장음표시 사용
51쪽
rumdem arearum respective jaceant, ipsasque areas non secent;& per integras ipsarum arearum revolutiones circa rectas E F. V. tamquam circa axes effetantur solida rotunda, aut armillaria ab ipsis mei areis ; sequentes suppono conclusiones, iam ab aliis ostensas.
Proportio, quam habet solidum factum circa axim Es ab area AB c D ad solidum genitum circa axim e s ab area ab e d . componetur ex ratione illius AB c D ad hanc aream ab cd, doex ratione distantiae iis ad distantiam bg., ILArea Aac D ab aream a b c d se habebit in propmne compo. sta ex ratione prioris ad posterius solidum, & ex ratione, quam reciproce habet distantia D g ad distantiam H G. III.
. i Distantia Ho ad distantiam bgerit in propaene compositaex ratione primi ad secundum solidum , & ex ratione , quam habet reciproce posterior area ab c d ad Priorem A B CD. . ,. IV. Et ubi praedicta solida inter se sint aequalia, altera area AB coad reliquam ab ed erit reciproce, ut distantia b g ad distantiam f
Si altera ab ed ex datis areis sit parat mum , cujus, )duo latera opposita a b . c d rectae e s aequidistent , ae reliqua latera opposita a d. bc distantiae B g sint parallela: solidum descriptum circa axem E F ab area ABCD, ad soliis dum procreatum circa axem e s ab area ab ed , se habebit in
proPortione composita ex ratione areae ABCD ad parat Immum
52쪽
Si praedictis axibus, de in planis datarum arearum ΑΒ D. ab c d aequid istent rectae o N P . ovst , quae rectis HG. bg Occurrant in N. n. at iplas areas haud secent. Summa in v. i. disterentia vero, in n. a. O 3. solidorum . Circa rectis Es, o P descriptorum ab area AB co se habebit ad solidum genitum circa axem e s ab area abcd, in proportione composita ex ratione illius ABCD ad hanc aream ab cd,t& ex ratione ditantiae G N ad ditantiam g b. Atque
via. Pretedicta summa, aut differentia solidorum, circa rectas EF. OP genitorum ab area ABCD erit ad summam , in M. ι. 3. &ad differentiam in n. a. solidorum, circa rectis e f. o p Proin Creatorum ab area ab ed, in proportione compossita ex ratione areae ABCD ad aream ab ed, & ex ratione distantiae G N ad ditantiam g n.
DAtis duabus areis Ap HBc . NE OBC, ad eamdem diame--ν. rum B c se δε liter referentibus, ct ita ut unaquaeque ordinata Fae, in altera area Ap HBC, ad homologam ordiuatam TE, in reliqua area N Boac , sit ut constans recta B Z sid re pectivam partem ae s ipsus diameιri; I. Prima area Ap Mac se habebit ad 'cundam N BOB M praedicta conmns recta set ad ordinatae B M intervallum a centro gravisatis illius area Ap HB c. Et prioris area sigmentum s it fcomprehensum inter duas quascumque ordinatas f t, f t , erit bomologum posterioris areae segmenIum e it e ut inameo recta BE ad ordinata a M distantiam a centro gravitatis illim segmenti s it f. Et II. Solidum, circa ordinatam B M descriptum a prima area AFH sc ad solidum Amiliter genitum a secunda area NE OBC, se habebit, ut praedicta constans re a Ba ad ordinata a M ime
53쪽
Eum a centro gravitatis hujus areae N E o B c: atque solidum descriptum quidem circa ordinatam B M a prioris areae segmemto, inter duas quascumque ordinatas f t. f t comprehenso , ad solidum simili modo progenitum ab homolopo posterioris areae se mento e t te, eris ut ipsamet recta B E ad orinatae B M a stantiam a centro gravitatis hujus segmenti e it e . Dummodo Praedictae ordinatae B M intervalla a centris gravitatis, diametro communi C B parallela perpetuo intelligantur. Ex hypothesi, si ad ι e est ubique ut En ad ιB ; ideoque rectis tum si s rect m Io te. BE, superficiesque , circa rectam B M descriptam per ordinatam fι aequatur differentiae superficierum progenitarum circa ordinatas B M . E L ab ordinata t erunde solidum, circa BM genitum ab area Ap HBc, vel ab ipsius segmento f it f) disserentiae solidorum, circa rectas B M. EL descriptorum ab area N E o B c vel ipsius respectivo segmento et te) aequiparabitur; & per consequens area AFΗBC ad aream NE OB erit ut recta EB ad rectae EM intervallum a centro gravitatis illius areae AF Hac : atque segmentum s ν ι ferit ad segmentum e t te ut recta BE ad ipsius B M distantiam a cenistro gravitatis illius segmenti fit f. Praeterea proportio solidi geniti circa B M ab area AFΗBC, ad solidum similiter progenitum ab area NE OBC; quae componitur ex ratione areae AF HBC ad aream NE OBC nempe ratione rectae BE ad rectae B M intervallum a centro gravitatis illius areae & ex ratione hujus intervalli ad ipsius a M distantiam a centro gravitatis areae NE OBC; aequari debet rationi, quam habet EB ad hanc distantiam.
