장음표시 사용
521쪽
Ε Ε Ε, Lib. II. fieri tamen possit, ut unus, aut plures ex lis sint radicales gradus inferioris,quia forte ad illas deprimi possunt. Sic ex tribus partibus a , b ,c , ex quibus constat radix aequationis quarti gradus , nonnisi
duae extremae a , 2 c sunt radicales quadrato- quadratae, nam media best tantum radicalis quadrata, quia id,quod continetur sub signo eius , est quadratum illius, quod comprehenditur sub signo in parte
priori a. Atque hac ratione factum , ut in definiendis quantitatibus quibus radix aequationis quarti gradus de lignatur, nona , sed , primo loco determinaverimus. Si enim definienda prius erat a , quia quantitas ista est radicalis quadrato-quadratas oriebatur quidem aequatio derivativa tertii gradus , sed ad duodecim di inensiones natura sua ascendebat , quum tamen in determinanda quantitate β , quae est tantum radicalis quadrata , comperta fuit aequatio, ita quidem derivativa tertii gradus , ut ad sex tantum dimensione, aia Cenderet: quae quidem aequatio est ip11Ωsima illa,quae priori aequationes resolven
di methodo nobis sese obtulit.
522쪽
III. Nitiose limiter radicum cujuscumiaque aequationis inveniantur , explicatur.
AD generalem aequationum omnium resolutionem spectat etia inventio limitti, quibus radices cujuscumq;aequationis continentur . Nam etsi hac ratione veri earum radicum Valores nobis non innotescant; dubitari tamen nequit, quineos preteter propter assequi liceat. Id igitur obtineri potest methodo superius tradita pro inveniendo limite, quem radices nullae transgrediantur. Et si enim beneficio illius methodi videatur dumtaxat inveniri posse limes pro maxima radice aequa tionis , quia tamen radix qua libet, augendo , vel minuendo radices omnes, fieri potest minima , deinde minima Converti In maximam , facile erit, eandem methodum ad radices omnes applicare. Interim , quia methodus illa , ob dissicilem calculum , non tam videtur ad praximexpedita , quin etiam dumtaxat locum sibi vindicat in aequationibus , quae nullas habent radices imaginarias , proinde alia
523쪽
alia ratione limites, intra quos continentur radices cuiuscumque aequationis, in venire docebimus , quae nimi eum , & facilior sit, 2 ad omnes aequationes se exintendat.
. Alterius autem huius methodi summa
haec est : multiplicentur termini aequatio nis propositae per numeros dimensionum, quas in illis habet incognita,& ex iis, qui oriuntur s nova formetur aequatio , quae dividi semper poterit per incognitam, quum ultimus terminus prioris aequationis multiplicari debeat per aero , sive nihilum , utpote qui nullas continet in cognitae dimensiones . Deinde novae huius aequationis multiplicentur adhuc termini omnes per numeros dimensionum squas in ipsis tenet incognita, st ex iis,qui
Prodeunt, nova itidem formetur aequatio, quae ob eandem rationem etiam Tem
per dividi poterit per incognitam . Et sic
multiplicando continub per numeros Himentionum terminos su hortae aequatio nis, novamque per incognitam dividendo, pergatur donec tandem aequatio ocincurrat linearis.
Omnes istae aequationes, quae sic permultiplicationem , divisionemque ex Proposita aequatione deductae sunt, una
524쪽
cum ipsa aequatione proposita , ostendent nobis limites , intra quos continentur radices aequationis tam positivae, quam negativae: unde non immeritb aequationes limitum potersit appellari. Qui enim numerus positivus scriptus loco incognitae in singulis illis aequationibus efficit,ut summa ex terminis cujuscumque aequationis sit ubi qua positiva , is ei it major omni radice positiva aequationis, adeoque limes, quem nulla ex radicibus positivis transgredietur. Qui verb numerus negativus, scriptus in iisdem aequationibus incognitae loco, essicit , ut summa termianorum sit positiva in aequationibus , quae dimentiones habent numero pares, 2 ne gativa in iis , quae dimensiones habent
impares numero , i S erit major omni radice negativa aequationis , adeoque limes, quern nulla ex radicibus negativis praeteribit. Exempli loco proponatur aequatio X sis ax' - Ioxa ' gox ' 63κ - sao- o. Multiplicentur eius termini omnes per numeros dimensionum , quas in iis habet incognita x, eritque noVa ae
525쪽
1 E . Alterius huius aequationis multiplicentur adhuc termini omneS per numeros dimensionum incognitar, k divisis prodeuntibus per x , habebitur nova aequatio a Oxa a κῆ - 6ox ' 6o mo,
quae fiet 1 xῖ -- 6x- - r fA ' IF o, si quisque terminus dividatur per η . EX nova ista aequatione per similem terminorum multiplicationem , divisionemque orietur haec alia I sx- - Iax-- I s- o , sive sx- - 4x - s O , atque ex hac tandem habebitur aequatio linearis I ox - η - o, hoc est 6x - 2 O. . Itaque eX proposita aequatione xs ax'. Ioxa' gox- ' 63x-- Ia O MOdeductae sunt quatuor aliae aequationeS,
tem , intra quem continentur omneS radices positivae propositae aequationis , te tandum est , quinam numerus positi Vus, scriptus . in iis quinque aequationibus loco incognitae x, essiciat, ut summa ter minorum omnium sit ubique positiva .Et quoniam tentando unitatem , fit quidem sx- a - 3,sed sx- - 4κ -ν πα- -4s
526쪽
