장음표시 사용
51쪽
HINC colligitur duaa rectas lineas se lecantes, essicere a lingulos ad verticem equales inter se.
B, i ostensi sitiit duo anguli ad verticem ABO,& CBΚaequat Sadoc spumiis hucquebantur angulum ABC,Eadem ratione duo anmis ad ver licem ABC,& RB mpo uales erunt inter se i cum consequantur eundem asagulunt A B O.
Corollarium Ist aliud tisorem, miser blima Ruicenter , O praeter intentio ni cmit ratum in progressu de ronstrationis, aut eo radi ius alterius propositipnis. F. in hac promtione quaerebarer tantummodo an angu , qui 'O quuntur mu', aut aequales augulos , e se senet inter se aquales . Sed quia semper anguli, qui unt ad verticem, comsequuntiir migra, euv cuique angulum , notatu dignam est reperisse nos uam cogmtionem, non quotam. Maia non querebatur in propostioneon anguli ad verticem diris quales . Climque fit utilis haec noua cognitio, breui amotatione is siue propositioilis est apponenda .
ia Sit triangulum A g cuius latera equalia sint 3 A, & C A Dico angulos AsB , R C ue , qui si pra basim sunt, equales e intenses& productis lectis AR,& A C infra basim B et ut in Di,ME, esse angulos D B C, & E CB qtrales quoque intcrse Producantur a indefinite latera B A, & C A ad partes verticis A, ut in G, & F, dc tam est A G, quam ex AF. secentur. recte A M, dc A H, singule equalcs ipsi A B, vel A C; de coniungati inca ecta H M. Et quoniam duo triangula B A C, H AM c rea angulos, B A C. H A M v cquales (cum sint ad verticum habunt latera .coralia isti Sula suasulis ,. olconi rin:
52쪽
ctione. Ergo e rebulo M HA equalis est, angulus CB A scam latera iube is stibienia M A, & C A aequalia facta sinit .Eadem rationerangulus A C B qqualis erit eidem
angulo M H A c cum pariter subtensa latera B A, & M A cqualia posita sint . Quare duo anguli A g C , & A C B sunt equales uni tertio angulo M HA; ideoque a duo anguli supra basim, A B C, & A C B qqu
Ies inter se erunt. Quod erat primo loco ostendendum. Rursus quoniam duo anguli A B C , &A C B squales ostensi sunt. 5 Ergo duo reliqui, qui deinceps sunt, anguli D B C, & EC B qquales inter se erunt. Quapropter duo anguli infra basim trianguli latera q qualia habentis,sunt inter se squales. ut erat probandum. vocetur huiusmodi triangulum Isbscelium.
Patet triangulum eqiulaterum esse quoque squianguIuru, idest tres eius angulosesse pariter equales inter se.Nam triai, gulum mussaterum est quoque istoscelium, si duo eius latera, ad libitum sumpta, Considerentur & sic qiiodlibet ex tribualateribus trianguli equilaterierit basis isoscelij. Vnde patet
Hac propositio, vi refert Proclus reperta fuit 2 Thalete Milesio, eius que demonstratio ab Euchis relata, satis est eligans, O ingeniosa, sed valde molesta dironibus; eis ne ab illa intricata propositione adumbrati arceantur . Geometria, uerile fortasse erit aliam faciliorem attulisse.
SI duo triangula tria latera tribus lateribus squalia habuerint, singula singulis, erunt similiter equalia. Sint dao triangula G, & H, atque latus A B . quale sit late-
53쪽
r 6 EUCLIDIS RESTITUTIri D E. & A C ipsi D F; pariterque B C conale lateri E F . Dia
co angulum A qqualem esse an io D. & B ipsi E, nee non Cipsi F. Intelligatur triangulum G. cum eius latere B C, collocatum supra latus E F, ita ut punc um B in E cadat;a C vero in F propter aequalitatem: & triangulum non ad easdem parates, ted ad oppositas cadat: tunc reliqua latera contermina erunt Squalia. Coniungatur ta- demi recta AD. quae aut per punctum C transit, aut secarcommunem basim B C , aut extra ipsam cadit. In Primo casi, cum duo I tera A B, & B D in triangulo D A B sint equalia ex livpothesi erit c triangulum ipsum iso-scelium; ideoque duo anguli A, ct D supra basim qquales erunt inter se, & ex quarta propositio. ne,triangula ipsa G, & H erunt si . militer Squalia. In secundo vero casu erit tri
aequales erunt inter ser Pari ra
tione in triangulo lsostes io C D A duo anguli C A D. & C DA aeqv les erunt inter se . Ex si ' β Tabbas bip
se aequales. Denique in tertio casu, ab angulis c-