Pariterque proportio solidi, circa BM descripti ab area 1 ιr fad solidum simi Ιiter procreatum ab area e ι te; quae componitur ex ratione illius 1 ιι f ad hanc aream e it e scilicet ratione rectae et B ad rectae B M intervallum a centro gravitatis pri ris areae fit f) & ex rarione hujus intervalli ad ipsius B M distantiam a centro gravitatis posterioris areae e tι e; consimilis erit rationi, in qua est EB ad hanc distantiam, quare,&c.
t. Unde est, quod area AFHac ad summam ambarum A FH BC.
54쪽
NEoae se habebit ut ipsa constans recta BE. ad aggregatum ejusdem set, ac distantiae, qua ordinata B M longe est a sentro gravitatis illius areae Ar Hac; nempe ad intervallum hujus centri ab ordinata EL . . II. Et pariter area fit fad ipsam cum homologa e ιν e erit ut ipsa recta Es , ad eamdem Z B, cum intervallo ordinatae B M a centro gravitatis illius areae s t is, scilicet ad . hujus centri distantiam ab ordinata Z L . iIII. Area Ap Hac erit ad ipsius disterentiam ab area NE BC, ut praedicta recta BE ad ipsius disserentiam ab intervallo ordiis natae B M a centro gravitatis illius areae AF HB c. IV. Et pariter areast is, ad ipsius disterentiam ab homologa e it e, erit ut ipsa recta EZ, ad ejusdem differentiam ab ia. tervallo ordinatae BM, a centro gravitatis illius areae fi V. V. Solidum, circa ordinatam B M descriptum ab area AFH BC, erit ad ipsum una cum solido similiter procreato per aream NE OBC, ut supradicta recta BZ, ad eamdem cum ordinatae a Mintervallo a centro gravitatis hujus areae NE OBC. . Ul. Solidumque, circa ordinatam B M genitum ab area fDU. ad ipsum eum solido similiter progenito ab homologa area et te. erit ut praedicta recta BZ, ad eamdem cum ordinatae B M dista tia a centro gravitatis hujus areae e t te. VI l. Solidum, circa ordinatam B M genitum ab area AFH BC, se habebit ad ipsius disterentiam a solido similiter creato per aream NE OBC, ut praedicta recta BE. ad ejusdem disserentiam ah intervallo ordinatae Bbi a centro gravitatis hujus areae NE OBC Vili. Et pariter selidum genitum circa ordinatam B M ab area f ι V, ad ipsius disterentiam a selido similiter facto per aream homo togam e ιι e. erit ut ipsa recta BZ . ad ejusdem disteren. tiam a distantia, qua Ordinata EM recedit a centro gravitatis hujus
Si a puncto a ad terminum E alterius ordinatae TE in secunda area NE OBC procedat ramus BE , qui protractus occurrat in aliquod punctum sputa I. cum ordinata EL, Compleatu que parall ramum Z LMB Per rectam LMd, diametro C a parallelam, quae producta, trantibit per terminum F homologae ordinatae Diuitigod by Corale
55쪽
natae T F in prima area AFH Rc; quandoquidem sob hypotheia sim relatio FT . TE similis est rationi EB. BT, Vel LB. BE. Area f d F clausa inter duas quascumque ordinatas PT . si a
curva AFH,& a recta LMF, erit ad aream e g E inter ipsas o di natas clausam a linea NEo, & a recta BE, ut supradicta conia stans recta BE, ad ordinatae B M intervallum a centro gravitatis
Atque solidum genitum circa ordinatam B M a priori areara p, ad lolidum similiter procreatum a posteriori area e g E . se habebit ut praedicta recta BZ, ad intervallum Ordinatae B M a centro gravitatis hujus areae e g E. Nam rationi di .gi, seu ga . n t similis est ob hypothesim relatiost. t e, ideoque etiam relatio df. g e ubique,az propterea per praecedentem Propositionem patet propositum.
