Theologumena arithmeticae, ad rarissimum exemplum Parisiense emendatius descripta

121쪽

-φροσυνη, ἀνδρια, πραότης, ἐγκράτεια, καρτερία και αἱ μοιαι Φέρε - ἐπεσκε μάμεθα --ταπὰν λεις τα φυσικἀ ταυτα συντεῖνον θεωρημα εστ δι ἀποδεικτικόν του ας ισοτητος μονωτάτης - πρωτίστης οἷ- μητρός τινος και ρίζης γεννά---αε πάντα τἀ τῆς ἀνισότητqς ποικίλα eis παιειδῶν διαφοράς. Προκείσθωσαν γαρ μῖν ἐν τρι- σιν οροις σοι τινι ἀριθμοι. πρωτον ἐν μον δες, εἶτα δυώδες ἐν ἄλλοις τρι τίν, δι- τριάδες, πώ ἐξης τετράδες, ἔπειτα πεντάδες κω τοὐτ' μέχρκου βουλει' -τω της τουτων ἐωθέσεως δεεί τινί, - ου ἀνθρωπίν λόm, Ἀλx - φύσεως αυτῆς γεγονυιας, πρῶτοι μὲν γεννήσονται πολλ-λά νιοι, και τούτων αυτ ήγήσεται ἐν διπλάσιος, με αυ--τὀν δὲ τριπλάσιος, ἐπὶ δέ τούτω τετραπλάσιος, εἰ-

ήμῖν τάξιν ἐπ ἄπειρον δεύτερος σε ἐπιμόριος. και τούτου πάλιν ήγγεται τὰ πρώτιστον εἶδος ημιολιος, ἐπι τούτω δε τὼ με αυτὰ ἐπίτριτος, ἐπὶ δε του τοις ταξε ιι' ἐπιτετοροος, iam ἐπιπεμπτος σι

122쪽

το ἐπιμερες, καὶ πάλιν υτου τούτου ἐπιδιμερες μοὐντεται, ἔπι- δ ευμ μι τούτω τ ἐπιτριμερες, εἶτα το ἐπιτετραμερές, καὶ ευμ το πεπεν- τωθρός, και μηρις αν προχωρῆ τε ἀκολουθων τοῖς ἔμπρωθεν Προσάγματα ουν τινὰ δεῖ ἔχειν, οἷον νόμους φυσικοὼς παρερολίτους καὶ ἀπαραβάτους, οἷς πασα προλεχθεῖσα πρόβασις και προχωρησος ἀ- ρος ἰσότητος so σε μη λειποτασσουμενη ταδ προς τάγματα ταὐτά ἐστι, πρῶτον πρωτω -- ποιῆσαι, δευτερον δε πρωτεαμα και δευτερω τρίτον δε πρωτεκαὶ τοῖς σὲ δευτέροες αμα και τελέτω γένοιτο ἀρών μετἀ τούτων των νόμων πλάσσοντι - εώ ς ἐν τα του πολλαπλασίου παντα εἰ τάιει, ἐκ των ' ίσότητος ἐκκειμένων τριῶν γνοῖον βλαστα-ντα και ἐκφυόμενα, οὐ μηδὲν ἐπιτηδεύοντος μηδὲ συλλαμβάνοντος καὶ - ἐν της ισότητος - no διπλάσιον, ἐκ δὲ του διπλασιουεο ς τὀ τριπλάσιον , ε δε του τριπλαοίου ἐξης τὰ

Θ τετραπλάσιον, καὶ ἐκ τούτου, πενταπλάσιον, et τακτως οὐ καὶ τούτο μέχρις ει 'Ea δε αύτων τούτων των et τακτως πολλαπλασίων ἀναστραφεντων εώ ς γεννῶνται φύσει τινὶ ναγκαιο δι των --τῶν τριῶν προς ταγμάτων ο ἐπιμόρμι, καὶ οὐτοεοὐχ ως τυχεν ουδ ατακτως, ἀλλα τί προς ηομνά, ολουθία - ἐν οὐ πρώτου διπλασίου ἀναστρο - νέντος πρώτος ήμιόλιος, εὐδι-οὐ δευτέρου τρι--αλαπίου ἐν ἐκείνοις δεύτερος ἐπίτριτος, εἶτα ἐπι- τεταρτος - τετραπλασίον, καὶ πλῶς καστος ἀπἐκεινου, ου παρώνυμός ἐστιν. - ει άλλη ἀρ- χης, αυτων τῶν πιμορίων ποκειμένων , λπερ καὶ ἀνεφύησαν , ἀναστρόφως μεντοι , γεννῶνται ι φύ σε με αυτ ς ἐπιμερεῖς απὰ ἐν τομήμιολίου επιδιμερής, πλει τοῖ ἐπιτρίτου ἐπιτριμερής, καιεπιτετραμερης ἐκ τού επιτετ τον, καὶ ἐπ ἄπειρον

