Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

51쪽

tas , quae supponitur aequalis incognitae, utpote linearis, multiplex esse nequeat 3 falsa erit hypothesis , quod incognita quantitatem illam linearem adaequet, Se

ex hypothesi impossibili conclusionem impossibilem colligi mirum esse non de

Sed hanc tanti Viri rationem, etsi prima facie valde speciosam , improbamus tum quia iam novimus,quantitatem,qua multiplex esse debet, sic quidem per ana lysim designari , ut prodeat adhuc inde

terminata , tum etiam, quia eadem cO

clusio impossibilis eruitur quoque eae hypothesi possibili , quemadmodum primus omnium in suis Elementis Matherimaticis demonstravit Pater Praestetus. Itaque concludimus ex aliis principiis iminpossibilitatem hu)us rei deducendam esse. Et quamquam clarissimus Wallisius non adeo deploratum casum existimet y quum etsi radix illa realis sit expressa petlatera cuborum , qui quantitatem Continent imaginariam , fieri tamen possit, ut expresso realis evadat, scilicet si latera illa extrahantur , nihilo tamen minus ostendimus hoc Viri summi cogitatum si bi locum vindicare dumtaxaca quum ra

52쪽

D R a P A T I alet illa est realis simul . 2 rationalisi quod animadverterat iam pridem ipse

Nicolaus Tartalea, Auctor resolutionis mquationum cubicarum. φIgitur in aequationibus cubicis, casus quum omnes radices sunt reales, est omnino deploratus , nec intra cancellos Calculi algebraici potest contineri. Interim si radices illae per longitudines linearum snt designandae , osseudimus non deficerqnobis Geometriam. Poterat autem id variis modis obtineri. Sed quoniam de geommetrica aequationum constructione fusus nobis agendum erat libro quartos', placuit eum tantum modum afferres,

quem protulit primus omnium Albertus. Gitardus in libello, cui titulus talentios notivelle en ι'ingehre , 2 quem in sua. Geometria adhibuit quoque Cartesius ,

ut ostsnderet omnia problemata, quorum aequationes ad tres, uel quatuor dimensiones ascendunt, resolvi posse , vel Inventione duarum mediarum proporti natium inter duas datas quantitates s Vei. etiam alicuius dati arcus trisectione . iItaque, quum omnes aequationis cum blcae radices sunt reales, ostendimus r

dices illas designari posse per chordas,quae

triento. nonnullorum arcuum subten-,. dunta

53쪽

xtvl P a re F I o dunt. Si enim oporteat dat Πm aliquem. arcum trifariam partiri , invenietur in resolutione huius problematis aequatio cubica , cuius omnes radices sunt reales. Unde vicissim , quotiescumque occutrit aequatio aliqua cubica , quae radices omnes reales habeat, potarunt radices illa: per arcus cujusdam tri sectionem geomettice designari. Qua autem ratione fiat,

ut problema de dati alicuius trisectione tribus modis solvi possit, pauid accuratius inquiritur, ostenditerque id exinde, pendere , quia quum datum aliquem arcum tripartitb oportet dividere , Problema perinde resolvitur, ae si invenienda esset recta linea, quae ab una arcus extremitate ter aptari possit in circuli circumia serentiri donec ad punctum alterum per-yeniatur.' Caeterum, necIrca resolutionem aequa .eionum cubicarum aliquid ,quod scitu sit dignum, Lectores nostri ignorarentdubjugitur methodus, qua primum Itali istaruaequationum resolutionem ,tradiderunt, lejusque artificium pauid clarius , quam ah aliis iactum est, explicatur. Res autem ab ovo, ut dici solet, ostenditur , 2 quihus vestigiis Itali insistentes in methodum illam inciderint, aperitur ia Quum