Solidum, circa ordinatam B M. descriptum a paratim muMBEL, erit ad solida similiter genita ab areis AF HBC .ft f. p d f ut ipsius parali rami dimidrum ad respectivas areas NE OBC.
Ordinando in parat immo ME quamcumque rectam a P v, lateri B M parallelam, proportio ucta QP aequabitur ubique rationi ZR . Βω rectratumque vαB rectiaci P L, BZ, superficiesque circa BM, genita per rectam v a , duabus simul superficiebus. 1 .um. circa rectas BM, EL descriptis a recta PQ , aequiparatur Di , un- s. s n. de solidum a paratim mo ME procreatum circa rectam B M aequabitur duobus simul solidis genitis circa rectas B M . EL a trimi BZ L. Atqui solidum, circa BM factum ab area AFH BC, vel ab area sitf, vel ab area P d L, aequatur differentiae solidorum, ci ea rectas B M . EL descriptorum a respectiva area NE BC, seu et Ie, seu Ege. Proportiones igitur, quas habet ipsum solidum parallelogrammi ME ad solida arearum A FH BC .fι ι f. F d f-erunt rationibus , quas habet summa praedictorum ibi idorum trimii a Z L, ad respectivas disserentias solidorum, circa rectas B M. E L descriptorum a respectivis areis NE OBC. . Ege, vel potius rationibus, quas respective habet,. ' tri tum L E B ad ipsas areas NE OBC . eo te . E g e.
56쪽
Et hine facile innotescit, quod solidum. circa ordinatam B M descriptum ab area Ap HBc, se habebit ad solida similiter genita ab areis fι ι f. E V ut area N E o B c , ad respectivas areas
Si datae areae ARAB c, ad diametrum CB comparatae, centrum gravitatis sit in ordinata Κ l P : alsgnari poterunt innumerae Cur ae EPB . GUPR 8cc. Incidentes in extremas Ordinatas CA L .BHM , & se mutuo secantes in aliquo puncto illius ordinatae R I P, claudentesque cum ipsa diametro C B totidem areas Q y P O B C. GuPRB &e. inter se aequales. Sc quae se habeant ad datam aream AK HBC in quacunque data relatione R . S . Producta diametro CB utcunque in N , rationi R. s consimiles fiant correlationes I B . B Z ἔ N . P . I K : & cunctie
ordinatae PT protrahantur ita in Ε, &in v, ut ΕΥ ad T F sit ubique ut abscilla TB ad BE, & similiter v T ad aes se habeat ubi isque ut abicitia T N ad N I; quatenus curva QE P O B transiens per P.& per omnia puncta Eo, incidat in ordinatas CL, B M. Claude tque cum diametro C s aream EPOBC, quae sper praecedentem Propositionem se habebit ad aream AKHac ut distantia I B ad B L, vel ut R ad s: & pariter curva sv Pu R ducta per punctum P, &Per omnia puncta uu claudet cum diametro CB aream G V PuRBC, quae se habebit ad aream AK HBc ut distantia i N ad NI, velut a ad S, sive ut area aEPOBC ad ipsam AK HBC: ac Propterea inter se aequabuntur areae αEPOBC . GuPuRBC &c.
. Praeterea si datae areae RHai diameter Ia producatur usque ad rectam LC parallelam ordinatis, ita ut CA dupla sit iplius iat Assignari poterunt innumerae curvae octi P OBC . GuPuRBC &c. quae incidant in parallelas L C. BM , & se mutuo secent in aliquo puncto ordinatae ΚΙ , claudantque cum recta CB totidem a eas
57쪽
EPOBC . GuPuRBC &c. inter se aequales, seque habentes ad ipsam aream RH si in quacumque data ratione R . s . Si cum base i κ deseribatur area x Aci se referens ad diametrum CI, areaeque ΚHBI aequaliter analoga, scilicet ut ubique inter se adaequentur ordinatae aer . is, aequaliter recedentes a Communi hale Κl , ipsarum arearum, orietur area ΑΚΗ BC dupla datae ΚHBi, & cujus centrum gravitatis erit in recta T. Rebusque sic stantibus assignari poterunt innumere cur se QEP R. Gu Pu R incidentes in ordinatas CL. B M, se mutuo se antes in aliquo euncto ordinatae xi P, & quae claudant cum diametro C B totidum areas po BC. sv pullac &c se habentes ad aream ΑΚ HBC in ratione R. a S, adeoque ad aream ΚHBI in data ratione R . s , demumque inter se sint aequales &c.
