx , seu ad ψ RV, &c.
AD axem i et datae semiparabolae infinite langa duas ordia n. asti
nare rectas P T. R v. quarum major P Υ se habeaι ad mesum arius vi supra duplum arcus vi in dura quacumque proportIoue S T. Esto l L param cter, & ab axe IZ protracto ultra verticem Iabscindatur pars IH subquadrupla ipsius IL, & per consequens lubdupla semiparametri Io; quatenus q: O sequetur rect α lo H i L; dataeque rationi f. T consimilis nat relatio I H. IR:& ut i M ad N R ita fiat 43 R ad I T . & a punctis R . T Ordianentur fectae RV. ΥΡ : dico solutum esse problema. Etenim ut i H ad la ita est rectis tum Mi L ad redi α Ium RIL, vel ita ': Io ad q: VR: unde quadratum to ad q: Iocum q: V R erit ut I H ad II R , vel . per construetionem , Ut i R ad lT , vel potius ut quadruplum q: VR ad q: PT ; obparabolam: Ordinara igitur PT ad excelsum arcus Pi supra duplum arcus vi erit si in ut T IO ali VR, velut tri ad 1R, o, lisset. . 'scesicet in data ratione S. T. irm
133쪽
Consideratione non indignum puto, quod ubi ordinatae maioris P T abicissa T i dupla sit parametri I L , abscilla veroea I minoris ordinatae se iubquadrupla sit ipsius parametri I L. proiiidcque sub octupla illius abscillae Ti: prior ordinata Paeae qui parabitur de fuctua duPIl arcus minoris VI ab arca maj
- Quandoquidem proportio . quam habet 4ia ad rae erit subdupla, atque relationi IH .HR consimIlis, ac propterea O linata PT aet desectum clupliamus vι ab arcu Pi se habebiuut i H affin, scilice L in Proportione aequali.
I ta parasiostea curva &iv se referente ad axem x et ,
quo , per duas quascumque diametros C&. Da ab istus θι arcus dc a : alium arcum, tu i a curva. aginare esus excessur, atii defeerua a duιo arcu ae&. aequetur GIam rectae bd. Ab axe ax abscindantur segmenta I Z. IB. semiparametro, Scinter se aequalia ; protractisque diametris Gese A. Da E usque adverticalem ordinatam os in C, D dimidietur dii antia CD in F, COmPleanturque tri-la CZI. FZI. DEI rect α la in I. his politis animadvellendum est, quod ubi alii gnandus arcus deficere debeata dato arcu a O ; quarta proportionalis- sputa te ). post semi-Parametrum I B, pos disti,ntiam CD diametrorum C, . Da,ti post dimidium sum rive duarum rectarum CZ . DE squarum altera Da possit quadratum semiparametri L Z cum qr dillantiae Di & reliqua. CZ pollit quadratum distantiae CI cum quadratulami parametri rg, se habeat ad datam. rectam bd in proportione maiori , quam duplicata rationis illius, summae DE CEad duplam distantiam is verticis I a puncta E dimidiante supradiatam. distantiam C Π . Appi edur u uno iv angulo recto cin per punctum m
134쪽
dium s distant m c D recta FR aequans dimidium summae ipsi Fum CZ. DE , quae Coniunctam FT excedet ut infra patebit
Et Inventa quarta proportionali Ie post tres IB. CD. FR ;Proportio q: RF ad q: RI quae est proportio non deficiens major eris ratione Le . l e --b d, quae minoris est inaequalitatis .
