장음표시 사용
381쪽
diculares ad alterum latus Quadrantis ,& ad alterum paralleli ducuntur: quae omnia ex demonstrationibus apparebunt.
SEI audio P pum Alexandrinum Coli I. lib. q. p. st
huiusnodi lineas re rahendentem , quod per Ignotam adhuc, atque irrepertam circuli, Fractae proportionem deser bantur. Recte id quidem,s ea proportio etiam Trur a aetaepnumero continere/- , neque utar eum possibilis esset. At vero res in laud insolens, tum in P scis, tum in M thematicis , ut ex dis qua non sunt , esse tamen possunt , quid faturum si , friue possit Opalletice demo retur. Latet adhuc ratio inueniendarem, inter duas datas , duarum modiarum proportionalium , quod tamen inueniri queant , im dicant varia Mesolabia a Maereantissimis Geometris , apud tocium, excogitata. Ηinc non absurde licet argumentari: Si inter duas datas duae media proportionales reperaantur aerit cubus prima ad cubam secundae, vi prima ad quartam ;at vero impossibilis non in illa maentio . igitur pote esse rario cabi ad cubam q a datarum linearum. mares menderimus posse lineam rectam , ae circulum in easdem rationes se. eari, non inepte Helicum,c, AEuadratricam descriptionem in-s tutam esse probabimus. Si enim fieri posit hae diutino , etiam puncta tam in linea recta, quam in circulo mota , modo supradicto, partes proportionales auferre possunt sideoque
lineam Spiralem, madratricem , Diui uam , delineare .. Ac proinde,quae inde Uscientur demonstrationes,non quidem ex datis procedent, sed ita vis p uro disgr/ ex quibus non minus certo quantitatis Ufectiones,quam et vidi st: carum comprobabuntur . mod vero possibilis sit proportionalis hac Harao , sequentibus duobus Lemmatis mendemus. Postulatum.
Lineam curuam extendi posse. A a a et L E M.
382쪽
3 x Curui ac recti proportio promora LEMMA I SI linea curua extendatur , ut extendi amplius non possit ; erit linea recta
Linea recta A. extendatur , ita ut ampIius .
extendi non possit, sitque hoc modo exten- B. Dico B. esse Iineam rectam . . Si enim l IB. non sit linea recta , erit eurua, at linea s l l Acurua extendi potest , Igitui R extendi po- test at supponebatur non amplius posse ex-
Potest: data Iliaea recta dati circusi perim
Sit data recta HΚ-& datus circulus AB. Dico rectam H Κ. posse secasi ea proportione, qua s
cantur peripheria circuli AB. Sumath in circulo AB. pars AB. cui in aequali circulo sumatur pars a qualis CD. ae exten datur perianeter citaculi CD. quantum potest, migrabit intilineam rectam, quae sit Eta in qua remaneant eadem diuisi nis puncta quae eranc
383쪽
in circulo: videlicet E. F. puncta sint cadem punctis C. D. Hinc data HΚ. rectae m. siiniliter secetur in I. Quoia niam est vi ΚH. ad HI. ita GE. ad EF. & ut G E. ad EF. ita peripheria tota circuli CD. ad partem CD. c est enimia proportio aequalitatis, cum tota EG. sit periphersa ipsa totius circuli extensa EF. pars rectat EG. sit eadem parti CG. & ut peripheria tota circuli CD. ad partem CD. ita peripheria totius circuli AB. ad partem AB. ergo ut X H. ad I l. ita peripheria circuli AB. ad partem AB.linea igitur data H Κ. dati circuli AB. perimetro similiter secari potest. Quod erat demonstrandum.