SI integrae parabolae diametrum E T o procedens per verticem E alicujus tririli E E B, abi a parabola circumscripti. conveniat in aliquod puncto T cum ejusdem trianguli baisse E B , vel cum Vsa producta. Paraboluum biliveum E c a erit ad uim tum E E B ut q: Z ned triplum rectrici Z T B . Ab altera balis E a extremitate a agatur Parabolae diametet
B G H , ad quam ordinentur rectae Z H . E G . Et cum lenii parabolae ECBM . ECBG sint proportionaliteranalogae, proindeque triralis EB H . EBG, hi lineisque ECB . ECH
Proportionales; proportio hi linei Eca ad bilineum Ech similis erit rationi tri di si EB H ad tri α tum E BG, componeturque ex ratione ZH . EG, S. ex ratione ΗΒ . GB, vel ob parabrotae diametrum BGH ratione q: EH ad q: EG; & aequabitur rationi cubi ΣΗ ad cubum GE. seu ad cubum OH; vel potius rationi cubi ga ad cubum B T. Similiter reperietur hi lineum Eca se habere ad bilineum E UE. Ut cubus ZB ad cubum ΣΥ; quapropter proportio bilinei Zcn
rum ECB . Eu E. similis erit rationi cubi EB, ad summam rei pective, aut differentiam cuborum ET . TB: & comparando in
58쪽
teeedentes ad terminorum differentias, bilineum et e B ad tri istum ZEB erit ut cubus EB ad triplum paratim di sub EB in rectis tum Z T. , nempe ut q: EB ad triplam rectrali ET B quod M.
Si praedicta diameter a T integrae parabolae sit quidem dia. meter parabolici hi linei ECB, proportio ipsius bilinei ad trirulum EEB quae aequiparatur rationi quadrati as ad tri-Plum rectrali ET B) erit 1eiquitertia.
SI integrae parabolae diameter ET procedens per verticem EA. 23. Huujus trimit et B , ab ipsa parabola circumscripti, cona in δε veniar cum ejusdem trianguli basie Es , in aliquod punctum T , vel cum ipsa base producta. . Parabolicum bilineum et v B se habebit ad tria ulum EEB ut q: basis Ea ad iriplum rectra si B Υ κ ex ipsius basis segmentis ;O se habebit ad parabolicum trilineum E a E T M cubus E B asparaum dum quadrati E T in E B cum duplo segmenIi T a . Ducatur recta NPE parabolam contingens in puncto E, & cum diametro TE. diametrisque N B . xv . tes conveniens in P. N. I .f, quarum altera xvI sit diameter etiam hilinei Z va. Et quia x F ad x Z vel rectratum Ixa ad rectra tum Ex B est ut it ad ιε , sive ut rectratum si a ad rectra tum Et B, Permutando, erit rectratum IX B ad rectri Ium DB ut rectratum Ex B ad rect α Ium Et B, vel sob parabolam ut v x ad te, velut v x in E B ad ι e in et B; atqui rect m luna I x B aequatur re- cu p 'ct lO VX, EB; quandoquidem tam relatio Ix . v x, quam re-' 'latio EB . xa dupla est; rect m tum igitur si s rectis io te, et E in perit quidem aequale; ac propterea D ad te erit ubique, ut consans recta Ea ad respectivam abscinam ι B: atque area Z VB ad poscM. aream EN B in erit ut ipsius B N intervallum a centro gravitatis areae nempe trim h) EN B ad rectam Eu, vel potius li ut ter 'tia pars ipsius EB ad EB, vel ut E B ad 3 EB. sed tri α tum Z Nase habet aditim tum aEa ut N B ad ΕΥ, 3ὶ scilicet in Proportio- a. B a ne Diuitigod by Coosl
59쪽
