장음표시 사용
541쪽
3cc. Hinc si proponatur aequatio specialis
542쪽
De radicibus purorum quotionum per approximationem inveniendis. Ouum aequationes, quae resolvendae
proponuntur, sunt purae,omnibus4que terminis intermediis carent, eb res redit, ut ex puris potestatibus radices ex. trahantur , quae siquidem inveniri nequeunt exacte, haberi poterunt per approximationem , vel per fractiones decimales, ruet etia ope togarithmorum. Sed quoniam Vir Clarissimus Edmundus Hali ius , Geometriae Prosessor Savilianus , ocis casione nonnullarum formularum , quas protulit Dominus de Lagney , Mathema' licua Pari sien sis , pro extrahenda radice cubica , incidit in sermularum meth dum quandam generalem pro quavi. p tastate satis concinnam; visum est methodo ista huic seeundo nostrae Λlgebrae libro
Coronidem imponere, utpote quae huiuscemodi nobis exhibet formulas ad vε-xum appropinquantes , ut nec togarith- morum artificio , ne fractionibus decimalibus tam facile cedant.
Primb itaque afferemus sermulas, quas
543쪽
Ex EM. Lib. II. Cap. 9. 469protulit Dominus de Lagney pro extrahenda radice cubica : nimirum , quod si a 3 sit maximus cubus , qui continet ut in numero proposito , Se ab sit id , quod remanet, cubo illo subducto , radix cubica totius quantitatis a 3 ' ab sit inter aa ab I I ab ' --i , Ω -- al. --a- ' -:adeo,
ut una formularum sit omnino rationalis , altera partim rationalis , partim radicalis . Ex his autem formulis aliquantb propius ad scopum. aollimat posterior , quae peccat in excessu , quum prior, qua: peccat in defectu t licet on rationalitatem
in praxi ista sit longe facilior, ac expedita , quam illa. Utramque harum sermularum ex ipsa cubi genesi mire deduxit Hali ejus. Posito enim , quod a ' x sit radix cubica totius
gax' l x3 - ab . Et quoniam a 3 ex hypo hesi est maximus cubus , qui conti netur in a 3 f ab , erit x multb minor, qu ma . proindeque in aequatione 3 a x gox' l x3 - ab respectu ipsius 3 a x negligi potest, non modb terminus x3,ve-
544쪽
o A B G E B R AErum etiam terminus 3ax- . Jam autem neglecto utroque istorum terminorum, ha
-a-- - . Itaque , si in denominatore
huius fractionis loco A: ponatur alter illea ab valor, fiet x - ,, - --, adeoque radix
cubica quaesita , designata per a ' x, erita ab Ex eodem fonte derivatur quoque sormula altera partim rationalis , partim irrationalis . Iisdem namque positis , in
venietur s ut antea , qa-x f rax' ' x3- ab : proindeque neglecto , ob parvitatem , termino xa , erit 7a-x ' gax R Mahab, hoc est ' ax - - . Quare addito ad utramque partem huius aequationis quadrato , quod fit ex semisse ipsius a , It
545쪽
EBEM. Lib. II. Cap. . 4 rextracta hinc inde quadrata radice , inve-
radix cubica eiusdem quantitatis
, 2 4 quae quidem propius ad scopum collimabit , quum in hac operatione dumtaxat terminus x3 negligatur. Jam eodem hoc artificio exhibuit idem Halleius binas formulas pro unaquaqu*potestate . Ita sit de quadrata radice agatur , ponaturque a* esse maximum qua dratum, quod continetur in numero pro pota to , M ab id, quod remanet, qua drato illo subducto, erit quadrata radix totius quantitatis a ' ab inter a l
--- ., 2 .a ' ab. Posito enim,quodo ' a: sit radix quadrata quaesita , erit a '
- ab ' proindeque neglecto ob parvitatem termino κδ , fiet aax in ab , hoc est κ --.. Iam vect si in aequatione illa
546쪽
drata quaesita , designata per a ' x , erit
Quantum ad alteram formulam ei undem quadratae radicis, derivatur ea ex resolutione aequationis inventae a ax l x' ab . Si enim ad ejus utramque partem apponatur a ' , fiet a- f aax ' x- - a ab , quare extracta hinc inde quadrata radice, invenietur a s x - .a ' ub. unde patet, alteram istam sermulam non modo respectu prioris aliquantb propius
ad scopum collimare , verum etiam quaelitae radicis verum valorem impostibilem continere 3 quandoquidem in eius inventione nullus terminus negligitur : id,
quod exinde quoq; liquet,quia Ua- ' ab non est aliud , quam quadrata radiS propositae quantitatis a R ' ab.
547쪽
E 1 E M. Lib. II. Cap.9. 4 similiter si agatur de radice quadrat quadrato , ponaturque aue esse maximum quadrato-quadratum s quod continetua in numero probosito , 2 ab id , quod reis Iinquitur per ulius quadrato-quadrati subductionem 3 eri radix quadrato qua drata totius quantitatis a' ' ab inter a saab a I ab
to enim , quod o ' x sit quaesita radix quadrato-quadrata,erit a s a 3xf 6a x
duo postremi termini dumtaxat, habs tur a 3x t 6a x ab , hoc est x in
hujus fractionis ponatur loco x alter illa
548쪽
axa l x ab , neglectis rursus duoia hus terminis 4ax3 ' κ' , remanebit a 3κ26a κ μ ab , adeoque divisa utraque
parte aequationis per 6a , fiet . , ax l x
quadrata radix extrahatur,habebitur
quidem propius ad verum accedet , quiam formula prior rationalis 3 quandoquidem in eius inventione duo tantum termini negliguntur. . 3-
Iisdem vestigiis insistentes inveniemusa quod
549쪽
EL EM. Lib. II. Eap.9. quod si as sit maximus quadrato-cubus, qui sontinetur in quantitate proposita,&-sit id, quod remanet post illius quadrato cubi subductionem 3 radix to
demque ratione pergere licebit in intani tum, 2 pro unaquaque altiorum p testatum binas semper sormulas cudere, unam Omnino rationalem , quae peccet in desectu, alteram partim rZtionalem, par tim radicalem, quae peccet in excessu , staliqua id propids collimet ad verum. Istae autem sermulae eo ordine , quo ad suas potestates reseruntur, ita se habent , si utique fuerit am ' ab quantitas proposita , 2 am sit maxima potestas ejus ordinis , de quo agitur, quae in quantitate iula continetur.
550쪽
as Isa unde liquet , eas miro quidem ordine progredi in infinitum , neque adeo nece se sit, tradito artificio singulas invenire. Nam quantum ad formulas omninb raiationales , eae duabus partibus constant, quarum una est radix maximae potestatis, quae in quantitate proposita continetur; altera est fractio , cuius numerator est eadem radix ducta in reliquam partem eiusdem quantitatis 3 denominator Verb est