LEMMA III. MAior est ratio sinus totius ad suum ver
sum arcus Quadrante minoris, quar
peripheriae inadrantis ad dictum ar-
In circulo cuius centrum R. st peripheria Quadrantis DF. arcus minor Quadrante EF. ductis sinibus rectis DB. EC. etunt BF. CF. sinus versi, & BF. etiam sinus totus , qui cum sit maior quam EC. accipiatur in aequali BD. recta BG. aequalis ipsi EC. item cum fit maior quam CF. accipiatur BΚ. aequalis CF.&connectantur DF.EF. GF. GΚ. ac centro G. distantia GR. describatur circulus HΚI.
secans DB. productam in ri: & i , e
GF. in I. Dico maiorem esse ra- Z retionem BF. ad FC. quam DF. ara I
cus ad arcum FE. Nam quia in f triangulis GBΚ. ECF.rectangulis I I
ad B. C. aequalia sunt latera GR MEΚ. lateribus EC. CF. ex hypois D . G 'thesi, erunt anguli BGΚ.CEF. aequales. Iam vero maior
384쪽
. s. D. s. I. 633. s. i f. I. t. sX s. s
3 Curui ac recti proportio promota.
tot est ratio sectoris GHΚ. ad sectorem GTI. quam elucdem sectoris GHΚ. ad triangulum GΚF. & sectoris GHΚ. ad triangulum GTF.maior est ratio,quam trianguli GBΚ. ad idem triangulum GΚF. ergo a primo ad ultimum, maior est ratio selioris G ΗΚ. id est arcus HΚ. adsectoremGΚI. id est ad arcum XI. quam trianguli GBΚ. id est rectae BΚ. ad triangulum G ΚF. id est ad rectam ΚF. & componendo & per conuersionem rationis minor ratio II . adHΚ. id est anguli FGH. ad angulum LGH. quam recta FB. ad rectam BΚ. sed angulus BDF. internus minor est externo FGH. Igitur minor est ratio anguli BDF. ad angulum BGΚ. id est ad angulum CEF. qui modo ostensus est ei aequalis, quam anguli FGH. ad angulum ΚGB. id est, CEF. Cum ergo minor sit ratio anguli BDF. ad angulum BGΚ. id est CEF. quam anguli BGF. ad angulum BGΚ. id est CEF. & minor ratio anguli BGF.ad BGΚ.angulum, id est ad CEF. quam FB.ad BΚ.erit a primo ad vItimum, minor ratio BDF. ad CEF. quam FB, ad BΚ. id est, quam FB. ad FC. sunt enim positae aequales BΚ. d. FC. sed ut angulus BDF. ad angulum CEF. ita arcuε DR ad arcum EF. ( sunt enim dicti anguli dictorum arcuum, aut potius angulorum arcubus subtensorum dimidij
maior igitur est ratio BF. sinus versi arcus DF. id est, sinus totius ad CF. sinuin versum arcus EF.quam arcus maioris DF. nimirum Quadrantis ad arcum EF. Quadrante mianorem. Quod erat &c.
EAdem demonstratio fieri poteB ae UD. sit sinus totus.
e non s modo sit maior quam Aus CE. vi manife- se apparet ex figura. Hoc aerem aliter demo rauimus . b. primo theoremate 3 o. Sed praefiniem dimonurationem quia elegantior visa est, addere voluimus.
385쪽
Crum, a puncto in quo coeunt similiter di ui dantur: perpendicularis a termino arcus proportionalis in latus demissa aufert ex latere, verius eius extremum , partem minorem part proportionali lateris.
Peripheria Quadrantis BC. cuius centrum A.&Iatus erectum AB. ex puncto B.ubi coeunt similiter dividantur, id est, sit BC. ad BE. ut BA. ad BF. & a termino E. arcus proportionalis BE. demissa in latus AB. perpendicularis ED. auferat partem DB. Dico DB. esse minorem quam FB. Nam cum DB. sit sinus versus arcus BE. maior Imm. I. erit ratio sinus totius AB. ad sinum 'virum ves sum DB. quam peripheriae Quadrantis BC. ad arcum BE. sed ut peripheria Quadrantis BC. ad arcum BE. ita ex hypothesi est AB. ad BF. maior igitur est ratio AB. ad BD. quam AB. ad BF. minor igitur est DB. quanta i*- i FB. Quod erat demonstrandum.
RAdij Spiralis Quadrantis sunt in ratio
ne, in qua sunt arcus madrantis inter eosdem radios ad peripheriam productos, &basim eiusdem Quadrantis compraehensi.
