Theologumena arithmeticae, ad rarissimum exemplum Parisiense emendatius descripta

112쪽

ἀκολουθοι τῶν ὀμοταγῶν - δι- -- α πω παρεπόμενον ἄσι τουτοις λαφυρον, τιοῖ μώπρῶτοι και πυθμένα λεγομεν Ἀγρος εισιν ἀλλήλων

ἐν τεφοσι- χοματι, οἱ δὲ δεύτεροι ἀπῶ πουθμενωνι, μόνον ἀριθμὀν διαλειπουσιν, οι ει τρίτοι αλλι ει τέταρτοι τρεῖς, οὐδὲ πέμπτοι ae, uia εἰ iam

τεχνον καί τινες προτεροι φύσει, κατίδωμεν, και

' κν

μῆκος

113쪽

τες τῶν του noi πλασαν ζών Ουκοῆν των μιν 'ρωτων στυρο αρχομένων ἀπο μονάδος τε πλατος κω ἐπὶ βάθος γαμοειδῶς οι δευτεροι εφ κατερα κα αυτοι γαμμοειδώς - τετράδος as ἀρχόμενοι πολλαπλάσιοί εἰσι κατὐτο πρῶτον εἶ - δας του πολλαπλασίον διπλάσιοι γαμ καὶ ο μεν δεος του πρώτου μονάδι διαφέρει, is δεύτερος του δευτερο δυάδι, και ὀ τρίτος του τρίτου τριάδι, και τετράδι ο συνεχρο - πενταδι μου ἄττούς, και τούτο μέχρις ολου κόλουθον - σεις οι δὲ τρίτοι ἐφ' ἐκάτερα - ἐννεάδος υι--

δεύτερον εἶδος του πολλαπλασίου τριπλάσιοι ἔσονται, συνεξεταζομένων et τοῖς παι τῶν εις τριάδα

ιστ οι δὲ χιασμοὶ περαιούν- εις τὼς τετράδας,τ τρίτον εἶδος του πολλαπλασίου δείκνυσι, ἔ--τέστι το τετραπλάσιον, προς το μέτὀν ἐξεταζόμενος το πρώτιστον στίχον μοταγώς, πρώτου

μιν ἀριθμο προ πρῶτον μητέρου ει προς δεύτερον, καὶ τρίτου προς τρίτον καὶ ἐρεξῆς πάλιν δὲ αἱ διαφορα τῶν ἐξεταζομένων τριας εράς, εἶτα εννεάς, εἶτα δωδεκἀ και αἱ κατὰ τριαμ προκο- προ ποσοτητες μαὶ αυται δὲ ἐν φ του διαγράμμματος φει πεφώρανται τάξει ἐκκείμεναι mi αὐ- ἐς τους τετραπλασίους καὶ ἐπὶ τον κο-ύθων του ηολλαπλασα ειδῶν το ἀναλογον μορι παν--

114쪽

Sοδευτερον ειδος, Dan τινι καὶ μοι προκοπῆ προχωρου- ,- του τετάρτου τρὰς τον τρία καιτο προς το ε , καὶ του φ προς - , , καὶ το ιστ προ τον ιν, καὶ μολ-λ ίσην τοι προαυτῶν αι τῆν τῶν διαφορῶν αυξησιν λαμβάνοντες. καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ σχέσεων πολλαπλασίου τε καὶ - μορίου σύμφωνα τα ἀποτελέσματα και Ουδαμῶς ἐναντιουμενα προβαίνων - ἄπειρον δ φει κἀκεινο- ου ἐλάττονος,κριβείας τέτευχεν ἐν τω διαγράμματι ' ἐπιγοόνιοι ἐν Ἀρ αυτ

τελει τριοδουμένη, Μεττερολυμεναι δὲ ἐν διαφορήσει ex δυο λοιπαί, Ἀπε ἀποτελειν - πὰ τῶν ἄκρων σον τῶ πὰ τῶν μεσων 'Aλλἀ καὶ κα τέρωθεν se πρόβασις απὰ μονάδος εἰς ας δεκάδας, καὶ παλιν ἀντιθέτως κατερωθεν αἱ - δεκάδος προχωρήσεις εἰς κατοντάδα καὶ οἱ ἐν

διαγωνιοι πάντες ἀριθμοὶ ι απὰ μονάδος εἰς μα- τοντάδα τετράγωνοί εἰσιν, ἰσάκις λως μηκυνθέντες - δἐ κατέρωθεν παρασπί ντες αυτ'υς τε - ρομηαεις πάντες ανισοι καὶ μονάδι μείρονες, πιλ-

ληλων πλευραῖς μηκυνθέντες ' σε καὶ ἐξ ἁπαξ Moεφεξης τετραγώνων καὶ δις του ἀνα μέσον αυτ ετερομηκον τετράγωνον πάντως ἀποτελεῖσ-ι, και

