Theologumena arithmeticae, ad rarissimum exemplum Parisiense emendatius descripta

131쪽

tris

γαρ εφαπετο και - της ἰσότητος ήμῖν εν ταῖς πιεσεσι σωζεται μεν - ἀναλογία, ως ο πρῶτος προ τον δευτερον, ο δεμερος προς τὰ τρατον, ου μῆν διάστημά τι γεννῶται τοι ἄκροις προς αλλήλους -περ επὶ τον ἄλλων τῶν χωρις ισότητος σχέσεων πα-ν τον αυτ τρόπον καὶ μονἀς - παντ- μόν' του ἀριθμού εαυτήν πολλαπλασιάσασα ουδεν πλέον εαυτῆς γεννῶ ἀδιάστα--

132쪽

στημα --σκετεχι - φαίνεται ἐν δυάδι, εἶτα ἐν τριάδι, ειτα ἐν τετράδι, καὶ ἐξης ἐν τοῖς α--λουθοις διάστημα γαρ ἐστι δυοῖν ρων - μετα-

et θεωρουμενον Πρωτον υ δι τημα ηρ μηλέγιται γραμμη γάρ ἐστι - ἐφ εν διαστατυν δύο δὲ δμώτηματα ἐπιφάνεια ἐπιφάνεια γάρ ἐστοτο διχ διαστατόν πρίω δε διαστήματα στερεον στερεον γάρ ἐστι το τριχη διαστατόν, καὶ vas εστιν Ουδαμως ἐπινοειν στερεόν, ὁ πλειόνων τε

τευχε διαστημάτων τριῶν, μῆκους , πλάτυυς

μαὶ βάθους τούτοις γαρ α λεγόμεναι περι παν σῶμα πάρχειν ξ περιστάσεις ορίζονται , καθ ας αἱ κατὰ τόπον ηινήσεις διακρίνονται, . πρόσω - μου, ἄνω κάτω, δεξιά, αριστερά ἐκ τR ἀρδιαστήματι δο ξ ἀνάγκης περιστάσεις παρέπον- αι ἀλλήλαις ἀντίθετοι, ἐν με αἱ ἄνω και --τω, ἐτέρω δε α πρόσω και ὀπίσω, τω τριτ εια εστ δεξια κα αριστερα και συμβαίνει πως ουτως ἀναδτρέφειν τον λόγον ει τι - στερεόνεστιν, κεῖνο τὰς τρεις διαστάσεις πάντως Ἀει,

μηκος, πλάτος καὶ βάλς και ἔμπαλιν ει τι εχει τυς τρεις διαστάσεις, ἐκεῖνο πάν-ως στερεόν εστιν, ἄλλο δ' υδεν Ου ἄρα το δυο μόνον ἔχον διαοτάσεις εσται στερεόν, ἀλx ἐπιφάνεια αυτ γαρ διασπη-μάτων πιδεκτικὴ μοῖν στὶ μόνων και ει αττης

δυνατὀν Ἀμοιοτρόπως Ἀντιστρεφειν 'os λόγον 46 επιφάνειά τε γαρ ὀρθῶς το διχῆ διαστατόν, καεεμπαλιν το διχῆ διαστατὀν πάντως επιφάνεια - Ἐν ἄρα διαστηματι λάττωται - ἐπιφάνεια σπε- ρεου, ενι δἐ γραμμὴ επιφανείας, Οὐσα το φ ενδιαστατόν, και οὐ μόνου τετευχυῖα διαστήματος, λειπομένη δε στερεου εισι διαστήμασι τ ηυμτης ε αυτῆς λείπεται νι διὰστήματι το σημεῖον δια τουτο προελέχων εἶναι ἀδιάστατον, στερεοὐ

133쪽

ἀριθμου, ἐφ μερον διάστημα ἐπιπέδως πληττνο

μένου, - ἐπιπεδος ἀριθμος ἀρχῆ στερεο ἀρι--ori ἐπὶ τριτον διάστημα προς - ἐξ αρχῆς μ

λ τι προ τωμένου οἷον παθ' ποδιαιρεσιν παμμιποι μέν σε ἀριθμοὶ πλως παντες ιἀπλειάδος αρώμενοι καὶ κατα μοναδος πρόω ε-- σιν ατ εν καὶ το αυτ προχωρουντει διάστημα,