Sit Quadrans ABC. cuius Spiralis AFGB. radij Spiralis AF. AG. qui producti secent peripheriam Quadrantis in punctis E. D. Basis Quadrantas AC. latus ei utiem ere
386쪽
3 c Cu rui ac recti proportio promota.
ctum, seu diameter Spiralis AB. Arcus inter basim AC.& puncta E. D. compraehensi sint EC. DC. Dico esse ut A F. ad AG. ita arcum C E. ad arcum CD. Est enim , ex defiu. i.hu- h descriptione, seu definitione Spiralis, ut AP. ad AC. ita arcus CE. ad arcum CB. & ut AG. ad AC. E -- II ita CD. ad CB. & conuertendo 'IN l AC. ad AG. ita CB. arcus , ad ar- i cum ad arcum CD. ergo ex aequa-cl litate ut AF. ad AG. ita arcus CE. A. ad arcum CD. Quod demonstrare
SI diametro Spiralis in Quadrante parallela
eandem Spiralem contingat: secans per punctum contactus ducta ad suum arcum minimam inter omnes secantes proportionem habet
Sit Quadrans ABC. cuius Spitalis AFB. ac Spiralis di
o meter AB. cui paralicta sit recta LI. quae Spiralem tangat in F. puncto, pes quod cx centro A. Quadrantis ducatur AF N. secans arcus CP.occurrens tangenti CN.eiusdem arcus , & parallelae ipsi AB. in puncto N. Dico secantemAN. ad suum arcum CP. minorem habere proportioncm, quam habeat quaelibet alia secans ad suisq um. Ducantur quaelibet aliae s cantes ultra citraque A O. A M. quarum illa secet Qtia-drantem in QIsta in R. ista rectam LI. quantumlibet pio- ductam
387쪽
ductam in I. ista in L. ( secabunt autem, cum ei parali lam CO. secent in M. & o. illa spiralem in G. ista in L.
Quoniam recta LI. spiralem tangit in F. in illo tantum puncto tanget: Cadent igitur puncta I. L. ideoque partes GI. HL. extra spiralem. Cumque in triangulo OAN.parallelae sint ON. IF. erit ut OA ad IA . ita NA. ad FA. &permutando, OA. ad NA. vi I A. ad FA. maior autem est ratio I A. ad FA.quam GA.ad FA. Igitur maior est ratioo A. ad NA. quam GA. ad FA. vi vero GA. ad FA. ita a cus QC.ad arcum PC. Igitur OA.ad NA.maior est ratio, quam arcus QC. ad arcum PC. & permutando secantis oA. ad suum arcum QC. maior est ratio, quam secantis NA . ad suum arcum PC. Eodemque modo ostendetur, maiorem esse rationem secantis MA. ad suum arcum MC. quam secantis AN. ad suum PC. Idemque sequetur in . qualibet alia secante: ergo secans NA . ad suum arcum PC. minimam inter omnes secantes proportionem ha bet. Quod erat ostendendum. Vocentur autem puncta F. P. minimae proportionis in Spirali,& in quadrante: & secans AN. minimae proportionis.
THEO REMA III. PROPOS. III. SEcans minimam ex caeteris secantibus ad suaum arcum proportionem habens spiralem Madrantis diuidit in puncto , per quod parallela diam ctro spiralis , seu tangenti ma-drantis ducta dictam spiralem contingit.
Sit Quadrans ABC. in quo secans AN. Occurrens tangenti Quadrantis CO. in puncto N. secans Quadrantem in P. Spiralem adrantis in F. habeat ad suum arcum PC. minimam ex caeteris secantibus rationem: ac per punctum F. ducatur FGI. parallela tangenti CO.- Dico quod
Archiln. p. II. deline si spiralibus .