123쪽

νωνται αὐτῶν--ων προς ταγμάτων οἷ πολλαπλα

σιεπιμόριοι διπλασιεφήμισυς ἐν ἐκ το πρωτοκήμιολίου, διπλασιεπίτριτος δέ ἐκ του δευτέρου -- τρίτου, διπλέουσιεπιτέταρτος δ ἐκ του τριτο ἐπι--τάρτου, καὶ ἀει οὐτως. Ex δι τῶν ἐξ ἀναστροφῆς τῶν ἐπιμορίων γεννηθεντων, τουτέστι , τῶν ἐπιμερῶν καὶ τῶν μη ἐξ ἀνέ- οπις, τουτέστει πολλαπλασι/π-ορίων πάλιν , αυτ τρὀπω διατῶν αὐτῶν πρωταγμάτων ἀπογεννῶντο ὀρθῶς τε - μενων ποι ἀναστρεφομενων οἰ τἀ λοιπὼς σ3έ κωφαίνοντες ἀριθμοί Πάντων δι τῶν προειρημένων, γενέσεως τε αὐτῶν ta τάξεως, ὀρθότητός -- ἀναστροφῆς ποδείγματα ἀρκείτω χμῖν προς οπόμνησιν - τοσαύτα 'En m τ' ἐν μιολίοις ἔνσεως καὶ ἀναλογίας ἀνεστραμμένης μιν ἐκ του μείζονος δρου συνίσταται σνωμ ιν επιμερέσι λόγοις -δίτριτος. απὰ δὲ του λάττονος πειμένης ὀρθῶς πολλαπλασιm μόριος θοι ηιπλασιεφήμισυς, λαπὰ τῶ ν ἀν' ν, τοι θ' ιε, έ, χυν ι, κέ, εὐδι

124쪽

λυεται οἷον γραριματα ἐν τῆς πραμμάτου νης στοιχεῖα λέγεται, ε αυτων τε γαλῆ σύστα--οις της τι άσης ἐνάρθρου φωνῆς και ει αυτῶν, χατα ἀναλυεται φθόγγοι δἐ μελφεια πάσης, ἀφ ε ἄρχεται συγκρίνεσθαι καὶ ις ους ἀναλυε- ται κοινῆ δὲ τὰ λεγόμενα το κόσμου στοιχεῖα τέσσαρα ἁπλῶς πάρχει σωματα, - , σωρ ἀήρ,

ν ἀνάλυσις , ἀποδειξα δἐ βουλόμεθα, τι καὶ

ἰσότης στοιχεων εστι οὐ πρός τι ποσου του ἀρ

125쪽

ρον αε συνίσταται και αυξεται καὶ ἐπὶ το μειον

ἀναλυόμενο ῖσταται 'Aλλἀ μἐν επὶ τ ς ἀνισότητος προκοπην καὶ ἐπαυξησιν ἀπεδείξαμεν ἀπο τῆς ἰσότητος γινομένη ἐπι- ας ἀπλώς - σχε -

πολλαπλασμπιμορι- πο1λαπλασιεπιμερει , μόνον is εν --τώ λόγω ὀ μέσος προς - ἐλάττονα θεωρῆται, ἐν se ὀ μειων προς το μέσον Ἀνάπαλιν, H τὰν ἐλάττονα ἀφαίρει απὰ του μέσοιήάν τε πομος η κείμενος ἐάν τε ἔσχατος, κώ τι- δε αυτον ἐν τον ἐλάττονα πρῶτον Ἀρον τονα λειφθέντα ἀπο τοι δευτέρου μετα την αφα ρεσιν δεύτερον τάσσε ερον, ἐνος δε τοιουτου τρώ-- καὶ M. τοιουτων δευτέDων αφαιρεθέντων ἀπο -- λοιπου, τουτέστιν ἀπο του μείζονος των δοθέντων σοι, το λειπόμενον ποίει τρίτον ορ- , καὶεσοντα αἱ γινομεναι ἐν ἄλλη τινι σχέσει προγενε-

πις αν εις σότητα ἀναχθωσιν ' ἐξ- πῶσα ἀνάγκη δηλονότι ἀποφαίνωθαι, την σότητα στοιχεφον τουπρος τι ποσοὐ πάντως Ἀναι. Παρέπεται δὲ τῆτοιαυτη θεωρέα ἐμμουσότατόν τι θεώρημα καὶ χρησιμώτατον εἰ τε την Πλατωνικην ψυχογονίαν και