προ-ντες, λαμβάνοντες παι τ' ἐπωνυμίαν κατὰ την αὐτην τάιιν προτιστοι α τριγωνοι, εἶτα με -τους τετράγωνοι, εἶτα με α τοὐς πεντάνων , καὶ επὶ τουτοις ἐξάγωνοι και ἐπτάγωνοι, καὶ - πειρω ' πρ πορευονται M, ως ἐφωμεν, ἀπ των πό ρομάδος ἐφεξῆς κειμενον αριθμων. Ἀρχικωτατον ἄρα πημα ἐπιπώων καὶ στοιχειωδεστατον το τρίγωνον εὐρωπεται καὶ γαρ εν τοῖς γραμμαιοις πιπεδοις, - ἀπό των γωνιώνεπὶ τα μέσα ἡδεῖαι χωσι λυθησεται ἔκαστον ευ γραμμον σχῆμα πάντως ει τριγωνα τοσαύτα, Oσαιπερ αν έτο τυγχάνωσιν α πλευραὶ αυτο

134쪽

λτόμενος εις μονάδας ηαι την κατ επιπεδον θεσιν των μονάδων ἰσοπλετρως πηματογρα-ν εἰς τριγωνισμόν - ποδείγματα ο , -i, ι, ιέ, πλκη, στ, καὶ οι ἐφεξῆς σχηματογραφίαι α -

των στακτοι ἔσονται τρίγωνοί τε - - μό- πλευροι καὶ τ τοιουτον, μορες ο βουλε , προκόπτων τριγωνιζόμενον εὐρήσεις, προ πάντων στυε--χειωδέστατον ταττων το ἐκ μονάδος γινόμενον,

ἄνα και τμ ωνος δυνάμει φαίνηται μονάς, ἐνεργεια δὲ πρῶτος ο τρία Πλευραὶ δὲ παραυξηθη- σονται se συνεχεῖ ἀριθμβ' του ἐν α δυνάμει

πρώτου πλευρὰ μονάς, του δὲ ἐνεργεια πρωτο τουτέστι του τρία, πλευρ δυάς, του δὲ ἐνεο- νέα δευτέρου, τουτεστι, του στ, πλευρἀ τριάς, σου ει τρίτου πλευρὰ τετρας, και του τετάρτου neντάς, καὶ του πέμπτον ἐράς, καὶ ἀει υτως. Tεννειαι δέ - του φυσι- ἀριθμού στοαηδον-τεθεντος, καὶ εἰ ἀπ άρχης των συνεχῶν κατῶμα συντιθεμένωW πατ ναρ εὐστρο συνθεσιν και

οῖον ἐκ μεν του φυσια- στίχου τούτου , , , si

135쪽

τε θεις τον στ ποει σε δεύτερον ἐνεργεία τριγωνον, καὶ προς ετ πηματογραφεῖ και πάλιν φυσει ἀκόλφυ δ ἐπὶ τουτοις σωρε- ἐς κώμοναδιστι ποπαπείς, τον ευτακτον μετὰ δυς εἰρημένους ἀποδίδωσι τον P, καὶ τριγωνιστί γε σχηματίζει πιπι δε επὶ τουτφ, εἶτα ὀ στ, εἶτα α - οι ἐξης παντες, ως εμμελῶς καὶ πως πλευράς ἐκάστου τοσούτων εἶναι μονάμω, πόσοι περ ἀριθμοι σουνετεθησαν ε του φυσικου - ουεις την αὐτομοεστασιν. 43M ετραγωνος δε εστιν ἀριθμος ο συνεχροτο-ν, καὶ μηκέτι τρεῖς, ως- πρόσθεν , ἀλλα τεσσαρας τῆ καταγραφῆ γωνίας ἀποδιδους νωοπλευρ μεντοι και αυτὰς σχηματισμφ, οἷον -

αι καταγραφα ισόπλευροι τετραγωνισμοι υτω πως γίνονται καὶ Ἀφεας ολω μεχρι o βούλει και τούτοις δε συμβεβημεν. -περ καὶ τοῖς προ --των, την των πλευρων πρόβασιν κατὰ τον φυσι

ἔνα κειμένων πάντων, -υε-τι, των περισσων

πρωτος - δυνάμει πρῶτος τετράγωνος, δε τερος - και γ νεργειορ πρωτος τετράνωνος, τρι-

136쪽

- τος - α καὶ, καὶ, ἐνεργεια δευτερος τετράγωνος, τέταρτος δὲ - καὶ καὶ ε καὶ ἐνερ-

