장음표시 사용
531쪽
sitae aequationis propius semper 3 ac Proinpius appropinquabitur. Caeterum haec methodus inveniendi liri - mites, intra quos Consistunt radices aequationis , A ad veros earum valores apis propinquandi , locum sibi vindicat tam tum in aequationibus numericis r unde si aequationes propositae fuerint litterales, mecesse est loco litterarum ponere valores numericos , qui, iis possit haec methodus applicari. Interim,quia aequationes liti tales excidunt universalitate sua , quum in iis loco litterarum numeri substituu tur; proinde aliam hὶc methodum exhib himus resolvendi per approximationem aequationes litterales, nimirum ope se
iterum infinitarum , de quibus suis actum est libro primo.
lli a ratione aequatiouer Fuerales resolsuepsint per serier infinitas, Venditur. UT aequationes litterales resolvi pos.
sint beneficio serierum infinitarum, assiimenda est series aliqua in determinata s eaque ponenda aequalis incognitae quantitati, quae in aequatione continetur
532쪽
4s8 . , A. E B R . Huius autem seriei termini duo quidem
debent continere , primo nempe potestates unius ex litteris cognitis propositae a quationis, quae tales esse debent, ut earum exponentes progressionem constituant ari.Tithmeticam , ipsique adeb seriei termini ratione earundem potestatum progressio- .nem componant geometricam, I secundo ditteras quasdam inde terminatas pro suis dicoefficientibus , quas tamen confusionis . vitandae gratiae assumere oportet diversas ab iis, quae in aequatione proposita conti-
Hac ratione si x fuerit incognita a quationis , Ω m.una ex litteris cognitis , qixae tu eadem aequatione continentur , suppo
terminis,praeter potestates litterat m, quarum exponentes ςonstituunt progressionem arithmeticam , continentur etiam
litterae a , B, c , d , e ,1 2c., quas suppo no diversas esse ab iis , quae xeperiuntur in aequatione proposita . Et notetur hoc Ioco velim , quod primus seriei terminusam' idem valeat, ac a , nam mv veluti Potestas, cujus exponens est gero , sive nia hil, tantundem valet,ac unitas,quum sit Primus terminus progressionis geometri-
533쪽
- Assumpta serie ista indeterminata pio e tabore incognitae x , eli deinde res redit, , ut coessicientes terminorumJejusden, s riei determinentur,quo scilicet 2 ipsa s xies evadat determinata . Id autem obliumebitur scribatur in ip a s uatione series illa ic incognitae x , ejus quadram tum loco in , eius cubus loco, 3 , atque ita deinceps . Ouum enim hac ratione Prodpat a quatio infinita , cuius termini ιunt distinguendi secundum dimensiones illius litterat , cuius potestates continent termini assumptae seriei ue si utique ponatur quisque terminus novae hujus seriei ualis etero , sive nihilo , Jabebuntur
totidem a quationes speciales,quarum ope facile erit coessicientes illos determinare. Demus huius rei exemplύ im a quati nibus quadratis . Proponatur a quatio ii teralis secundi gradus --π me Ο,3c oporteat valorem incognitae x per se riem infinitam invenire . Ponatur X m
534쪽
46o A B o E B R AE - acm3 4- adm --aems - Um. 3te. lnde subrogatis valoribus hisce in aris quatione proposita κλ -an X -n -- distinctisque terminis novae aequationis se cundum dimensiones litterae m , habebi
Ponatur unusquisque terminus povae huius aequationis aequalis Zero , sive niis hilo: qua ratione sequentes habebuntue aequationes a ' πη-o , 3M -- o, δ' st aac ,-. ab M O , aad abc
niam in prima istarum aequationum habetur a ag in o , erit a R -n , at que adeo a - . . Quumque in secun- M aequatione habeatur aa - .serit aab αα aa , ac proinde b - I.
unde, quum in tertia aequatione sieb aac. . ab M O , substitutis iaωὲ valoribus ipsarum a , 2 b iam in
535쪽
- E EM. Lib.II. Cap. 9. 46I . quarta aequatione d in o , in quinis
mη m 'an gus& . evanescentibus terminis, ubi reperitur m 3, m , n37, 2c. Possunt etiam in terminis assumptae seriei, poni potestates litterae v ; sed hoc in casu tollendus est primb ex aequatione secundus terminus , locoque ejus resolvenda haec alla I nn n Ad quam item resolvendam, non qui
nium rationes facile intelliget , quicumque velit Contrarii periculum facere.
