장음표시 사용
61쪽
i o curvi ac secti proportio promota.
. erit DC. e mplementum minoris arcus DB. O m. --plement m maioris sE. Dico minorem esse rationem M. ad AF, quam arcus DC. ad aereum . m. Durantur da nus complementi DEL EJ. O . i. 6. minor erit ratio DΗ. ad M. quaestialium. arcus DC- ad arcum m. vi aut, D . ad EI. ita AC. ad AF. hoc
enim a Clauio dem ratum est propag
et a. desecantibas, O deducitur ex JT..huiuo igitur minor eApproportio AO. ad AF. quam arcus DC. ad arcum EC.
THEOREM A XXXVI. PROPOS. XXXIX. SInus rectus maioris arcus , ad sinum rectum minoris, minorem habet rationem, quam chorda maioris , ad chordam minoris & chorda ad chordam minorem rationem, quam sinus versus m loris, ad sinum versum minoris.
IN circulo ABC. sit arcuS maior quilibet AC. minor AB. qu rum chordae CA. BA. sinus recti CH. BD. sinus versi HA. m. Dico minorem esse rationem CH. ad BD. quam CA. ad BA. dc minorem CA. ad BA. quam HA. ad DA. Nam in triangulis rectagulis AHC. ADB. cum maior sit totus angulus BAD. sui parte CAIq. erit reliquus angulus ABD. minor hnim, angulo ACH. Constat igitur ex 23. huius, minorem esse rationem HC. ad CA. quam DB. ad BA. & permutando, minorem rationem esse I C. ad DB. quam CA. ad BA. Rursus per eandem propositionem, maior sit angulus DAB. angulo A
62쪽
angulo HAC. minor erit ratio DA. ad AB. quam M. ad AC. &permutando,&conuertendo,maior ratio m. ad DA. quam O. ad BA. ideoq; minor CA. ad BA. quam HA. ad DA. Igitur sinus rectus maioris arcus &c. quod erat
HInc eo Dis num rectum dimidi, arcus maioris, ad ni
rectam dimididi minoris, minorem habere rationem, quams num versum arcus maioris, ad sinum versum minoris. Nam sinus rectus dimidi, arcus AC. es medietas chorda AC. Osinti rectus dimidi, arcus AB. GF medietas chorda AB. vi constat ex desinitione sinus recti e eum igitur ut tota chorda AC. ad totam AB. ita illius med eras, ad medietatem huius iste; proportio chorda AC. ad chordam AB. minor quam inas versiΗA. ad num versum DA. etiam us rectus dimidi arcus AC. adsinum reis Liam dimidi, AB. minor erit ratio, quam O. ad DA.. THEOREM A XXXVII. PROPOS. XL. SI trianguli rectanguli rectum angulum perpendicularis in basim demissa secet, & ex punctis, ubi latera basi iunguntur, lateribus i pus tequales partes ex bali abscindantur; rectae ex trianguli ungulo recto ad pulicta sectionis ductae diuidunt angulos a perpendiculari cum lateribus factos, bifariam.
SIT triangulum G AD. rectangulum ad A. & ex puncto A. demissa AE. perpendicularis in basim DG. secet angulum rectum in angulos DAE. GAE. &ex puncto G. ex basiab scindatur GI. aequalis lateri AI & ex A. ducatur AI. Dico rectam AI. diuidere angulum DAE. bifariam Diuidatur angulus AGD. bifariam ducta GL. quae secet. AE. in N. d. G a AI. in
63쪽
s 1 Curui ac recti proportio promota.
AI. in M. Quoniam aequalia sunt latera GA. GI. in triangulo GAI. ex descriptione, aequales erunt anguli GAI. GIA. sed & ex descriptione, aequales sunt A . IGM. aequales igitur sunt & reliqui. AMG. IMG. atq; ideo recti . Rursus cum in triangulis GEN. AN M. Anguli ad vertiacem N. aequales sint, & GEN. AMN. recti, aequales erunt& reliqui EGN. NAM. id est EA I. cum autem aequales etiam sint EGA. EA D. ablatis aequalibus EA I. EGN. rem nent aequales NGA. AIAD. Igitur cum angulus EAI. sit aequalis angulo EGN. d. Angulus I AD. aequalis angulo NGA. sint II autem ex hypothesi, anguli EGN. NGA. aequales, erunt & anguli EA I. IAD- aequales. Atq; idem etiam ostenditur, si ipsi DA. aequalis sumatur DH. eodem .n. prorsus modo probabitur, a recta A, angulum EAG. bifariam diuidi. Igitur si trianguli recta guli angulum rectum &c. Quod erat demonstrandum.