νεμο τρίτος τετράγωνος, καὶ ὀ ἐξης τοῖς προτένοις προς-ρευθεντος οὐθ' ίνεται, και Ῥε -- τον του ι προσεθεντος, καὶ Olτως ἀεί κακὰ ἐπὶ τούτων δ σομβέβηκε τοσούτων μονάδων πονέα του πλευρον εἶναι, πόσοιπερ αν M Oi estri αυτου γένεσιν ἐπισωρε θέντες ἀριθμοί. Πεντάγωνος δέ ἐστιν ἀριθμος ο και τυπος -τἀ την ἐξάπλωσιν την εις μονά, πηματογραφουμενος πιπέως εἰς πενταγωνιμον σχημα πάντηλόπλευρον, οἷον , , ν π λέ, να, ἡ καιοι ἀνάλογον Ἀλλ' εστι του ἐν πρωτου κατενέργειαν, τουτέστι του Ἀκάστη πλευρὰ μάρ μονἀς ἐν Ἀρ του δυνάμει πρωτίστου πενταγω- νου πάρχει του πρωτου του δὲ των ἐκκειμενων δεητερου του ιν πλευρ τριάς, καὶ του με αττον του κν τετρας, καὶ του in του λε πεντάς, και εξλ του επὶ τουτ του να, καὶ ε ουτως καθολου γάρ τοσουτων μονάδων κάστου πλευρά ἐστιν, ὁσοιπερ is την αυτου συσταπιν συνεσ-4sρενθησαν ἀριθμοί, αλεγέντες - - κατ φύσιν στοιχ ηδον εακειμένου ἀριθμητικο χυματος ' πο- ραπλησίως γὰρ και μοιοτροπως ἐπισωρευονται ἀλληλοις ει πενταγωνου γενεσιν οι - μονάδος μοδιαλείποντες - σονουν, τουτεστιν, οι τριάδεαλληλων περέχοντες ὐμεν μονάς δυνάμει πρῶτος και στηματογραφεῖται υτως, ο δι χεέτερος ε τοτ ά καὶ δ συντεθέντων, σχηματογραφο---και Miso Ovτως, ὀυε ιν τρίτος εὐτε των προτέρων και του επισωρευ ντος αὐτοῖς, ναπαι/αυτὰς τριάδα πλευρὰν σχῆ, ως τριων ---

137쪽

τε θέντος, αει - μονάδος πρόω εσιν των ἀποστάσεων γινομένων' ς γαρ 'ἐν τρίγο-ος τους

μονάδι διιαφέροντας, μηδὲν vi παραλείποντας ει την σωρείαν δεχόμενος ἀπετελειτο, ὀ δὲ τετράγωνος του δυάδι μιν διαφέροντας, ἔνα δὲ παραλε

ποντας, πεντάγωνος δὲ ἀκολου- τους τριάδι ἐν διαφεροντας, μου παραλείποντας, Ους και απεδείξαμεν, ποδειγματα αυτων τε καὶ φων ἀποτε λοτμενων ε 'υτῶν ηθεμενοι, ουτ και εξάγωνοι γνωμονας Ἀξουσι τους τετράδι ἐν διαφεροντας, τρεὶς ει παραλείποντώς, ἐξ ων συντεθεντων σωρηδοναποτελουνται, ιον ',irba , κά κα εφεξῆς, ἴνα οἱ ἀποτελούμενοι εξάγωνοι σιν, , - , οέ, κη με εστ, ηαὶ αεί, μέχρις ου αν τις θέλη. Οἱ δὲ τούτοις ἀκόλουθοι ἐπτάγωνοι τους ἐν γνωμονας ἔξουσε πεντάδι ἐν διαφέροντας, τετράδι ει διαλείπον--τας, οἷον , - ιλ εστ κά, στ, λά, δετ, ραεεφ'-σονουν, αττο δ οι συνιστάμενο εισιν , , ιη, ν νέ, πῆ ριν, μή, καὶ τουτο μέχρι παντός. 'Οκτάγωνοι δὲ κατα την. αυτὴν τάξιν τοῖς τε ροωμοσιν ἐξάδι διαφέρουσι προκόπτουσι καὶ τοι συστήμασιν αναλόγως. - Ἀνα δἐ επι πάντωνίοπαρατηρουντι τουτο καθω ἐν συμφωνον ῆ, - ' -- ολπωνου τους νωμανας διαφέρειν αλλήλων δυάδι ελαττόνως η κα- τήν εν se ὀνόματι ποσότητα των ρονιων, τουτέστι μονάδι μὲν ον

τρίγωνον δυάδι ει τον τετράγωνον, πριάδι δὲ τον πεντάγωνον, τετράδι ει τον ἐάγωνον, Ἀαι πεν--