388쪽
3 Curui ac recti proportio ptomota.
recta FGI. spiralem tangit iti F. Si enim non contingit, si cet in punctis F. G. ita ut FG I. siuvna recta ipsi CO. parallela, & duia catur perpunetrum G, secans AO Occurens tangenti in o. & Qu dranti in Quoniam parallela ponitur FGI- ipsi CO. erit ut OA- ad AG. ita NA. ad A F. & permuretando ut OA ad NA. ita AG. ad AF. sed ut AG ad A F. ita arcuuQC. ad arcum PC.ergo ut OA. agNA. ita arcus v. ad arcum PC. & permutando, aequalis erit proportio OA. ad suum arcum m. proportioni NA. ad suum arcum PC. Quod est absurdum, cum proportita NA. ad arcum m. ponatur minima qualibet proportionet alterius secantis ad suum arcum. Igitur secans minimam ex caeteris &c. Quod erat probandum
Angens compIementi arcus, ad qUem Mem secans minimam habet rarionem,
sit Quadrans ABC. cuius tam gens CN. secans AN. arcus M. minimam cum eo proportionem habens, ac secans spiralem Quadrantis ADB. in punctio D. sitque arcus CM. complementum arcusMB. cuius tangens BL. Dico tam gentem BL. esse aequalem arcui
MC. Centro A. per punctum in describatur Quadrans TDH. per idem punctum D. ducatur imfinita et
389쪽
finita DF. parallela tangenti CN. atque, puncto A. ad DA. tacatur perpendicularis AF. quae occurret ipsi DF. in F. Denique ducatair DE. perpendicularis ad D A. ideoque tangens arcus DH. Constat rectam AF. esse aequalem ar--cui DΚ. Rursus quoniam in Quadrilatrio AEDF. anguli EDA. DA F. sunt recta parallelae sunt DE. FA. Sed reparallelae sunt DL EA. utraque en is nitur parallela ipii cre Igitur parallelogrammum est AEDF. S opposita latera AF. DE. aequalia. Quare cum AE. st .aequalis arcui Dcerit DE. etiam aenualis arcui DΚ. Vt autem arcus TD. ad Quadrantem ΚH. ita arcus CM. ad Quadrantem CB. & permutando, ut arcus ΚD. ad arcum C ita Qua-Mrans ΚH. ad Quadrantem CB. & ut Quadrans XI . ad Quadrantem CB. ita semidiameter A D. ad semidiametrum AM. &ut A D. ad A M. ita DE. ad B L. ( nam cum aequiangula sint triangula EDA. LBA. ob communem angulum ad A.&rectos ad D. B. erit ut A D. ad DE. ita AB. ad B L. & permutando erit a primo ad ultimum, ut arcus XD. ad arcum CM. ita DE ad BC & permutando, ut a cus ΚD. ad rectam DE. ita arcus CM. ad rinam B L. in autem probatus arcus ΚD. aequalis rectae DE. igitur arcus CM. aqualis est tangenti complementi BL. Quod mi demonstrandum,
HInc manifectum m .s problemate aliquo Geometrico
scans miaeiana proportimis repertatur, fim tangem tem complementi arcus , cuius ect scans , esse aequalem illarc I. 3
A 'g''i complementi arcus, ad quem h
iusdem secans minimam habet rationem, o .. Bbb et est
390쪽
3 8 o Curvi ac recti proportio promota.est aequalis Quadranti circuli a principio lineae spiralis, per punctum ubi secans minimae proportionis spiralem secat, descripti.
Sint omnia quae superiori propositione. Dico tangentem B L. esse aequalem Quadranti XH. Quoniam triangula ADE. ABL. communem habent angulum ad A. rectos ADE. ABL. sunt aequiangula. Igitur ut Ah ad A M. ita DE. ad B L. Sed ut A D. ad A M. id est, ad AB. , huius, arcus CM. ad Quadrantem CB. id est arcus X in ad shyidi fi adrantem XI .Igitur ut recta DE.ad BI .ita arcus X D. . huiu . id est, recta DE. illi aequalis, ad quadrantem ΚH. aequales i, igitur sunt BL. recta tangens arcus BM.& Quadrans ΚH. Quod erat demonstrandum.
iHIne deducitur arcum CM. esse aequale adranti m. est enim arcus CM. aequalis tangenti BL. Pa modo probata est aqualis uadrasti XΗ.
SEquitur praterea ea dictis, tam uadrantem m. quam arram CM. e medio loco proportionalem inter arcum DR. ct madrantem ABC. nam ut X D. ad XΗ. ita oliensem Ny h. - DA. ad AM. S M DA. ad AM. ita Hadrans Tmadelament.' uadrantem BC. ergo Marcus TD. ad quadra temΚΗ.ua servi. i. i. oradrans Res. idest arcus . - uadrantem m.
DEnique patra arcum DΗ. e minorem area DT. id an um ME. arcu CM. Nam arcas RD. ect aqualis reis A imm .cta tangenii DE. at tangens DE maior es quam arcasDΗ gi- Indis. iam arcas DU. est minor arca DT.