THEOREM A XXXVIII. PROPOS. XLI. Differentia secantis maioris arcus cum sinu toto, ad differentiam secantis minoris, maio
rem habet rationem, quam tangens maioris arcus ad tangentem minoris. IN circulo AG F. cuius centrum. I diameter IA. sumam tur duo arcus inaequales maior AF. minor Ata quorum tam gentes. AH. A D. secantes IH. ID. & differentiae secantium cum sinu toto HF. DG. Dico maiorem esse ratiouenia AF. ad DG. quam AH. ad AD. diuisa AI. bifariam in E. centro. E. describatur circulus ABCI. secans secantes in
64쪽
mam in triangulis IAH. IAD. reetiis est angulus ad A. m lom; angulus ADI. externus, interno DAI. minor erit ratio AD. ad DI. quam AH. ad HI. & conuertendo maior ratio ID. ad DA. quam IH. ad HA. sed vi ID. ad M. ita M. . ad DB. &vt IH. ad HA. ita I A. adHC. (nam cum rectangulum I . sit aequale quadrato m. dc rectangulum II C. Quadrato. I A. erit ut ID. ad M. ita DA. ad DB. & ut II . ad HA. ita HA. ad HC. Igitur maior est ratio AD. ad DB. quam AIq. ad I C.&permutando,&conuertendo, minor ratio AH. ad AD. quam HC. ad DB. Rursus cum in triangulo rectangulo IAD. demissa sit ad basim ID. perpendicularis AB. & lateri Im sit sumpta in basi aequalis IG. dia uidet, ex praecedenti, recta AG. angulum DAB, MLuiam, atqi eodem modo in trianstulo rectangulo IAD. recta AF. diuidet angulum HAC. bifariam. Quare cum in triangulis re-etangulis ABD. ACH. angulus CAI .sit maior angulo BAD. maior erit ratio BA. ad AD. quam O. ad AH. sed ut BA. ad AD. ita BG. ad GD. divi O. ad AH. ita CR ad FH. nam angulos BADAEAH. rectae m. AF.bifariam diuiduno igitur maior ratio BG. ad GD. quam CF. ad F. H. & com ponendo, & permutando maior ratio BD. ad CH. quam DG. ad FH. & conuer- a tendo, minor ratio HC. ad . quam FH. ad DG. Cum igitur minor sit ra- tio AH. ad AD. quam I C. ad DB. ut paulo ante ostensum est , item tam aenor ratio M. ad DR quam FH. ad DG. erit etiam ex aequalitate, minor ratio M. ad AD. quam FH. ad DG. Quod erat demonstrandum.
65쪽
as. I32. I. 33. I s. i. a. s. 3 Ia
s Curvi ae recti proportio promota.
EX dictis colligitur, etiam disserentia ferantis maioris arcus
insemicirculo, ad disserentia erantis minoris, maiorem esse rationam, quam tangentis, arcus maioris, ad tangentem minoris; Metensium enim est maiorem esse ratiouem m. ad BD. quam UA. ad DA.
THEOREM A XXXIX. PROPOS. XLII.
DIsserentia secantis maioris arcus, cum sinu to
to, ad differentiam secantis minoris, maiorem habet rationem, quam sinus versus maioris arcus, ad sinum versum minoris. IN superiori figura, sint rursus secantes AE. AD. illa maioris arcus BF. ista minoris BG. earum differentiae EF. m. taductis sinibus rectis GH.FI. quorum iste secet AD. in L. sint eorundem arcuum sinus vel si IB. HB. Dico maiorem esse rationem FE. ad GD. qua IB ac HB. Ducatur enim ΚF. paralella ipsi DA. Erit angulus FΚE. aequalis angulo ADE. angulus autem A DE. est obtusus (cum enim in triangulo rectangulo angulus ABD. sit rectus; erit ADB. acutus, ac proinde eius complementum ADE. obtusus igitur etiam angulus FΚE. obtusus est; maius igitur cst latus EF. latere FΚ. in triangulo FΚE. Rursus cum parallelae sint lateri BD. rectar IL. HG. in triangulo ABD. erit ut HI. ad I A. ita GL. ad GA.&vt HA. ad HB. ita GR. ad GD. ergo exaequali ut HI. ad HB. ita GL. ad GD. & componendo vi IB. ad BH. ita L D. id es h FΚ. illi aequalis(est enim ΚDLF. parallelogram-mum ex descriptione) ad GD. Sed maior ostensa est FHquam FΚ
66쪽
FΚ. igitur maior ratio est FE. ad DG. quam FT. id est,LD. ad DG. & IB. ad HB. Quod demonstrandum erat.