115쪽

- δὶς του ἀνα μέσον υτῶν τετραγώνου τετρώγωνον πάντγως ἀποτελεῖπλαι - ἔτερα oa τοιαυτα φιλοτιμούμενος ευροι μου τερον -- φαινόμενα με φ διαγράμματι, περιών υ κα- ρὰς νυν -υνειν ουπω - την ἐπίγνωσιν--των - της ει γωρος εἰλήσαμεν, ε τε - - ἐξ οπρεπτεον μοὐγα τα δυο ταύτα νενικας cuia σεις, πολλαπλάσιον καὶ ἐπιμόριον, καὶ τὼς ἀντι--τους αυταῖς συν τη πό προθέσει ἐκφερομένας, ἄλλα δυο, ποπολλαπλάσιον τε καὶ πεπ μόριόν ..σιν ' ἐκ ἐν τουτων ἐν β μείζονι του ἀνίσο.

α. Ἀστι δἐ ἐπιμερης ἐν σχέσις, μανέρι ὀ τον συγκρινόμενον εχη ἐν μυτεολον κα 51-ροωτι μέρη αττου πλείονα ἐν ' τα δὲ πλείοναμος αρρηται πάλιν ἀπο- τῶν δύο καὶ πρό σειν - πάντας τους ἐφεξης ἀριθμο*ς ως τε του πι- μνους πυθμην ἐστιν εικότως δ πρὼς - ολ δυομέρη του ἀντισυγκρινομενου ἔχων - κλμ' ἐπιδιμερης εἰδικως, μετὰ δὲ τοττον υ τρια πρως - ολ ἔχων κληθ σεται ἐπιτριμερος εἰδικως, καιρετ τουτον ἐπιτετραμερης, εἶτα ἐπιπενταμερης,

ειστο του τρίτου ἀδυνατον - ἐνθάδε ἀπο ουημισεος ἄρχεσθαι ἀν γαρ α τινα πο μεθαδτο μίση χειν του ἀντιθέτου προς - ολφ, λη-- ανε μυτους πολλαπλάσιον ἀντὶ ἐπιμεροδε τι-

σι θεμενα διπλασιον γίνεται του ἐξ ἀρχος ἀπευναγκαιότατον ἀπο δύο τριτων ἄρχεσθαι, εἶπα ἀπο δύο πέμπτων, εἶτα ἀπο - ἐβώμων, και. ἀπὸ τούτοις - δύο ἐννάτων, --- τῶν πε-

116쪽

δος ξῆς αρτίους τε καὶ περισσοὐς ἀρωμούς, πρ-

τούτους συγκρίνωμεν τους π πεντάδος συνεχεῖς καθαρους περισσοὐς μόνους, πρῶτον μεν προς πρῶτον, Ῥίον τον - προς το r. καὶ δευτερον προς δευτερον, Γοντυν ζ προς - δ, αι τρίτον πελτροῦτον, Ῥίον τον , προς το ε καὶ τεταρτον προς τεταρτον, οἷον τον ά προς τον - ia

κώετμι. ἐπὶ δε τῶν τριών - τέταρτον, Ἀπι δε τῶν τεσσάρων - πέμπτον, Ἀπι δἐ τῶν πέντε το

117쪽

παρτος ἐπντετράπεμπτος, εἶτα ἐπιπένθεκτος. και παρωπλησιως - των λοιπῶν. - μεν ου του πρός τι -- ἀπλαῖ καὶ ἀσυνθετοι σχέσεις αἴδε ἐσιν αἱ προλεχθεῖσαι, χίδε συνθετοι ἐξ Mτῶν και iam συμπλακει - - μοῖν εἰς μίαν εἰσι αῖδε, ων προλογον ἐν πολλαπλαοιεπιμόριος καὶ πολλαπλασι--πῆς, πόλο--νο ει ι εο ς ἐκατέρου τουτων συνυφιστάμεναι, σιν τῆ - προθέσει ὀνομαζόμεναι, πολλαπλα σφε τιμορι μιν Ἀποπολλαπλασι επιμόριος, πολλαπλασι--ερεῖ - --ολλαπλασιεπιμερῆς ' καιπαθ' υποδιαιρεσιν των γενῶν αἰ ειδικα ταῖς --καῖς νω πακουσονται, μετ της πό προθέσεωσκα αυται νομαζόμενοι.