εῖς τὰ ἀρμονιη διαστήματα παντα P κελευόμεθον

126쪽

1 Io

καὶ ἀνεπιστημόνως, ἔστι ν τε α διημαρτημένως το τοιουτον ποιεῖν, ἀλr ἐντέχνως τε καιῶτταιστως καὶ τάχιστα φόω τοιαυτy.sΜέθοδος. 43ως δεῖ u. τῶν πολλαπλασίων τους ἐπιμορίους ευρισκειν. J gπας πολλαπλάσιος το νουτων μιμορίων se σεται λόγων ἀντιπαρωνομων αυτρ - - ἀνεωτρ ων τ' si ἀπο μοναδος, υτε δὲ πλειονων Ουτε ἐλαττόνων ουδεμια μηχανῆ διπλάσιοι μνομ μιολίους φυσουσιν, o πρωτος ἔνα, ὀ δευτερος δυο, ὀ τριτος τρεῖς, ὀ τέταρτος τέσσαρας, πέμπτος πέντε ὀ ἐκτος ἔξ, και υτ πλείονας Ουτε ἐλάττονας, αλλ' ἐξ ἀνάνης πάρος, ταν την συμμετρον ποσοτητα ἀπολ ωσιν οι γεννηθεντες επιμόριοι σαριθμοι γενόμενοι τοῖς γενν νασι πολλαπλασίοις, τοτε δ' ἔκ τινος δαιμονιας πανες ευρίσκεται ὀ πάντας περαίνων ἀριθμός, ἀνεπίδε--mνος ν φύσει κεινου του μορέου, καδ προέκοπτον οι ἐπιμόριοι ' πλει των τριπλα ά- ιέ ἐπίτριτοι πάντες προκόφουσι, και αυτοι σάριθμοι τοῖς γεννωσι γινομενοι παι περαινόμενοι γε μετάτην αυτάρκειαν της προκοπῆς εἰς ἀριθμου μ' ἐπι--δεητ οὐ τρίτου και ἐπιτέταρτοι δὲ κατα ταυτόν ἐκ τετραπλασίων ἐπικορυφωσιν λαμβάνοντες εἰς ἀρε - ἐν μετῆ την ἄφαρκη προβασιν, τετάρτου μ' ἐπιδεκτικόν Οἶον διπλασίων ἐν ποδείγματος ριν ἰσαρίθοος γεννωντων μιολίους δ μὲν ἄνω στίχος σται πολλαπλασίων δ πρῶτος 4 ν δ , - ,

127쪽

τρίτον γαρ υκ ἐπιδέχεται ὀ ν οὐκ ἄρα οὐδ' ἐπίτριτον ἔξει δευτερος ει τριπλάσιος ἐστιν ὀ ''λα τουτο δυοῖν μόνων ἐπιτρῖτων κατάρρει λόγων, τοτ τε ιν προς αυτόν, και του στ προ τον ιν δε ιστ ἀνακόπτει την πρόβασιν λοιπον τρι-ουναρ υκ εστιν επιδεκτικός, διόπερ οδ ἐπιτριτόν τινα εχει ἐν -- Qv δἐ τέτακται τριπλασιος κ . ἐν τριτη απὰ μονάδος χωραὶ τριπλασιων

128쪽

o Ovκέτι τρίτον μερος ἔχει, δι οὐν ἐπιτρίου

δεκτικός και ὀ τέταρτος τεσσάρων νεμων ἔσται λόγων, και ὀ πέμπτος δηλονότι πεντε. λειω - δειγμα τοιούτον' αἱ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ πολλα πλασίων δ αυτος τῶν διαγραμμάτων ἔστω σοι τραπος παρατηρο τι, ἔτι καὶ ἐντα - φύσις, μπερ καὶ ἐν τοις προτεχνολογηθεῖσιν ευρομεν, προγενεστέγος μῖν παρεμφαίνει διπλαῶους ἐν τριπλασίων, τριπλασίους δ τετραπλασέων, τούτους δ πενταπλασίων , καὶ ε ουτώ μέχρι παντός' ἐμἐν ναρ ἐπὶ πλάτος τίχοι ο μνωτάτω, - σι

διπλάσιοι, μοίως ἔξουσι τους π αυτους παραλλήλους κειμένους, τους διάποτείνοντας διαγωνιους του αυτο γένους τ συναἐς και μονάδι μεῖζον εἶδος, ο ἐστι, τριπλασίους, ἐν παραλλήλ ἐξετ σε θεωρουμένους ει δ' ο ἐπι πλάτος εἱεν τριπλάσιοι, πάντως ο διαγωνιοι σονται τετραπλάσιοι, ει δὲ ἐκεῖνοι τετραπλάσιοι, εὐθυς υτοι πενταπλάσιοι, και τούτο μέχρις ἀει. L --ον δέ, προσα φυσαντας τὰς των λο- νων συνθέσεις, τίνων τέρων ἀποδοτικαί είσι, μεταβῆναι - τα τ' εἰραγωγῆς ἀκόλουθα οἱ πρῶτοι τοινυν eo ἐπιμορίου δυο λόγοι συλληφθέντες ει το αυτ γεννῶσι τόν του πολλαπλασίου πρῶτον λόγον, τουτέστι τον διπλάσιον πώς ---πλάσιος σύστημα σται μιολίου και επιτρίτου, και πῶς μιόλιος και ἐπίτριτος συντεθέντες ἀπο- ωτικοὶ ἐνδε διπλασίου πάντως σονται οἷον ἐπεὶ