138쪽

- μόνον ἐκ της σχηματογραφίας της καος ων στον, ἀλλα κἀκεῖθεν παν τετράγωνον σχημα δια-νωνίως διαιρεθὲν εις δυο τρίγωνα λέεται, και πας τετράγωνος ἀριθμος εἰς τριγωνους συνεχεῖς λυεταε καὶ ἐξ ἄρα δύο τριγωνων συνεχῶν συν Gτηκεν οἷον τριγωνοι μέν εισιν , γ',

139쪽

-γων πενταγωνων καὶ των προ τεθέντων τριγω

τανους πολυγωνο και του ανωτάτοτ τριγωνου του

μονάδι ἐλάττονος μοτανους. Eίκότως - αρα στοιχεῖον πολυγώνων το τριγωνον και ἐν γραμμαῖς και ἐν ἀριθμοῖς' και να και κατ βάθος ἐν φοι- γράμματι ευρίσκονται ι συνεχεῖς ἀενάοιθμοι - τἀ-ους στίχους αυτους ἔχοντες διαφορας τους ευ-

f. Ἐντευθεν ηδ ράδιον συνιδεῖν τις τε οστερεδε ἀριθμὀς και πῶς ἰσοπλευρω ὀ τοιοει προκοπτει ' γἀ προς τοι δυσι διαστημασι τοι ἐν τῆ ἐπιπέδω σχηματογραφια θεωρουμένοις ἐπὶ μηκος και ἐπι πχάτος τρίτον διάστημα προςειληφώς, ὁ τινες ἐν βάθος, τι- α πάχος καλοισιν, ἔνιοι διυφος,

140쪽

δε ινος ἀν- στερεός ἀριθμός, ὁ τριχ δι-τα- τος καὶ χων ἐν ἐαυτ μηπος, πλάτος καὶ βάθος.

Πρωτιστα δὲ Ουτος φαντα ται ἐν ταις λεγομέναις πυραμίσιν αυται δὲ γίνονται εὐπλατυτέρων si ODων, μειουριζομένων εις ὀξεῖαν κορυφήν, πρῶτον μιν κατἀ τριγωνισμόν απὰ τριγώνου βασεως, δευτεροφον ει κατατετραγωνισμον ἀπο τετραγωνου βάσεως, ἐξης δι τούτοις κατῶπενταγωνισμον ἀπο πενταγωνοοβάσεως, εἶτα ἀνάλογον ἀπο εραγων. και επτα-ρον- αι ὀκταγώνου, καὶ ε ε ἄπειρον --52θάπερ μελε και εν τοις γεωμετρικοῖς στερεοῖς πήμασιν ἀπο τριγωνου σοπλεύρου, ἐάν τις εὐήθεια ἐπινοήση τρεις ἀπο των γωνιων ν μήκεοῖσα ταῖς του τριγωνου πλευραῖς καθ' υφος συννευούσας εα εν κα το αυτ σημεῖον, πυραμὰς ἀνάποτελεσθειν - τεσσάρων περιεχομεν τρώγω- νων σοπλεύρων τε και σωρ' ἀλλήλοις, ἐνὼς ἐν τοτ ε ἀρχης τριγωνον , τριῶν δὲ των περιγρ- , φεντων ποτῶν λεχθεισῶν τριῶν πιθειῶν καιπάλιν ἀποτετραγώνου πιπεδου, - τις τέσσαρας εὐθείας λογίδηται λμηκε ῖσα ταις του τραγώνου πιτραῖς, κάστην ἐκ τερ, πάλιν κατατο 'φος συννευούσος ει εν και τὰ αυτ σημεῖον,

πνραμὶς ἄν ποτελεσθει - τετραγώνου βάσεως

Φετραγωνικῶς μειουριζομενη, περιεχομεν δι τεσσάρων μὲν τριγώνων σοπλεύρων, ενδ δε τε τραγώνου του ξ ἀρχῆς. και - πενταγώνου δικα ἐξαγώνου καὶ ἐπταγώνοs, και μέχρις ο μμ λεταί τις προχωρεῖν τλαέτω - θεῖαι - σάριον ταῖς γωνίαις, Ἀωτῶν τῶν γωνιῶν ἀν-

νειρόμεναι και ει εν καὶ το αὐτο συννεύουσαι

μεῖον, πυραμίδα ἀποκορυφούσιν ὀνομαζομενην ἀπὼπενταγώνου βάσεως η ξαγώνου επταγωνου ἀνάειγον. μω δὲ και ἐν τοι ἀριθμοῖς πὰ ἐν