Α h o E B R AElimes quaesitus major erit, quam I . Itaque tentandus est numerus aliquis unitate maior ; quumque tentando binarium, fit in singuIis aequationibus summa teris minorum positiva, erit numerus a major unaquaque radice positiva. Ad indagandum vero limitem , intra quem continentur radices omnes negativae eiusdem a quationis , inquirendum est, quinam numerus negativus, scriptus in iisdem quinque a quationibus loco incognitar x , essiciat, ut summa teris minorum omnium sit positiva in aequationibus, quae dimensiones h bent numero pares , 2 negativa in iis , quae dimensiones habent impares numero. Et quo niam nec - I, nec -- a hunc praestat effectum , tento-- g . Itaque quia posito - a loco incognita: κ fit 3 x - 1 - ω- 17s sxx - Απ- sa ,sπῖ -- 6κ - Isx ' Is - - 129, sx - 8x3
527쪽
Vides ergo per hanc methodum , limi tes , intra quos continentur radices tum positivae , cum negativae cuiuscumque ae quationis, ita quidem determinari , ut radices maximas neque etiam unitate ex Cedant . Quocirca si augendo, vel minuendo radices aequationis propositae, quaelibet radix fiat minima , tum eX minima convertatur in maximam , iam licebit per hanc methodum cujuscumque radicis talem limitem invenire , ut radice ipsa sic proxime major , neque eam eXCedat unitate. Et siquidem idem limes unitate minuatur , habebitiar limes altee Proxime minor , qui neque etiam unitate a radice ipsa deficiet. Sic aequationis κs a 2x -- rox 3 f rox' ' - illa. O maxima radix positiva est inter 1 s 2 a 3 maxima verb radix negativa est
Huius artificii pro limitibus inveniendis ratio pendet methodo radicum aequaliss,superius a nobis ostensa.Si enim . aequatio Proposita omnes habeat radices aequales, lain aliae aequationes limitum, quae exinde derivantur, pro numero sua tum dimensionu easdem radices aequales Continebunt.Quocirca,si radices illae fueriat positivae , omnis numerus positi Vu s
528쪽
ibus essicit, ut summa terminorum non e
vanescat, sed ubiqi prodeat positiva , erit 'maior radicibus illis. Λt verb , si radices
fuerint negativae, erit iis major omnis numerus negativus , qui scriptus inco- gnitae loco essicit, ut summa terminorum sit positiva in aequationibus , quae dimensiones habent numero pares , Ω negativa in aequationibus,quae dimensiones habent
impares numero.Quum ex radicibus quationis , vel nullae, vel non Omnes sunt aequales, utiq; aliae aequationes limitu pro numero sua rudimensionum radices easdem non conisci nebunt. Sed nihilominus unaquaeque ex radicibus ipsarum non excedet aequati Dis propositae radicem maximam ejus. dem speciei. Unde si maxima ista radix fuerit positiva , quemadmodum- omnis numerus positivus ea maior essiste, ut inaequatione proposita summa terminorum sit positiva , ita idem numerus prae 1abit hoc idem in aliis aequationibus limitum. . Et, quemadmodum si maxima illa radix
fuerit negativa , omnis numerus negati uus ea major essicit, ut summa terminois
rum propositae a quationis fit positiva , si dimentiones habeat numero pares , bc ne f
529쪽
EBEM.' Lib. II. Cap. 9. stativa,si dimensiones habeat impares numero uta idem multi erus in aliis aequationibus limitum eundem pariet effect Em, Jam cognitis limitibus , intra quos consistit radix aequationis , licebit per hanc methodum ad veram impossibilem propius semper , ac propius appropiu- quare . Sit πῖ ax - s m o aequatio proposita, quia linies proxime minor maximae radicis positivae est a , pono a s p- x , Ω substituto in aequatione loco χhoc ejus valore , nova prodibit aequatiopi 6p- ' iop-. I mo , neglectisque terminis pi ' 6p- , ob parvitatem ipsius
p , fiet I op -- I in o , adeoque assumpta quantitas p amplius , quam unam decimam adaequabit . Unde rursus si decima ista una cum ρ ponatur aequalis p , & debitis substitutionibus peractis, quantita tis Φ valor prope veritatem inveniatur, propius appropinquabitur ad valorem ipsius p ,2 consequenter ad valorem incognitae X. Potest etiam ad verum valorem in Cognitae appropinquari , adhibendo limitem proxime maiorem . Sic in eadem aequatione xῖ - ax - O limes proximae maior maximae radicis positivae
530쪽
ας ' ABGE B R AEtuto in aequatione loco incognitar x hoc ejus valore , prodibit haec alia pῖ - πη' a sp - 1 6 - o , si ve etiam a sp - Ism: s neglectis terminis p3 - 9p ob parvitatem ipsiss p : unde quantitas pcirciter duas tertias unitatis adaequa bit . Ponatur deinde valor iste un
cum ' aequalis p , M siquidem factis debi
tis substitutionibus , inveniatur eadem methodo valor quantitatis ρ prope veri tatem , appropinquabitur propids ad valorem iptius p , atque adeo ad valorem incognitae X. Quoniam autem in hac methodo ter mini nonnulli negliguntur in inveniendis quantitatibus p , ρ &c. , fieri quandoque potest , ut valor assumptae quantitatis prodeat negativus, atque adeo ta tum absit , ut ad verum valorem appropinquetur , ut potius ab eo discedamus. id quum accidit , nolim animo concida
tis , tum quia fieri potest , ut id , quod
antea lucratum est , sit justo majus , atque ad eb restituatur per novum valorem Telativum , tum etiam quia id, quod iaea operatione fit iacturae , potest iu operationibus sequentibus lucrari. Institua tur ergo pluries , ac pluries haec operatio,