Rcuum continuorum in circulo sese qquali e cessu superantium,chordae inter se, sinus item recti, sunt in continua proportione minori , secantes vero in continua proportione maiori. IN circulo ABCD. cuius m T E Gcentrum H. & diameter HA.
sint tres arcus aequaliter differentes,ac continui AB. AC. F
Dico primo minorem esse ra- u-itionem chordae AD. ad chordam AC. quam chordae AC. ad chordam AB. In triangulis Gnim BAC. CAD. aequales sunt anguli BAC. CAD. aequali- 1 r. 3.bus arcubus BC. CD. insistentes: Angulus vero CDA. maia sthol, ira, tori arcui CA. insistens erit maior angulo BCA. minori arcui res, i. BA. insistente. minor igitur est angulus DCA. angulo CEA. Ergo minor est ratio BA. ad AC. quam CA. ad AD. ut con- as. huius. stat eae a 3.huius. Rursus quoniam sinus recti dimidij sunt chordarum, sint , , autem chordae in continua proportione minori , erunt etiam sinus recti in continua proportione minori. Denique dico maiorem esse rationem secantis Im ad secantem HE. quam secantis HE. ad secantem HF. nam cum intri- .angulisAHE. EI F. aequales sint anguli AHE. EHF. maior autem sit angulus AEH.externus,interno HFE. maior erit ra- coroll. o. tio AH. ad HE. quam HE. ad I F. Atq; eodem modo osten- h β detur maiorem esse rationem HE. ad I F. quam H F. ad I G.
67쪽
mi aerecti proporti promota. THEOREM A XLI. PROPOS. LXIV.
T Aphnxium disserentiae quibus aequales arcu
continui respondent, sunt in continua proportione maiori. IN figura superioris propositionis, sint tres, aut plures a cus AB. BC. CD. aequales , ac continui; & tangentium diis rentiae illis respondentes AE. EF. FG. Dico maiorem esse rationem AE. ad EF. quam EF. ad FG. Nam quoniam angulus AHF. diuisus est bifariam reista HE. ob arcus AB. BC. aequa-3 les, erit ut AH. ad H F. ita AE. ad EF. Atq, eodem modo cum diuisus sit angulus EI G. bifariam recta H F. ob aequales a cus qui assumpti sunt BC. CD. erit ut EH. ad HG. ita EF. ad FG. Rursus quia in triangulis AHF. EUG. quorum anguli,ct. AH F. EI G. sunt aequales, cx hypothesi,& angulus I FA. as. huius. minor angulo HGE. maior erit ratio AH. ad HF. quam EH. ad HG. sed ut AH. ad H F. ita ostensum est AE. ad EF. & ut EH. ad HG. ita EF. ad FG. Igitur maior est ratio A E. ad EF. quam EF. ad FG. Quod erat dcmonstrandum.
THEOREM A XLII. PROPOS. XLV. SInuum versorum, ac rectorum disserentiae aequalibus arcubus continuis subtensae, sunt in contianua proportione minori. I N circulo ABC. cuius centrum E. duae diametri sese perpendiculariter secent in E. quae sint AO. TI . & sumantur quotlibet arcus aequales ac continui AB. BC. CD sintque a cuum AB. AC. AD. sinus rei ti BI. CΚ. D L. & sinus complementorum B F. CG. DH. producti in peripheriae puncta O. P. Q. S. & qui secent sinus in M. N.& connectuntur OB. PC.QD. crunt EF. FG.GH. sinuum vertatu in differentiae. Dico min
68쪽
rem esse rationem EF. ad FG. quam FG. ad GH. Quoniam in triangulis rectangulis ad OID. PMC. QND. aequales iunt Aetiam anguli IOB.MPC. NQD. a qualibus arcubus AB. BC. , , CD. insistentes aequiangula sunt o. triangula dicta inter se , erit ergo ut OB. ad BI. ita PC. ad CM.&QD. ad DN. & permutando, ut OB. ad PC. ita IB. ad MC. id est EF. ad FG.&ut PC. ad QD. ita MC. ad ND. id est FG. ad GH. Quoniam vero arcus BRO.CRP. DR sese aequali excessu superant, aequales enim sumpti sunt arcus AB. BC. CD. tum inter se, . tum arcubus OR P QS. minor erit ratio chordae OB. M chordam PC. quam chordae m. ad chordam QD. Igitur &rectae EF. FG. GH. quae eandem rationem cum dictis chordis obtinent, ita se habebunt, ut minor sit ratio EF.ad FG.quam FG. ad GH. Quod filii probandum.
PROBLEMA IIII. PROPOS. XXXXVI.