ne eomposita ex ratione N B. FT, seu 3 E B . 3 zT , & α rais ttione FT . TE, seu ZB . BT; Patet igitur proportionem bilinei Eva ad tri ratum ZEB compositam este ex rationibus EB . 3ZB . 3ZB . 3ZT; ZB, BT; & aequalem elle rationi quadrati ga ad triplum rectrali ET B. Rursus cum D ad te sit ubique ut constans recta En ad respectivam abscissam t B ; erit area Z a E T ad aream FET ut minctae BN intervallum a centro gravitatis areae sidust trim li) peti ad rectam et B, ac proinde ut summa sin* i 3. 3 dissetentia vero sinR.i . ipsius B T, ac tertiae partis segmenti Tet ad BZ , vel PotiuS in utraque figura, ut ZB -- aTB ad 3 g B : sed tri α Ium EF Tadiri m tum aEB pi oportionum habet compositam ex ration diZT. ZB; R eX ratione FT . TE, seu EB . BT; Trilineum igitur
ri 3 c.. tius in proportione, quam habsit Iecimium lub ET In EB - . a Tn II. σου. ad triplum rectisti ZAT: Atqui trimium EE B est ad bilineum Evis ut triplum rect m ii Raen ad q: ZB, nempe in. proportione composita ex ratione 3T B. EB, leu tripli rectrali et Bae ad qdi ΖΗ, & ex ratione ΣΥ . EB: hinc eit . quod proportio trilinei paraholici ga ΕΥ ad hilineum Z VB Componentur ex ratione reis et di ii sub a Tin ΣΗ - - a Tn ad triplum rectrati Z.BT, ex ratione hujus tripli ad q: EB & ex ratione ET . EB, & aequabitur rationi, in qua est parali α dum quadrati Z T in Z B-2 T B ad Cubum et B. Et convertendo Patet,&C.
Trilineum parabolicum BVEN, clausum a curva parabolica. a diametro B N , & a contingente recta E N subsequialterum erit trimii ZB N. Etenim in primae partis demonstratione indicatum est, hilineum EvB se habere ad tri tum Z N B ut EB ad 3ZB, videliacet in pro ne subtripla; unde ,&C.
Parabolicum trilineum ZaET , clausum a Parabolica curva . ab
60쪽
ab altera diametro TR , & a recta Eae secante ipsam curvam, eamdem proportionem habebit ad tri ratum Z TE, quam EB -
Trilineum enim Ea ET ut vidimus; est adtri tum ZET ut ZB TB ad 3 B et: δ: hoc tri α tum Z F Τ est ad tri tum Z ET ut . FT ad T E , vel f ex supra ostensis ut Es ad Ty, sive ut 32 B ad 3 T B: unde ex aequo patet quiad, dcc.
S o centro gravitatis n Θperbolici trilinei parac clausi ab
perbolica curva' s a N , Ur is duabus rectis P C M'. N CR, quae Wymptotis ZR. ya aequidsent, ordinata sit recta o mu alterum aD totum y a ; atque ducta fit eborda F N Θperbolici arcus p a N . tlaudens triritum P C N , bilineumque F a N.
sarum FC. anu ad anu. Completo parali ramo EMBT, agatur ab hyperbolae centro B recta BEL, quae ordinatae F M protraciae occurrat in L, & coordinatam FT Iecet in Ε, compleanturque paratim ma MLZB. V AZBPerrectas LE. V EA; Sc cum paratim mi MLEB complementa EZ.εM, Proindeque parall m ma vE . ΥM inter se sint aequalia, necesse est punctum A in hyperbolica curva reperiri, ut exsecu do libro conicorum elementorum innotescit. Hoc eo lito Ad asymptotum et B ordinetur quaecumquae recta degi, quae trilineum paNC secet: & quoniam ut constans recta EB ad ab-
scillam i a ita est di ad tg, dc sob hyperbolam ) ita est etiam D ad Ag, vel ad te, δι iubsequenter ita 1 d ad eg ubiquς; dc ii,
Sed haec area, nempe uim Ium Exp est adtrim Ium FNc ut K P ad N c, scilicet ut a B ad Za; area FaNC eX aequo Perturba i. te, se habebit ad triangulum FNC ut RB, seu mu ad nu Et Diuitigod by Corale