장음표시 사용
11쪽
CD sit aequalis;congruente autem AB, ipsi CD, congruet ΒΗ,ipsi DK, eum angulus ABH, sit aequalis angulo CDK, quare&m, congruet ipsi Κ, est enim BH, aequalis D Κ:eadem ratione ostendetur xpunctum G, puncto I, congruere,& omnia puncta, quae sunt in una parabola omnibus, quae sunt in alteri quare parabola parabolae congruet congruente igitur parabola AGH, parabolae CIΚ, altera alteri eadem erit, quod erat ostendendum.
THEO REMA II. PROPOS IL, recta linea ordinatim applicata ad diametrum hnius parabolae sit aequalis recti lineae ordinatim applicata ad alterius parabolae diametrum,sit autem symentum diametri unius interiectiam inter verticem, de applicatam,aequale segmento diametri alterius inter verticem, Dapplicatam interiecto, sitque angulus contentus applicata, Miliametro Vnius,aequalis angulo contento applicata. diametro alterius, altera alteri parabolae eadem crit.
SI duae parabolae, quarum diametri AB, CD, Mad AB, ordinatim applicata HB, aequalis sit ipsi D, ordinatim applicata ad CD, fit aut in segmentum ΑΒ, diametri aequale tegmento CD, diametri, langulus ABH, aequalis angulo CDΚ, Dico parabolam AH, parabolae Κ, eandem esis, sumatur enim in diametro ΑΒ, quodvis punctum ,4 ipsi AE, aequalis ponati s CF, mordinatim applicentur GE,IF, quoniam igitur aequales suo AB, CD, aequales quoque AE, F, erit ut AB, ad CD, ita ΑE,ad CF, aequalis Q videlicet ad aequale, permutado ut AB ad AF,ita CD,ad CF, ' sed δ' ut AB,ad AE,ita est quadratu HB, ad quadratii GE, 'ut CD, ad F, 'Abi ita: quadratum ED, ad quadratum IF,ergo ut quadratum HB,ad quat 'raratum GE, ita erit quadratum KD ad quadratum IF quam VH
12쪽
sunt autem ΗΒ, ΚD, aequales ergo GE, I F, erunt quoque aequales. quare ex antecedente Theoremate parabola ΑΗ, parabolae Κ, eadem erit, quod erat ostendendum.
SI duae parabolae recta latera aequalia habeant, anguli
autem, quos constituunt ordinatim applicatae cum diametro unius sint aequales angulis, quos bdinatim applicatae cum diametro alterius constituunt, altera alteri parabolae eadem erit.
Habeant duae parabolae quarum diametri AB, CD,latera recta ΛΕ- CF, aequalia, anguli autem quos constituunt ordina Atim applicatae cum diametro AB,sint aequales angu 'lis,quos ordinatim applicata cum diametro CD, constituunt. Dico parabo- Iamin, parabolae C, eadem esse . Sumantur enim AB. CD, aequales,& ordinatim applicentur GBMB, quoniam igitur aequales sint AE,CF, aequales quoque AB, D, rectagulum BAE, aequale erit rectagulo DCF, sed ' rectangulum BAE, aequale est quadrato B, Serectangulum CF, aequale quadrato HD,ergo quadratum P,aequale erit quadrato Hla,quare& recta GB, aequalis rectae Fim, sed & AB, aequalis est CD, angulus ABG, aequalis angulo CDH, ergo ex antecedente Theoremate parabola A parabolae C ,eadein erit, quod erat ostendendum.
THEO REMA IV. PROP. IV. Viuscunque coni parabola parabolae coni recti rei a clanguli eadem est.