Uadrantem ita secare, ut sinus versus maioris arcus, ad sinum versum minotis, maiorem habeat rationem, quam tangens maioris,adrangentem minorIS.
SIT Quadrans ABC. cuius centrum L. latera perpendicularia LA. LD. quorum unum LA. ita secetur, ut pars LE, sit aut aequalis, aut maior quam EA. & ducatur Eet perpen dicularis ad LA. & arcus CA. quem EC. abscindit ex quadrante, diuidatur bifariam in B. ducaturqueari' BA. sinus rectus BR. & connectatur chorda AC. secans B R. in I. Ilcm semidiameter L. B. secans m. in T. & CA. in S. denique per
I. ipsi AL. agatur parallela IM. secans CE. in H. & LB. in M.
69쪽
s 3 Curui ac recti proportio promota.
& DL. in N. Constat EA. esse sinum vorsum arcus CA. R A. sinum versum arcus BA. Item CE. esse tangentem anguli CLE. idest arcus CA. &ΚE. tangentem anguli XLE. seu arcus BA. Posito nimirum sinu toto LE. Dico maiorem esse rationem EA. ad A R. quam CE. ad EΚ. Nam aequalium arcuum CB BA. aequales sunt sinus versi BS. AR. Igitur triam gula BSI. ARI. rectangula ad pun- . acta S. & R. & habentia angulos adverticem. I. aequales aequiangula
sunt, & quia praeterea latera AR.
BS. aequalia sunt, aequalia etiam .erunt SI. I R. at ipsi I R. aequalis est NL. Igitur,cu rursus in duobus tria-gulis rectangulis ad S. N. etiam anguli ad verticem M. sint aequales, &aequalia latera NL. SI. eodem modo, quo paulo ante ostendemus in dictis triangulis latus SM. lateri MN. & basim I M. basi ML. esse aequalem, maior autem ML. quam MN. Igitur maior est I M. quam MN. ac proinde NM. minor quam dimidia ipsius NI. at LE. aut dimidia est, aut maior quam dimi dia ipsius LA. quae multo maior est quam NI. Igitur maior est LE. id est HN. quam MN. cadet igitur punctuin M. inter puncta H. N.ac LM. producta secabit CE. in Κ. inter puncta C. H. ; maior igitur est EΚ. quam EF . Rursum cum in tria gulo CEA. recta II . sit parallella lateri AE. & IR. ipsi HE.ex descriptione erit ut CE. ad EH. id est O. ad IA. ita EA. sinus versus arcus CA. ad RA. sinum versum arcus BA. sed CE. tangens anguli CLE. ad XE. tangentem anguli XLE. min rem habet rationem quam CE. ad EH. Igitur CE . tangens anguli CLE. seu arcus C A. ad T E. tangentem anguli ΚLE. seu arcus BA. minorem habet rationem , quam EA. sinus versus arcus CA. ad RA. sinum versum arcus BA. Quod
70쪽
PROBLEMA V P R o P o S. . XXXXVII. DAxo arcu in Quadrante , alium inuenire, ita
ut tangens maioris ad tangentem minoris , maiorem habeat rationem, quam sinus versus maioris, ad sinum versum minoris. SIN V M DB. arcus AB utcunque acceptum secet chorda quadrantis A O. in P. ex quo punao P. ipii A L. parallela .PΚ. ducta secet semidiametrum LMn puncto Κ; & ad AL. duca- Atur perpendicularis EΚC. Dico
maiorem esse rationem tange tis arcus AC. ad tangentem a
cus AB. quam sinus versi eiu dem arcus AC. ad sinum versum arcus AB. Ducatur AC. secans DB. in I. &ex I. ipsi PR. seu I--AE. parallela agatur II . secan EC. in H. quod quidem punctum I. cadet inter P.& B. cum punctum C. cadat supra O. ideoque recta AC. supra AO, & punctum H. cadet inter puncta Κ. & C. erit EA. sinus versus arcus AC. & DA . sinus versus arcus AB. &CE. tangens anguli ELC. id est arcus AC. & EΚ. tangens anguli ELΚ. id est, arcus AB. Cum igitur parallelae sint IH. AE. Item etiam DI. & EH. crit ut CE. ad EH. id est CA. ad AI. ita EA. ad AD. sed CE. ad EH. minorem habet rationcm quam CE. ad EΚ. Igitur EA. sinus versus arcus AC. ad DA. sinum versum arcus AB.minorem habet rationem, quam CE. tangens anguli ELC. seu arcus AC. ad EΚ. tangentem angu-Ii ELΚ.seu arcus AB. Quod fuit probandum.