προς τουτω μόριόν τι εν ουτω, Γον δήποτε διττῶς δε,- ανυ συνθετος, τοιουτος πομωέλλεται, κατα την των συμπλαπέντωω νομάτων. -ος κἀτερον ἰδιότητα επε γαρ- πολλαπλασιε--πιμόρικος κ τε το πολλαπλασίου καὶ του πιμ- ρω γενικῶς συγκειται, ἔξει - ταῖς εἰδικαῖς --

διαιρέσεσι ποικιλίαν τινἀ κα ἐξαλλαγήν, -- μεν, κα- το πρότερον μέρος του νοματος, ἰδίαν δεκατα το δευτερον μέρος - του ἐπιμορίου, ἐσκωστἀ ἐν το πρότερον - του πιλλαπλασίου o, διπλάσιον η τριπλάσιον τετραπλάσιον πεντώ--63πλάσιον και ἐφεξῆς κατ δε το δεύτερον το τοὐ

118쪽

διπλασιεπίεκτος in ἀνάλογον ουτως ' καὶ π ἄλλης ἀρχης τριπλασιεφήθους, τριπλασιεπιτριτος,

τριπλασιεπιτετέπτος, τριπλασιεπίπεμπτος - πα- λῶν ἄνωθεν, τετραπλωιεφημι συς, τετραπλασοεπατρινος, τετραπλασιεπιτεταρτος, τετραπλασιεπι--πεμπτος και πάλιν ἄνωθεν, πενταπλασιεφημιστῆ, πενταπλασιεπίτριτος, πενταπλασιεπιτεταρτος, πενταπλασιεπίπεμπτος, και τῶ τουτοις ἐπ άπειρον ἀνα- λονουντα ' σάκις ἐν ἄρ- μώρων τον ἐλάττονα oλον - μυτψ χει, προὐτην τοσαυτην ποσότητω παρονομασθησεται, πρότερον μέρος του λόγου τῶν συμπλεκομένων ἐν Ο πολλαπλασιεπιμορίω, οἷον ἄν το μόριον το προ τ πολλάκις ολ ἐνωπάρχον εν se μείων ῆ, προς κεῖνο παρωνυμον ἔστα - δεύτερον μέρος του λόγου, ἀφ ου σύνθετον τοπολλαπλασμπιμόριον Ἀπόδειγμα δὲ τούτου ομἐν ε του δυο διπλοισι 'μπιυς, ο δε ζ του διπλασιεπίτριτος, ο δι θ' τοτ ε διπλασιεπιτετα -ο δ ει ι το ε διπλασιεπέπεμπτος και ει-τως ευτάκτως αττους γεννησεις συγκρίνων τοῖς

- δυάδος ἐξη ἀρτίοις τε και περι-οῖς τους--πεντάδος καθαρους περισσούς, πρῶτον πρωτφ, δὲ περον δοτέρη, τρίτον τριτη, καὶτους ἄλλους --πεπῶς τοις μοταγέσιν, - δι μάδος τῶν ἐπιμπάντων ἀρτίων οἱ πὰ πεντάδος συνεχεῖς πεντάδε διαφεροντες διπλασιεφημίσεις καθαροὶ ἔσονται, ὀμοταγῶς μοταγων, που του τρίτου πάντων τῶν τριάδι διαφερόντων ἐκτεθμων, οἷον o, φ, ε, 6 κα, καὶ ε ἄλλη τὰ τῶν πλυδομάδος ἐβδομάδι λα φερόντων ἐπ ἄπειρον κτεθέντων, οἷον ς' ιν, κά, κη λέ μ' , ob auo στροωρινομένων μειζόνων ἐλαττοσι, πρώτου πρώφα, δευτέρου δευτέρφ, τρωου τριτω, τετάρτου τε

τἀρτφ, καὶ φεξῆς, τὰ δεύτερον εἶδος ἀναφαίνεταετο τῶν διπλασιατιτρίτων 'τἀ iis laeta eum m

119쪽

λώς οι καθ ἐβδομάδα προχωρουντε πρὼς το - δυάδος ευτάκτους ἄρτιοτοῦ EIτα πάλιν ἀοπαρχῆς - πρός τὰν n τριπλα-ιεπίτριτός ἐστι πρωτος, - χε o, set ' τριπλασιεπίτριτ δεύτερος, Ῥαι πλως, δε-δι διαφέροντες φεξῆς δεσαπλάσιοι πως τους φεξῆς τριπλασιους τριάδι διαφέροντας si δ' ἀκριβέστερον κατιδεῖν δυνάμεθακά τρανωτ ον ον τε προεπιγνωθεντι διαγράμμματε πρὼς ἐν γαρ τὰ πρωτον στίχον οι φεξῆς τἀξει συνιρινόμενοι ὀλοι πρός ολῶ τα του no

120쪽

εστ μεν οι - τἀ προλεχθέντα, τοι δε τρίτονῆ τέταρτα πεμπτα και κατὰ τὴν μοίαν --

διπλασιεπεδιμερήλ, - καθόλου οι a. γδοάδος ὀγδοαδι διαφεροντες τῶν απὰ τριάδος τριάδι δι φεριντων, μοταγελ μοταγῶν, διπλησιεπιδιμερεῖς εἰσι, καὶ - τῶν λοιπῶν ιδών δύναι ἄν τις