Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

511쪽

EIS E M. Lib. II. Cap. 9, ηδ

impares numero . In istis siquidem tunc tantum methodus procedet, quum una dumtaXat radix assumitur realis, i ta melli beneficio quantitatum imaginariarum ad alios quoque casus posset methodus extendi , attamen eventus perinde erit, ac in resolutione a quationum Cu-hicarum , nimirum radix subinde orietur expressa, ut etsi realis, quantitates tamen imaginarias involvet.

1 II. Altera methodus restimendi aquationes

omnes aperitur. ALtera methodus pro resolutione in. quationum omnium, procedit ininquirendo valorem unius tantummodo radicis , quam etiam indeterminatam assu mit. Hac methodo usi sunt Itali in re solutione aequationum cubicarum, quam deinde alii etiam usurparunt. Sed ea ad resolutionem aequationum altioris gradus a nemine huc usque promota fuit, quiae nemini innotuit theorema illud , quod radix realis cujuscumque uationis,qua secundo termino caret, tot terminos generaliter debeat continere,quot sunt dimensionea aequatio uis , una demΡig.

512쪽

Itaque, qui per hane methodum aequa iationes omnes resolvere cupit, is radicem, quam quaerit, ita quidem assumere debet in determinate , ut tamen tot terminis constet , quot sunt dimensiones aequationis , de qua agitur , unis dempta r adeo ut quemadmodum in resolutione aequationum cubicarum ponitur x o ' b, ita in resolutione aequationum quarti

gradus ponendum sit x - a ' b f c , χ

ω - albic id in resolvendis aequa istionibus quarti gradus , atque ita deinceps aQuum sic proceditur in resolutionea quationum semper quantitas a , quae designat primum terminum radicis existrahetidae, invenitur per a quationem una dimensione minorem illa , quae resolvenda proponitur: nim rum per ἔequationem quadratam , si proposita fuerit tertii gradus ἱ per aequationem cubicam , si proposita fuerit quarti gradus; per a quatione quadrato- quadratam , si proposita fuerit quinque dimensionum , atque ita dein Ceps: adeo ut aequatio, exempli gratia, noni gradus resolvi non poterit, nisi prius

fuerit resoluta a quatio gradus Octavi. De terminata quantitate quantitatus reliquae determinabuntur Per quationes

513쪽

E I, E M. Lib. II. Cap. 9. 4 δ' nes adhuc si inpliciores, nimirum secunda per aequationem duplici dimensione minorem , tertia per aequationem tribus dimensionibus minorem , atquo ita continuti : unde per hanc methodum arquatio cuiuscUmque gradus resolvi nequaquam poterit , nisi prius innotuerit , qua ratione resolvi debeant aequationes omnes , quae sub gradu illo Continentur r adeo ut in resolvendis a quationibus , nisi gradatim procedatur,

nihil beneficio hujus methodi profici po

terit.

Sed videamus modb , qua ratione per hanc methodum resolutio aequationum

institui debeat. Id in aequationibus cubicis iam superius a nobis praestitum est ψ sed ut artificium hujus methodi pauit, clarius

intelligatur , non gravabimur earum re

solutionem hic denub proferre . Sit igitur πῖ - 3px l ast aequatio cubica resolvenda. Ponatur x - a ' b . Erit itaque x3

redit, ut ex cubo radicis binomiae a ' bseparentur termini , qui aequari debent 3px, a terminis, qui aequalitatem servare debent cum a P.

514쪽

η o A B G E B R at Haec separatio, ut recte fiat , notare prius oportet, quod quum aq sit quantitas omnino rationalis , 2 3 contineat quantitatem radicalem X , radix binomia a l f talis esse debeat, ut cubus ejus duabus similiter partibus constet, quarum una sit omnino rationalis , altera contiisneat quantitatem radicalem a s h , cui eY hypothesi est aequalis incognita x. Sic enim prior pars omnind rationalis aequa-hitur aq, pars vero altera , in qua conti ne tur quantitas radicalis a is, ponenda erit aequalis *pX. Ut autem radix binomia alb hune praestet effectum , perspicuum est , quantitates a , t δε debere esI e radicales cubiiscus , 2 tale, quidem , ut id , quod est sub signo radicat i in una, sit quadrata radix ejus , quod sub eodem signo radicali reperitur in altera . Hac siquidem ratione termini duo a a ' δεῖ , utpote Cubi quantitatum a , Sc , , constituent partem Iationalem , qua: aequari deinbet cum ast ; at vero alii duo termini' gab*, quia oriuntur multiplicanindo quantitatem rationalem ga, per radicalem a 'b , constituent partem alte rana, quae poni debet aequalis ypX. Habemus itaque duas aequationes pabo