13쪽
SI cuiustunque coni parabola AB,cuius diameter AC. Dico, rabolam AP, parabola coni recti rectanguli eandem esse Sumatur enim quodvis punctum R,infectione,& ab eo ad Ataordinatim applicetur BC,& sit primum angulus ACB, rectus, hoc est
diameter AC, sit axis, sumantur duae rectae lineae
inclinentur ad angulos rectos, iunctaque ,producatur,& fiat quadrato BC, aequale rectangulumDFG, per G,ducta ipsi FE pa, Lillela GH, secet DE,prΟ- ductam in H, erit igitur angulus ad H, aequalis anguisio DEF,Mideo rectus,nam rectus est ipse DEF, quoniam aequales sunt DE EF, angulus ad D, aequalis erit angulo EFD, hoc est HGD, qtiarem D, aequalis erit H , Itaque circa diametrum G, describatur circulus DIC, rectus ad triangulum HG, Mintelligatur conus,cuius vertex punctum H,basis circulus DIG.erit, igitur is conus rectus rectangulus, quoniam DH, aequalis est G, angulus ad H, rectus Deinde secetur conus per EF,plano secante cim culum DIC, secundum rectam lineam IFΚ,perpendicularem ipsi DG,Mfaciat lectionem in nuperficie coni lineam IEΚ, ea igitur secti erit parabolamam eius diameter EF,parallela est lateri HG, trianguli per
Et quoniam F,perpendicularis est ad DC, diametrum circuli, ctangulum DFG, aequale erit quadrato IF sed Qquadratro BC, eliκquale, ex constructione ergo quadratum F, aequale erit quadrato AC,& consequenter, recta IF, a qualis rectae BC .Et quoniam triangu-Dσι lumiHG, rectum est ad circulum DIC, communi aut nasorum in M. Eis dionii perpendicularis est F erit F,perpendiculam ad triangu ' tum DFq quare ad omnes rectas lineas, quae ipsam F,contingunt 'Li in eodem sunt plano , ergo S ad PF . Itaque quoniam ordinatim applicata IF aqualis est ordinatim applicatae BC, segmentum EF, diametri intericctum inter verticem N pplicatam, aequale segmento AC, diametritate verticem appiaca
14쪽
tam interiecto, est autem cingulus EFI, aequalis angulo ACB, ter e enim rectus est, erit ex Theorem a parabola ITK, parabola: BA,
Aliter existente angulo ACB , recto.
SI parabola ut supra AB, cuius axis A latus vero rectum AL. ostendmdum est parabolam AB,eandem esse parabolae coni recti rectanguli. Exponatur enim conus rectus rectangulus,cuiu vertex punctum H, basis circulus DIG,&secetur plano per axem,quod faciat sectionem triangulum H DG deinde sumatur H E aequalis dimidiae ΑL ipsi vero HG, agatur parallela EF,4 per ipsam EF, secetur conus plano secante circulum DIG, secundum rectam linea IFΚ, perpendicularem ad DG,ωfaciat sectionem in superficie coni lineam IEΚ, ea igitur sectio, erit parabola . Deinde a puncto E,ipsi EF,ducatur ad rectos angulos EM, fiat ut rectangulum HG, hoc .est ut quadratum H, vel HG,
sunt enim aequales DH,HG, ad quadratu DC, ita recta E ad EM, erit igitur EMdatus rectum parabolae IEΚ. Et quoniam rectus est angulus H,quadratum G,aequale erit quadratis DH, H G, sed quadra μὴ ta H, HG, sunt interse aequalia rergo quadratum G, duplum erit quadrati HG, vel I D, quare, MEM, dupla erit ipsius ΕΗ, est enim EM , ad Em , sicut quadratum G, velim, ad quadratum G. Sed AEL, dupla ponitur ipsius H, ergo EM, erit aequalis ipsi ALEt quoniam triangulum H rectum est ad circulum DIC, communi autem eorum sectioni DG perpendicularis est IF erit IF pe D stpendicularis ad triangulum DHG, quare &' ad omnes rectas lineas quae ipsam I F, contingunt, mi eodem sunt plano ergo ad EF. i. ED. Quoniam igitur AL, latus rectum parabolae AB, aequale est ipsi EM, lateri recto parabolae I ΕΚ, langulus ACB, contentus applicata, diametro aequalis angulo EFI,contento applicata,& diametro uterq; enim est rectus. erit parabola AB, parabolae IEΚ,eadem s. 3 Mim
15쪽
SE non sit rectus angulus ACB, hoc est diameter AC, non sit
46. axis.inuento' aute axe,ordinatim
At. . ad ipsum applicatae in angulo recto applicabuntur, quare eadem ratione qua supra siue priori, siu posteriori ostendetur parabolam s. cuius inuentus esset axis, hoc est parabolam AB, parabolae coni reeti rectanguli eandem esse. Cuius cunque igitur coni parabola parabola coni recti rectanguli eadem est,quod erat ostendendum .