54쪽

PR,R FAYIS XLvis que eius inventio synthesi potius , quam analysi debeatur ι illud etiam ostedditur,

qua ratione methodus ista resolvendi a iaquationss cubicas possit a na lysis ope reperiri , quod quidem iacile nobis sui eostendere , quum eb res tota reducatur, uel inveniatur quantitas, per quam sic trans . formanda sit aequatio cubica Proposita,ue , non modo secundo , verum etiam tertio termino deficiens oriatur. Sequitur resolutio aequationum s quaintum sedes in quarto gradu subsistit . Eu

iusmodi aequationes, ut recte intelligatur natura prolematum , ex quibus ipsae deis rivantur, in duas classes distinguimus; inam quaedam sunt talis naturae, ut assi ictionem cubicam contineant , aliae vici ism eiusmodi sunt, ut ab affectione cubi- , ca sint prorsus immunes . AEquationes iquarti gradus , quae purae sunt, hoc est primum tantum , Ω ultimum terminum, habent, ab assectione cubica sunt sempera immunes quandoquidem quatuor ipsarum radices per duplicem quadrataei radicis extractionem inveniuntur . Immunes;

sunt etiam ab affectione cubica aequati ines quarti gradus , in quibus tum secun-;dus , cum quartus terminus deficit. Sunt enim huiusmodi aequationes derivativa

55쪽

secundi gradus 1, adeoque valores ipsarum

Inveniuntur, extrahendo radicem quadratam ex valoribus aequationum secundi gradus, ex quibus derivantur. Itaque eae solae aequationes quarti gradus pota sunt assectionem cubi eam continere , iri quibus adest, vel secundus terminus , VeIquartus, vel etiam uterque. Generalis aequationum quarti gradus resolutio Bombellio debetur . Resolvuntur autem aequationes istae , derivando alias ex iis , quae sint trium tantum dimensionum. Itaque hoc primum docetur, qua ratione ex aequationibus quarti gradus possint aliae trium tantum dimenti num derivari r qua in re supponimus sublatum esse exaequationibus quarti gradus terminum secundum , quia id regula satis expedita, fieri semper posse, iam su-Perius vidimus . Derivantur ergo ex aequationibus quarti gradus arquationes aliae , quae sint trium tantum dimensionum , assumendo indeterminate aequatio nes duas secundi gradus , & ex earum multiplicatione aliam componendos quaesit eiusdem gradus cum aequatione Propo sita. Nam , conferendo deinde terminoSunius Ordine cum terminis alterius , in-

eniuntur totidem aequationes, quot' ia

56쪽

P R AE P A TIo ALixaequationibus componentibus assumuntur quantitates in determinatae : proindeque si ex iis aequationibus alia eruatur, in qua ea sola maneat quantitas in determiae nata , quae est coessiciens secundi termini

in utraque aequationum componentium,

ascendet illa ad tres dimensiones , adeo que erit aequatio cubica quaesita Jam ope huius cubicae aequationis semia per determinari possunt aequationes duae componentes secundi gradus. LInde,quum aequatio proposita in duas illas dividatur, obtinebitur ejus resolutio , si utique duae illae regulis antea traditis resolvantur. Nec refert, quod in aequationibus illis secundi gradus coeficientes terminorum quantitates contineant radicales . Id enim resolutioni illarum aequationum nequamquam esse potest impedimento , quia regulae superius traditae aeque procedunts quum coemcientes terminorum sunt radicales, quam quum sunt commensurabiles , ac rationales . Sed tantum essiciet, ut radices ipsarum radicales radicalium contineant: quod mirum esse non debet, quum radices illae ad aequationes quarti gradus proprie reserantur. Porrh autem mediantibus eubicis o quationibus , quae derivantur ex aequa

57쪽

tionibus quarti gradus , non miab Ist tum , quum fuerint in propria sede, resolutio obtinetur , cognosciturque num affectionem contineant cubicam , an ab ea sint immunes 3 verum etiam innotescit nobis , num aequationes quarti gradus existant in propria sede , an verb iaduas secundi gradus sint divis biles: adeb,

ut si casum excipias , quum a quationes quarti gradus unam continent radicem rationalem , poterit earum natura per specta fieri , ac explorata per solas aequa. tiones cubicas , quae derivantur ex iis. Quotiescumq enim aequationes illae Cu- . hicae existunt in propria sua sede,ostendiis mus etiam in propria sua sede eo aequa tiones quarti gradus , easdemque affectionem quoque cubicam continere . Sed si aequationes cubicae non sint in propria sua sede , verum valorem habeant rationalem; tunc ostendimus, quod si valor iste talis sit . ut elici exinde nequeat quadra ta radix , aequationes quarti gradus existant quidem in propria sua sede, sed immunes sint ab assectione cubica , quod si verb ejuscemodi fuerint, ut eTinde qua drata radix elici possit, aequationes quaristi gradus non sine in propria sua sede, sed in duas alia, secundi gradus sine divi biles. Λt-