515쪽

facile modb erit determinare quantitates a , Ω s . Est enim in prima-- 3p,hoaub - p . Itaque elevando utramque Partem ad cubum , erit a 3,3 - ρῖ . Et quoniam in secunda habetur a 3 f θῖ; multiplicando terminos omnes perna , erit asi ' a 3b3 - aqaῖ ; adeoque si loco a 3,3 ponatur valor eius pῖ, fiet a si fpῖ - agaῖ, hoc est a aqa 3 i. p3 - os quae quum sit derivativa secundi gradus, haud dissicile erit ope eius valorem quantitatis a determinare: quo utique cogni to , innotescet quoque valor alterius b, quum habeatur ab in p. Hanc eandem methodum applicemus' modo aequationibus quarti gradus. Sit

quarti gradus resolvenda . Ponatur κ a

ut ex quadrato-quadrato radicis trinomiae

516쪽

miat a ' ὁ ' c separentur termini , qui

aequari debent ηr, tam a terminis aequandis cum px- , quam a terminis , qui in qualitatem servare debent cum Τρx. Haec similiter separatio ut recte fiat, notare prius oportet, quod quum vir sit quantitas omnino rationalis , 8qx contineat quantitatem radicatem x , v Gx eiusdem quantitatis radicalis quadratum

comprehendat ; radix trinomia o ' , ' σtalis esse debeat, ut eius quadratO-quadratum tribus similiter partibus constet, quarum una sit omnino rationalis, altera Contineat quantitatem radicalem at hic, cui ex hypothesi est aequalis incognita x, 2 tertia contineat quadratum ejusdem quantitatis radicatis. Sic enim pars prior aequabitur 4r , pars altera aequabitur 8ρx,& pars tertia penenda erit aequalis Apx'.

Sed perspicuum est , quod ut radix trinomia a ' b fc hunc praestet effectum,

quantitates a , b, c debeant esse radicales quadrato-quadratae , 2 tales quidem, ut

id, quod est sub signo radicali in una, veluti in a, sit radix quadrata eius, quod est sub signo radicali in altera , puta in b,& radix cubica illius, quod sub eodem si

gno radicali reperitur in tertia c . Hac enim ratione semper in quadrato-qu ad rato

517쪽

ELEM. Lib.II. Cap. 9- ηοδto illius radicis trinomiae albic di tanguere licebit tres partes , quarum una sit omninb rationalis, altera contineat radicalem a s b ' c , Ω tertia quadratum ejus lem radicalis comprehendat. P rs quippe, quae contine e radicalem

abc- f 4b-c hca , quum oriatur mulciplicando quantitatem rationalem a 'b ' ηbc' per a ' θ f c. Pars ver b, quae continet quadratum ejusdem radicalis

Catur, multiplicando quantitatem ratio

que Rac , quae una cum duabus primis Constituit quadrato-quadratum radicis trino

Discretis a se mutuli tribus istis part l-hus , habebimus totidem aequationes , nim

- qa' ' c' - δε -- aa Rc l Ab ac - 4r, quarum ope facile erit definire Valores quantitatum a , b , c . Est enim in secunda ab φ f ac vi s. hoc est 4b- sic pb- ab ' . Itaque in tertia aequa

518쪽

ag elevando utramque partem ad

sex dimensiones ascendat , ut tamen dein rivativa tertii gradus dicenda sit , haud dissicile erit ope ejus quantitatis , valoin rem invenire. Hoc autem invento Valo res quantitatum a , 2 c in promptuerunt. Habetur enim in prima illarum ae

a se

519쪽

- 8ρo' , quae ordinata iuxta dimensiones litterae a ita quidem ad quatuor diis

mensiones attollitur , ut tamen derivativa secun d; gradus dici debeat. Et flentisque invento valore quantitatis a , determinabitur valor alterius C per aequationem simplicem aac - apo- 5 .

Eadem omninb methodo instituenda est resolutio aequationum altioris gradus: nimirum aequationis , de qua agitur , aia sumpta radice ita quidem in determinate, ut tot terminis Constet, quot sunt dimensiones aequationis , una' dempta , fiat ex radice illa potestas , aequationis gradui correspondens , hoc est quadrato-cubus, si aequatio fuerit quinque dimensionum 3 cubo-cubus , si aequatio ad sex dimensioues ascendat , atque ita deinceps . Deinde in hac potestate distinguantur a se mutub Partes , quae aequationis terminis sub alia ternis correspondent, χ per comparationem istarum partium cum terminis illis, habebuntur totidem aequationes , quot . requiruntur ad determinandas quantitates, quae in assumpta aequationis radice continentur. Quia

520쪽

Quia verb totum husus methodi artificium in eo potissimu in situm est, ut in potestate , qu e fit ex assumpta radice iuxta gradum aequationis, distinguantur a se mutub partes, quae correspondent arquationis terminis subalternis ue proinde nolim hic silentio praeterire praeclarum istud theorema , quod radix realis cuiuia

cumque aequationis, quae secundo termino caret, non modb tot terminos comis

prehendat , quot sunt dimensiones aequa-eionis , una dempta , verum etiam, quod termini illi debeant esse radicales eius gradus , ad quem ascendit aequatio, Atales quoque, ut id, quod est sub signo radicati in termino primo , sit quadrata radix eius, quod est in secundo; cubica illius , quod est in tertio , quadrato-qUadrata eius , quod est in quarto ue atque ita deinceps. Huius namque theorematis ope , haud difficile erit in quacumque potestate partes illas a se mutub distinguere ; nam ejus beneficio facile apparebit, quae quantita res sint rationales , quaeve secus . Illud unum monitum hic volo , quod tametsi generaliter termini, ex quibus constat radix aequationis , debeant esse radicales ejus gradus , ad quem ascendit aequatio,

fieri