IN dato cono datae parabolae eandem parabolam in
uenire. SIT datus conus cuius vertex punctum Α, basis BC, circulus, data aut parabola, cuius diameter DE, oportet in cono dato parabolam inue I nire eandem parabolae ,
a quocunque puncto F insectione sumpto ad diametrum DE, ordinatim applicetur FE 4 sit primum angulus EF, rectus, hoc est diameter DF,sit axis Secetur conu plano per axe
ad rectos angulos basiis es,&faciat sectione triangulum AB in Ataautem sumatur AG, aequalis DE,& ipsi BQ parallela agatur GH,4 producatur ad partes G, e fiat quadrato FE aequale rectangulum ΗGI, ipsi autem AB, phrallela agatur IK Qipsi GH,velita parallela Etaxin re, sumatur LM,aequalis HGa: rue ipsi AC,parestqla agatur NMO, deinde secetur conus per O, plano quod sit ad rectos angu-
16쪽
Io triangulo ABC, Miaciat lectione in superficie eoni lineam PNincommunis autem sectio plani secantis,4 circuli BC, sit POR. Quoniam igitur triangulum ABC rcctum est, Mad planum secans,in ad circulum BC, communis ipsorum sectioso, ad triagulum ΑΒ per-rsperidicularis erit quare & ad omnes rectas lineas,quae in triangulo ip βψ iam contingunt,ergo ad utranque ipsarum BC, O Quoniam igitur id
conus secatur plano secante basim coni secundum rectam lineam o, perpendicularem ad BC, basim trianguli per axem, diameter autem
sectionis videlicet NO,parallela est ipsi AC, lateri trianguli per axem, erit 'coni sectio PNQ, parabola. r. Rursus quoniam BC parallela est ipsi LX, ductam R, parallela ipsi φεβ. OP, planum quod transit per LΚ,RM, aequid istans erit plano per BC i s. ιι.OP, hoc est basi coni, ideoque planum per LΚ, RM,circulus erit,cuius Ei diamenter LΚ.& quoniam RM,perpendicularis,est ad LX,quod Po, aditaquadratum RN,aequale erit rectangulo LMΚ, hoc est HGI, est, tenim HG,aequalis LM, ex constructione, Get,aequalis Κ, quia cum sit parallelosrammum HIKL, erit HI aequalis LΚ, ablatis aequalibus HG, LM, reliqua GI, aequalis erit reliquae Κ, sed quadratum FE, aequale est rectangulo HGI, ex constructione, ergo quadratum RM, aequale erit quadrato FE,& recta RN, aequalis rectae I E. Et quoniam LM, parallela est ipsi HG,4 aequalis, iuncta G M, erit parallela ipsi HL. sed LNM, parallela est ipsi AG,ergo parallelogrammum erit ΑNMG quare M,aequalis Ata,sed AG,aequalis est DF,ex constructione,ergo NM, ipsi DE,aequalis erit. Et quoniam parallelae sunt Po,RM,erunt anguli No P, NMR, aequales sed rectus est OP, quod PO, perpendicularis est ad O ergo NMR, rectus erit,& ideo angulo recto DEF. aequalis. Itaque quoniam ordinatim applicata RM, aequalis est ordinatim applicatae FE, segmentum NM,diametri interiectum inter verticem applicatam aequale segmento DE,diametri inter verticem,& appli Catam interiecto est autem, angulus NMR aequalis angulo DEF, erit ex Theor. a. parabola PNindatae parabolae D, eadem.
SIT datus conus, parabola ut supra, oporteat facere, quod imperatum est Sumatur quodcumque punctum , in sectione,&ordinatim applicetur FE, Ut primum angulus D EF, rectus, hoc est diameter DE sit axis,& ducatur ipsi DE, perpendicularis DS,&fiat quadrato Ε, aequale rectangulum DS, erit igitur DS, re I a cta iuxta quam possunt ordinatim applicatae , seu latus rectum , l. a. deinde secetur conus plano per axem, quod sit ad rectos angulos hasi νυν- r coni,
17쪽
coni, Miaciat sectionem triangulum ABC, fiat ut quadratum BC, ad rectangulum AC, ita re cta linea DS, ad aliam a rectam, cui aequalisio natur AN .ipsi AC, agatur parallela , Ο, perquam secetur conus plano ad recto angulos triangulo AB ex laciat sectionem in superfici coni lineam PN communis autem sectio pla, ni secantis , di circuli BpQsitio eademia tione qua supra ostende . tu angulum NOP, este rectum, S lineam N
Et quoniam est, ut quadratum BC, ad rectangulum B Αα, ita DS, I r. i. ad AN, erit parabola PN latus rectum DS. pq Quoniam istitur latus rectum parabola PNm a quale est lateri recto parabolae DF, atque angulus NOP,contentus applicata diametro aequalis angulo DEF, contento applicata, diametro, rectus estr.huiuienim uterque, erit parabola PNQ, parabolae DF,eadem . Sed non sit rectus angulus DEF, hoc est diameter DE, non sit axis:
M. i. I inirento aut maxC,eadem ratiCn , - supra, in dato cono data parilli tiliola eandem parabolam inuenicinus. In dato igitur con Hadae parabolae, eadem parabola inuenta est,quod erat faciendum.