εστα το ν δ ν διπλάσιος, σύνθετις, εὐήμιολίου και επιτρίτου και πάλιν ἐπεὶ - διπλάσιός εστι του , εὐρήσομεν να μέσον αυτῶν ἀριθμόν τινα τεταγμένον, ς ἐξ ἀνάγκης προς μεντον τερον τον ἐπίτριτον σωζει λόγον, προ ει τον λοιπον τον μιόλιον - ουν ν άνα μέσον κειμε- νος - στ και τοὐ r προς ἐν τον ν ἀποδί-

129쪽

Oρθῶς ἄρα ἐλιχ', διαλοόμενον μιν τον διπλάσιονε Ἀμιόλιον και ἐπιτριτον διαλυεσθαι, Μυντεθει- μενων δε παντως μιολίον καὶ ἐπιτρίτου, μόνον συνιστασθαι διπλάσιον, καὶ τἀ του ἐπιμορίου πισπρωτιστα is συντεθέντα ποιητικἀ εινα του τῶν Sπολλαπλωτίω ν πρωτίστου λαυς Πάλιν δε ε ἄλλης ἀρχης το γυνηθεν τουτο του πολλαπλασίου πρωτιστον δος με- του πρωτο των ἐπιμορίωνειδους ἀποδοτικον γίνεται 'ου Ἀμογενους αυτων σπινεχους εῖδους, τουτέστι, 'O δευτέρου πολλαπλασίου, - ἐστι, τριπλασίου ἐκ γὰρ παντός διπλασιου καὶ μιολιο συντεθέντων τριπλάσιον ἐι

130쪽

ταρεον, οιητικὰ ἔσται του πεντὰπλα--υ, και πάλιν ἐκεινον συν - ἐπιπέμπτ του ἐξαπλασίου καὶ τουτο μέχοι π*ντυς, να ευτακτοι, ἐξ ἀρχης πολλαπ1άσιοι μετ ευτάκτων των ἐξ ἀρχης ἐπι- μορίων ἀποδοτικο ευρίσκωνται τῶν ἐπὶ το μεῖζόν συνεχῶν πολλαπλασίων διπλάσιος ἐν γα μεσήμιοώο τριπλασιότητος ποιητικος, τριπλασιος δέ με ἐπιτριτο τετραπλασιότητος, τετραμάσιος δέ μετὰ ἐπιτετάοτου πενταπλασιότητος, καὶ ως ἀν προχωρεῖν θεAyς Ovνειν πεναντιον σοι συμ-μβαῖνον φανεῖται. σέ. Μέχρι μὲν ου τουδε ἱκανως περὶ τουπρος ἔτερόν πως ἔχοντος ποσου διειλεγμεθα, συμμετρησάμενοι κατ ἐκλογήν - προς κοντα - ---ιληπτα et τῶν ἄρτι εἰ γομένων ξει τοῦ ἀρῶ τον τόπον τομον πολοιπα προ ληρωθηγε--ται, διαλιποντων πάλιν μῶν καὶ προτεχνολογη-

--ων ἔτερῆ τινα προυργιαιτέραν την πιπεφιν εχοντα ἐκ τῶν συμβεβηκότων τῶ καε αυτ πο- - και μη se προς τερον - ε ντι ἀεὶ ἀρδι ἀλλήλων φιλεῖ πως διαρθρουσθω καὶ σαφζνι- σθαι - - τως μαθήμασι θεωρήματα ' ἁ δε

χρη προεπφοκοπησα και προθεάσασθαι , εστ περ.τε γραμμικῶν ἀριθμῶν, παι επιπέδων και στερεῶν, κυβικῶν τε καὶ σφαιρικῶν, και σοπλευρον καισκαληνῶν πλινθιδων τε και δοκιδων, και σφροι-

ἐν τῆ ἀριθμητιην -- μητρὶ και ἀρχενονωτερφ

ρι πιήμας, ο συναναιρουμένη δὲ κεέναις, καὶ ἔμπαλιν συνεπιφερομεν μεν κείναις ἀναγκαίως, οὐ νεπιφέροισα δἐ -τῶ εαυτῆ. Πρότερον διμιγνωστέον, οτι παστον γράμμα φ σημειουμ-