&c. unde loco propositae aequationis di m n- - ci prodibit haec alia
536쪽
--- 3 atque ita deinceps . unde series
asiumpta pro valore incognitae 3 mutabi
sublatum seςutidum terminum sit X MF
537쪽
Iagm Quod si resolvenda proponatur a qua tio litteratis secundi gradus x -- annae n - o , in qua ultimus terminus amincitur signo ' ; hoc casu necessarib in te minis assumendar seriei poni debent po- itestates litterae quum si utique ponerentur in iis potestates litterae m , primus seriei terminus, omne'; adeo alii orirentur imaginarii. Unde propositae aequationis resolutio non aliter beneficio serierum infinitarum potest obtineri, quam tollendo ex ea secundum terminum . Itaque tunc demum in terminis seriei poni possunt indistincte potestates, tum littera m , cum litterae n , quotiescumque ultimus aequationis terminus assicitur signo --.Nec silentio praeteribimus, quod sicuti tollendus est secundus terminus, ex
quatione , quum potestates litterae n ponuntur in terminis seriei; ita si secundus ille terminus reperiatur affectus signo Φ,oc adhibitis potestatibus litterar m, nolit analysta eum terminum tollere sprimus seriei terminus assiimi debeat an fictus signo - . Istae
538쪽
Istae eaedem difficultates, quae occurrunt in resolvendis aequationibus litteralibus secundi gradus per series infinitas, quandoque sese offerunt etiam in aequa. . tionibus altioris gradu. . Unde magna opus est solertia , quum radix alicuius aequationis per seriem infinitam exprimi debet. Caeterum, quum resolutio confici Potest , quaecumque ex litteris aequationis assumatur pro ea , quae distingui de-het terminos seriei, praestat illam semper eligere, quae est omnium minima. Sic
enim series erit convergens , eiusque ter 'mini fient semper minores, ac minores: qua ratione ad verum valorem incognitae
istius citius appropinquabitur, quum satis sit Priinos seriei terminos in unum colligere. Haec methodus resolvendi aequationes per series infinitas , usum habet insignem in aequationibus, quae relationem exprimunt inter duas quantitates incognitas . Neque enim in hisce aequationi .hus potest unius incognitae valor per limites inveniri, quia etsi litteris, quantitates cognitas designantibus, numeri subinstituantur , adhuc tamen duae supersunt litterae, quae duas illas quantitates in
cognitas exprimunt . Itaque si valor, unius
539쪽
EBEM. Lib. II. ap. 9.-ius incognitae per approximationem desideretur, necessarib valor ille per seriem infinitorum numero terminorum exprimi debet: quo casu praestat seriei terminos per incognitam alteram a se mutub distinguere. Neseio autem , an operae pretium sit hic adnotare , nonnulla adesse problemata , in quibus relatio , quam habet una quantitas ad aliam , non aliter algeb. aico definiri potest, quam per aequationem infinitam . Ut si quaeratur, exempli cauSas relatio , quam habet quilibet arcus Circuli ad suam tangentem, 2 vocetur X arcu Sast tangens, Se a circuli radius , fiet aequa
ga sa' et asiti terque si scire cupiam relationem,quam quilibet arcus circuli habet ad suum sin um , iisdemque positis vocetur a sinus arcui Correspondens 3 relationem illam non aliter cognoscere Potero, quam per
sequationem istam infinitam x at .
540쪽
66 A B G AEtur per seriem infinitam , cuaus terminidi cognita alia distinguuntur a se mutub, potest vicissim valor alterius huius incognitae designari per aliam seriem infinitam , culus terminos disting dat a se invicem incognita prior . Sic in ista aequatio
incognitar x designatur per seriem infinitam, cujus termini distinguuntur incognita di , sed alia potest infinita series inveniri , cuius terminos distinguat incognita x, & quae sit valor incognitae . Inis venitur autem haec alia series eadem omisnino methodo , qua radix cujuscumque aequationis finitar per seriem infinitam designatur . Et alterius hujus seriei inventio illud est , quod seriorum regressum appellant RecentioreS. - Dabimus hujus serierum regrestus duo exempla generalia , quae in casibus specialibus possunt velut canones adhiberi.