Sed existente angulo DEE, obliquo, aliter quoque in
dato cono datae parabo candem parabolam inueniemus
PI AT quadrato Es aequale rectangulum sub DE, alla recta li-
r. I. nea, qtis sit C, diametro igitur exiliente DE, erit C,latii V . ectum. an
culo autem DEP,aequalis angulus ABC coissi uatur, sumatur AB,
18쪽
aequalis dimidiari, ipsique C, ducatur ad rectos angulos AC, agatur ipsi AB, parallela CH, cui
perpendicularis ducatur H, CH, bifariam secetur in I, deinde intelligatur parabola,cuius vertex punctum I,axis vero IH, Mad axe ordinatim applicata HB, cui parabolae eadem parabola inueniatur in dato cono, quod quomodo fieri oporteat iam dictum est inuenta parabola sit IB. quoniam igitur Clia H, sunt aequales,recta CR,'c5- tinget sectionem in B. AB, diameter erit stelionis,quia parallela est ipsi CH a sectione autem ad AB, ducatur NK, parallela pili CB, contingenti,eries igitur Κ, ad diametrum AB, ordinatim applicata, langulus ΑΚ N, aequalis crit an Iulo ABC, hoc est DEF. Ruisus ducatur ad AB,perpen dicularis I LM,duo igitur triangui I ACB,LMB, a qui ingula eriint; nam anguli ACB LMB, sunt aequa- ,rectus en ira est uterque,evangulus,qui ad B,estcommunas, go,Vt
B L, ad BM,ita eritia, ad BC,ωita BA,dupla ad duolam B est enim
eadem ratio dupli ad dupluna, quae simpli ad simplum quare existen te diametTOAB,erit latus rectum dupla ipsitus BA,sed dupla pii si . i. aequalis est ipsi G, Iateri recto parabolae, cuius diameter DE, ex con ' A u. struiatione,ergo cxistente diametro AB datus rectum aequale erit lateri recto parabol .e D. Itaque quonialia latus rectum parabolx,cur in diameter Ad aeqnale est lateri recto para iobem, angulus BKN contentus appli ata, diametro aequali angulo EF, contento aiplicata, Miainetro erit parabola, culti diameter AB,eadem parabola D. in dato illitur conor.huturdata parat olae, inuenta es: eadem p irabola, quod erat faciendum.
ratione qua inueniuntur hyperbo boc Ellipses
tis eaedem Palibi tractabimus.
COROLLARIUM . demonstratis colligitur coni scalen parabolam,in qua ν ii Ginatim applicatei in angulo obliquo applicantur, es eri por-
19쪽
portionem parabolei coni recti abscissam non ad rectos angulos ipsius aiaboletaxi. Dixi in qua ordinatim applicatae in angulo obliquo applicantur, quia inueniuntur etiam infinitae parabolae in cono caleno, in quibus ordinatim capplicate in angulo recto applicantur.
Secetur enim conus ABC, stalenus plano per axem ad rectos angulos bali BC,& faciat sectionem triangulum ABC, secetur autem, altero plano secundum rectas lineas EG,
DG , quarum EG , equidistet lateri AC. ipsa vero DGF, sit perpendicularis ad BC, faciat sectionem in superficie coni lineam DEF, ea ' igitur linea erit parabola,ad cuius diametrum EG, ordinatim applicatae in an-Ρgulo recto applicabuntur.
COROLLARIUM II. Colligitur etiam omnes parabolas ad construenda comburentia specula esse idoneas.
Demonstratum enim est ab Orontio Hi Vitellione parabolas coni recti rectanguli ad constructionem speculorum comburentium esse idoneas, sed parabola cuiuscunque coni eadem est . quae coni reeti rectanguli si prop. . demonstrauimus, ergo omnes parabolae ad construenda comburentia specula sunt idoneae.
SEdin illud quod Orontius, Vitellio de sola coni recti, atque rectanguli parabola demonstrarunt, hoc est solares radios in speculum iuxta coni recti, atque rectanguli parabolam
excavatum incidentes,ita ut axi arquidistent,ad unum communem punctum reflectere: nos deletis multis,paucis mutatis,breuiter, expedite sequenti Theoremate de omni parabola de
20쪽
DE PARABOLA. 17 THEOREM A V. PROPOS. I. O Mnes radi selares in speculum concauum a quacunque parabola circa manentem axem circumducta descriptum,incidentes ita ut axi quidistent, reflectiliatur ad unum idemque axis punctum, quod scilicet a vertice speculi distat interuallo quartae partis lateris recti parabolis ipsum speculum deicribentis.
Sit cuiuscumque coni parabola ABC,cuius axis AD,recta vero iux ta, quam possunt ordinatim appli-
ius quadrupla sie E a quouis Puncto B, in seiactione ducatur BG, aequidistans ipsi AD,& recta j HBp, contingat sectionem in B,&iungatur BD,ostedendum est pri
HBG,DBF ess aequales Applicetur enim ad D, ordinatim Κ, quoniam igitur contingit
sectionem in B, 'erit FR, aequa Iis ΑΚ, ex pro post a. Elemen. quadruplum reis
ctanguli in Κ, hoc est rectanguluEΑΚ, est enim EA,quadrupla ipsius AD, in cu