Immo ubi areus assi gnandusdeficere debeat a dato arcu a O, Proportio quadrati RF ad q: Ri major erit etiam Ie. Ie-bd; quandoquidem ponitur in hoc casu te ad bd majorem hahe- Te rationem, qaam daplicatam rationis summae rectarum C a. D Z ad duplam si, , vel quam duplicatam rationis, in qua est diis midium Est illius sumniae ad si , vel potius majorem habere rationem, quam q: FR ad q: FI; & per convertionem rationis. quadratum a P ad q: RI in maiora ust Latione , quam te ad I e b d. Praeterea a pnneso R applicetur in angulo recto RiN recta RN ad cujus qt te habeat quadratum Rr ubi Inveniendus arcus excedere debeat datum arcum a ) ut i e ad re- bd,& in reliquo casu ) ut i e ad se - bd: & in utroque casta, ut F R ad n N ita fiat F D ad N Κ & ita D C aa duplam Κ 2 ipsius κN; & a punctas K.. s ductis parabolicae curvae diametris
RTQ . SYM : dico quo u Parabolicus arcus Tu problema r silvcl. Ad hoc demonstrandum deseribatur circa a em. Ex aequilatera hyperbola HBO, Gntrum habens in I, verticem vesci in η , reclisque CA DE Occurrat in A. E ; ac recte Fri, iisdem
parallesae occurrat in H . Et quoniam Lob ipsam hypei bollam l
135쪽
fiat igitur huie NR aequalis N p , & per P applicetur , in hyperbola AB M, ea recta QM , quae ab ipso puncto P dimidiae tur quod obtinebimus ordinando per P rectam cLM ad hype holae diametrum ductam per P, & per centrum i & ab hujus
rectae ara terminis agantur rectae a n. Mm parallelae ad PN. Et cum P N aequet RN , Per constructioncm, & DN rectam N Z ; disterentia quadratorum P N . O N aequabitur differentiaeqq: RN. ZN , seu quadratorum Ri. ZI , vel quadratorum FR. FZ, vel quadratorum GP. H F; ac propterea bilinea ΑHE. M Minter se lil erunt aequalia ; & amplius CD ad n m s* se habebit ut A C--Ε D ad os --M m , vel ut GF ad Pri . sive sobconstructionem) ut CD ad Ks : unde est quod rectae mu. Κ sinter se erunt aequales, & scum ab eodem puncto N dimi-dientur) sibi ipsis omnino congruent. Praeterea rectilineum AC DE ad rectilineum QAs M se habe.bit l3J in proportione duplicata rationis G F. P, , seu rationis FR.RN, scilicet ut i e ad summam subi arcus vae debeat esse major arcu a ct J S. ad differentiam ipsarum te . bd. in relia quo casu, sive ut rectra luna sub i a in I e ad rectra Iuca sub iain praedictam summam, aut differentiam. At cum R P , nempe dimidium aggregati basium AC. DE qua Milateri AE DC, sit ad te ut is ad CD . per Constructa nem; idem quadrilaterum rect m lo lB, e aequale erit; ergo &quadrilaterum QAsM rect m lo sub IB in supradictam summam. aut disserentiam rectarum I e, bd adaequabitur . ratioque IB. ΝΡ conlimilis erit rationi , quam habet RS ad ipsam summam . aut disterentiam rectarum I e, bd. Denique rect m tum sub in in excessum rectae te supra arcuma et ' aequatur bilineo A H E , & per consequens bilineo os M, sive rect m lo sub iB in excessuin praedictae lumniae, aut disterentiae rectarum I e, bd supra arcum Tu : hic igitur excessus aquabitur illi excessui: hoc est excessus rectae r e supra a cum a aequabitur excessui summae aut differentiae rectarum i e , bd supra arcum Tur & permutando , eXcessus arcus TU supra arcu in a oe aquabitur excessui summae rectarum te . bd supra te, nempe aequabitur datae rectae bd. vel respective defectus arcus Tu ab arcu a ct aequabit desectum ipsius i e bd
136쪽
AD secundum axis y a datae buperbola AB M ordinare duas M. Isi.
rectas M Κ . M ad alteram partem primi axis x g, ita ut rectis lumDb absci m Ri, a majori ordinata MK, in semIIctus ira versum i L ejusdem secundi axis y a ad excessum Θριrbolici quadrilinei M soac inter ambas ordi alas MK . scompreheω,Iupra quadrativeum huperbolicum s Bi o ab c um a
uori oriunata s α , cy' a Irimo axe x Z, se habeaι tu data ratione R ad S . Datae rationi st ad s consimilis fiat relatio quadrati L i ad q: i & ut q: i L. ad q: i L cum q: l ubia fiat quadruplum q: i c ad U Κ, & a punciis α. Κ ordinentur reciae s. ΚM: dico has Ordinatas quaesito satisfacere . Ad hoc demonstrandum , circa axim x Z describatur parab lica curva o ip , verticem habens in I , cujus semiparameter sit iL , seceturque in v . P ab ordinatis S . ΚM, Sc ab ipsis punctis v . P Ordinentur reche UR. PT . Et quia per conlii uctionem, quadratum lL ad q: i L cum q:IR, seu cum qή RI est ut quadruplum q: I vel q: Ru ad q: K, seu ad q: PT; proportio, quam habet ordinata P T ad ex-ccisum arcus P v supra arcum i v similis i) erit rationi q: IL ad ν, ν ,.q: iri, scilicet datae rationi R ad s. Atqui hyperbolietum quadrilineum M s Bix aequatur cream sal ex O sub I L in parabolicum arcum i Up, dc eidem arcui est an aluia ρ σ39'gum in gravitate; proindeque cxcellus quadrilinei hyperboli- 'Ci M sam tu prae quadrili neu nys Bi equatur produdio ab I L in e celsum arcus parabolici pu supra arcum vi; redi α tuiti igitur κ i L eamdem habebit rationem ad illum excelIum , quam ad hoc productum, scilicet, quam iΚ, suu a P ad excessum arcus. PV iupra arcum IV, vel potius datam, habebit proportionem.