58쪽

P T-I o LiΛtque hac occasione .notamus squam appolite analysis omnes rei , de qua agitur , casus nobis ostendat , k qua ratione uua , eademque via singolis satisfaciat. Quotiescumque enim aeqiuationes quartii gradus nullam habent radicem rationa lem , tria contingere possu ni ; vel nemper

ut sint divisibiles in duas secundi gradus, vel ut existat in propria si ia sede, sed immunes sint ab affectione c ubica vel denique ut affectionem cubica m contineant. Unde, quum aequationes cubicae, quae ex ii, derivantur, tales sicit, ut incognitR in iis duplicatas habeat d imensiones perspicuuin est circa esus valorem tria quoque contingere posse ι pr.imb, ut sit rationalis e, secun d b, ut sit expressus per radicalem quadratam ue 2 denique, ut radi- cales cubicas comprehen d at. Jam , quum resolutio aequationum quarti gradus obtineatur , resolvendo aequationes cubicas, quae duri vantur ex iis, fit hinc, ut quemadmodiam nota omnes aequationes cubicae resolvi possint, sed eaei tantum , quae unicam habent radicem

Iealem , ita nec omnium aequationum

quarti gradus resolutio possit haberi , sed

earum tantummod. , ex quibus tales de- Ilvantur. aequationes cubicae , ut 2 ipsa

d a etiam

59쪽

Lli PRAEFATI etiam resolvi possint. Itaque post tradiatam methodum resolvendi aequationes quarti gradus , ad rem visum est , ostendere, quae inter istas aequationes tales sint, ut cubicae aeqriationes , quae ex iis derivantur, omnes habeant radices reales,nec

ideo tesolvi possint. Huiusmodi sunt aequationes illae quarti gradus , quae vel omnes habent radices reales, vel omnes imaginarias: ex quo fit, ut eae tantum atquationes quarti gradus resolvi possint, quae duas habent radices reales, 2 alias duas imaginarias . Sed alrem visum est etiam ostendere , qua ratione aequationes quarti gradus , quae radices omnes reales habent, distingui ponsint ab iis, quae omnes habent radices imaginarias: idque deducimus ex aequationibus cubicis , quae ex iis derivantur. Nam quotiescumque aequationes quarti

gradus radices Omnes reales habent, ip- sarum aequationes cubitae non modb radi ces omnes reales habebunt, verum etiam secundum terminum affectum signo negativo, k tertium signo positivor quolsecus est , si aequationes quarti gradus radices omnes habeant imaginarias 3 quia

tunc secundus terminus aequationum

cubicarum, quae ex iis deri antur , assici is quin

60쪽

P RAEPAxio xiij quidem potest signo negativo , sed tali

quoque signo erit affectus terminus ter

Quoniam autem resolutio arguatio num quarti gradus adeo generaliter Ostensa erat , ut quae sint earum radices nec in formulis innotuerit , sub quibus aequationes omnes solent exhiberi , necessarium duximus ejus resolutionis ita Tyronum gratiam exempla nonnulla proferre . Itaque pri md exemplis illustramus resolutionem earum quarti gradus aequationum , quae existunt qui

dem in propria sede , sed immunes sine ab affectione cubica 3 eum exempla pro

serimus resolutionis a quationum quarti gradus , quae affectionem cubicam continent , qua que tune tantum resolvi pota sunt, quum duas habent radices reales,& alias duas imaginarias. Exemplis etiam ostendimus reductio nem aequationum quarti gradus , per ae

quationes Cubicas ex iis derivatas , atque hac occasione methodum etiam exhibemus , quam excogitavit vir Clarissimus Hyacinthus Christophorus pro reduce lis aequationibus quarti gradus beneficio aequationum cubicarum , utpote scitu dignam , dc tu praxi valde facilem , ac ex