137쪽
DAtis duabus ordinatis Ac . DE adsecundum y y ex aribus datae curvae Dperbolicae A H B O, quae cum visa curva, ct cum ipso axe y y elaudant quadrilineum ΑΗΕDC: ordinare ad eundem axem y y duas rectus c . M s claudeu-tes hujusmodi quadrilineum Moagcs , ut Ustus diserentia ab illo quadrilineo AHEDc equetur dato rectangula fg. At subia ignandum quadrilineum a dato quadrilineo AHEDc depcere debeat) oportet rectilineum AEDE clausum per cordam Assi se habere ad datum rhesmism fg in majori prop mne, quam quadratum funimae ordinatarum AE . DE ad quaaratum culae a6D tia i F centri i a Dracto p dimidianae distanIMm c D illariam ordia
Ab axe ix abscindatur segmentum IZ aequans semitransversum L axis II, rectra loque is aequale fiat rect m tum sub iet in aliam rectam ι d , & jungantur rectae CE. OZ, quae Ordinatis AC . DE aequabuntur quandoquidem utraque duarum AC . CZ potest duo sintvl qq: cI . a L, & utraque duarum DE . D Z potest duo simul qq: DI . I L. Deinde inventa quarta proportionali rie post IL, CD, &dimidium summae duatum Ac. DE seu duarum CZ . DE . quatenus rect m luna IE . Ie remi inco AEDC adsequetur; pr
portio hujus refi m li iet , i e ad redi lum iE , bd nempe pro Portio I e . bd con imilis erit rationi rei uinei AE DC ad Ipsum rochmium iE , bd , vel ad reci lum Λ, & obnuoth sim) major erit subi assignandum quadrilineum delicere deis heat a dato quadrilineo AHED C)ratione in qua est q: summae reclarum ΑC . ED, seu CZ . D Z ad quadratum duplae F i. t Hispositis. Describatur circa eundem axem I E parabolica curva OI U, verticem habens in I, iami parametrumque aequalem ipsi IL, i&quae secetur a rediis Ac . DE in O a: postmodum in hac curva si assignetur huju: modi arcus vae, ut ipsius cisterentia ab arcu cta aequetur reflete bd, ita scilicet ut subi alsgnandum quadriluteum excedere debeat datum' quadrilineum AHE DC
138쪽
ipse arcus Tu maior sit arcu act. sitque minor in reliquo casu : & per puncta T V agantur rectae κα. S M ad axem lx aequidistantes: dico, quod hyperbolicum quadrilineum Mooscserit illud, quod quaerItur. Jam parabolica curva o iv hyperbolico spatio AH a M sc est analoga in gravitate, quadrilineumque AHE DC producto a recta I L in arcum parabolicum a ct iu adaequatur, pariterque quadrilineum M QIs producto ab ipsa IL in arcum v Taequale: ex quia recta bd. per contauctionem, est disserentia arcus v T ab arcu ad , rvi tum ba in i L nempe recto lumn illi aequale per constructionem erit disterentia producti ab in in arcum T v a producto ex IL in arcum a ct , scilicet disterentia quadrilinei Mouxs a qudrilineo AHED C. Quod, &C.
DAto ad alteram partem axis i E parabolicae curvae arcu P v, A. Isa. ita hiter duas Iemiordinatas P τ . v R constituto, ut fu druplum quadrati minoris semiordinatae v R ad q: mavoris Pae se habeat ut sim arametri io quadratum ad hoc e simia cum qἰ prioris sim ordinatae V R. Abscindi soles ab iba curva arcus, qui dati arcus Up sis δε- sius. Ut quadratum semiparametri io ad φ minoris semiordinataeva ita fiat major semiordinata PT ad rectam x , & producta
semiordinata v R in D, assignetur tu arcus MN, cujus excessus ti supra arcum VI D sequet duplum rectae x: Dico hunc arcum M N ρ ρ duplum esse dati arcus P V. . Cum PT ad x sit, per constructionem, ut io' ad DR , scilicet si ut PT ad excessum arcus Pi supra duplum arcus VI, seu ad excessum arcus P v supra arcum v l; patet hvac excessum aequa ri rectae x, ideoque excessum dupli arcus P v supra duplum v I Darcus v I, sequari duplo rectat x , vel excessui arcus M N supra arcum v ID , demumque arcum MN aequari duplo arcus P v. Quod,&c.
139쪽
π 'Atis duabus rectis inaequalibus ΑΗ . B c quarum major sis' as, datisque tribus numeris m .'n . u, quorum primus Ase m . reli is duobus simul jumptis aequetur.
Dico quodisseremia, qua efiinter pote nates rectarum ΑΒ . B indicatiss po majorem numerum, aequatur duobus pro clis, primum ni me ex A B in A P-C P bactum a potestate alteriuς ω-ctae A B denominata ab altero n minorum numerorum in disseremtium stosestatum utrarumque rectarum ΑΒ . B e, iudicatarum per retiquum numerum v ) secundum autem a CBη m A B -C M tDLI In a potestate reliquis linea C E denominata a tertio numero uin disserentiam potesatum earundem recitarum, indicatarum persecundum Mumerum n J .. Jam AB' aequat productum ab A M in Ae siquidem ex hypothesi exponens m aquatur reliquis u-nJ vel potius aequat productuim ab Α Η in Ca , una cum producta ab AP in Αν CBR . ' . Atqui productum ab A in ca aequat produllum a C Pin CP una cum producto a Cy in AB -CB . AB 'igitur adaequabitur aggregato trium productorum, quorum primum est AB in AP-C P. secundum e It CP in AB CB , atque tertium est ca' in C ,. quod idem est cum CB . Et ablato hinc inde ca , necesse est AB - CB aequare productum AE , AP-cν una cum producis a CP in AE - CP.
Uinc colligitur quod Ohi minores numeri u . u inter se sint
aequales, disterentia inter potestates rediarum AB . BC denominatarum a majori num. m aequatur producto a disterentia in summam potestatuni earundem rectarum AB , CB indicatarum Per alterum minorum numerorum . Scilicet Α Β - C B aequat Productum ab A.BR CB in ΑΒ' -- CB .. Cois Diuitigod by Coosl
140쪽
Quamobrem ubi major numerus m hinario adaequetur differentia quadratorum As . ca aequabitur rectis Io sub differe tiam AC in summam rectarum ΑΒ . CB. Quippe in hoc casu uterque minorum numerorum n . maequalium unitatem adaequare debet.
Ulterius ubi aIter ia minorum numerorum n . . unitatem aequet differentia potestatqm Ae . ca aequabitur producta ab Ac in potestatem Aa' una cum producto a CB in differe tiam potestatum ΑΒ . CB . in hoc enim casu differentia potestatum AE . CP est a C.
Et dum alter u ex minoribus numeris n. u unitatem aequet. atque maior numerus m ternario sit aequalis ι differentia cuborum AB . CB aequabitur producto a quadrato AB in AC una cum producto a CE in differentiam quadratorum AB . Cs, seu 'cum producto a ac in rectis tum sub Ac,& sub Aa-ca; scilicet aequabitur unico producto ab Ac in aggregatum rectrali ABC, quadratorumque ΑΒ . BC. Reliquus enim numerus v in hoc casu aequiparatur bina.
DA a serie quotvis numerorum I. 1. 3. s. 6. &e. ab unitate incipientium, dari que duabus lineis AB . Da inaequalibus, quarum disserentia sit A D , summa vero A O,
ita ut B o aequet D B . Dico quod diserentia potestatum A n . D B , denominataruma maximo datorum numerorum, aequabit productim a die rentia A D si eurum in aggregatum ex potestate majoris linea A B den M a miNais Diuitigod by Cooste