auserendo aequales angulos CDA, WCAD r linquenture duo anguli BDC, &BAC inter se aequales; deinde fretiqui anguli aequales erunt. Quapropteris duo triangula, dcc. Quod erat ostendendum. scrum
54쪽
I ec propositio, quam Proclus Thilones famitaribuTtrsivit, facilior tib. r.es illa , quae ab Euclide adducitur. Non enim ad eius demon rationem necessas ta est septima propositio, qua V negama ,mves Ied jecti . . Notandavi es tarc propositionem esie conversam quantes. Est enim conuerso trampositio sit ectri m praedicatum, O p contra; ita is quod . ' ID mirer, vi notum in lina propositione ua altera sit quaesitum: e di id. quod ibi erat quoiram pillea Ocrtur ubiectum attamen converse propositiones duii nitet; maris enim totian M, qaia insubiecto continetur.escitur praedicatum crever e propositae omis,ine contra; di hae νocantur conuersones lacundum totum; aliae vero propositiones conuertuntur seculidum es quam partem sui subiecti, praedicati; huius autem po mrioris generis est sese Aptima propositio. Nam retinet partem subiecti ipsius quarta, in partem conclusionis; reliqua Pero conuertuntur . .' s
PROPOS. VIII. PROBL. IV. dare. s. i. Datum angulum rectuineum talarium sicare. Sit angulus rectilineus B A C. Debet hic avgulta diuidi in duos angulos squales. Sumariir in AB quodlibet punctum D; & ex AC is, producta indefinite, secetur , AE qqualis ipsi A D , & coniungatur e recta DE, & luper D E, ad partes Oppositas, describatur a triangulum squilariterum D F E. Tandem a puncto A ad Erecta coniungatur. Dico A F problema efficere . Quoniam in duobus triangulis D A F, & EAF latus AF est Nommune, di latera D A, ct A E sunt qqualia, ex constructione, & bales D F , & E F liint squales, eum sint latera trianguli equilateri .Ergo,ex praecedenti propositione, 'anguli D A F, & E A F iunt ulter' uales. Quar angulus B A C enusui est bifariam a rectae, A F. Quapropter datum angulum balatiam iectiunus; quod erat faci-d ita ,
55쪽
a Prost a. h Prop. sis Euci. D. I.
Datam rectam lineam bifariam secare. Sit recta linea finita AB diuidenda bifariam. a Describatur super ipsam triangulum aequilaterum A C R. cuius anguius verticalis C. bifariam secetur a recta CD, diuidente basim AB rii puncto D. Dico punctuin Deme qu*situm. moniam in triangulis A. . CD, dc BCD circa angulos verticales
FU A C D & B C D,t quales ex constructi Il ne, latus C D est commune, & latera AI C,& BC sunt aequalia; cum sint latera I aequilateri trianguli. Ergo e basis A DI equalis est basi BD. Datam igitur re, 'ctam A B bifariam secuimus in D.ouod A U i erat faciendum.
Data recta linea, a puncto in ea dato rectam lineam eleuare 'essicientem angulos , qui deinceps Itint, aequales inter se vocetur uterque equalium angulorum Rectus ; & quc insistic recta linea Perpendicularis vocetur eius, cui insistit . Sit recta AB, & punctum in ea C, a quo debet educi linea, essiciens cum recta A B angulos, qui deinceps sunt, aequales inter se. Sumatur quodlibet puctum D; atque ex altera parte secetur, at C B, producta. linea C E aequalis ipsi C D;d: super D E , triangulum equi- laterum D F E describatur. Denique A i puncto C ad F e recta ducatur. Di-
R Ll, I . . . a. Quoniam duo triangula D C F, dc ECF habent latus C F conanitine, de latera D C, P ECae, qualia ex constructione; nec nori bascs F Di dc F E equales, cum sint latera trianguli aequilateri. Ergo a anguli F C D, ST C E ae ovales sunt inter se: ut propositum suerat . vocentur
ambo anguli A C F. & B C F Recti ; & FC Perpendii cularis dicatui ad rectam A b.
56쪽
PROPOS. XI. PROBL. VII. facta 5. I.
Super datam rectam lineam infinitam a puncto dato, quod in ea non est, perpendicularem rectam ducere. Sit A B recta interminata, & punctum extra ipsam C. Dincenda est a puncto C perpendicularis super A B. Sumatur in recta AB quodlibet punctum H, - . iungatur a recta C H.&produ- l - '
centro e C, interuallo C G, circu-m: Z IIus DG E describatur, cuius cir- cunferentia necessario secabit re- g-mb-ctam ABNam punctum Gradii 'TC G ultra rectam A B positum m it. Secet igitar eam in punctis D, dc E; postea d secetur DE. bifariam in F, & ducantur rectae C F, C D, & C E. Dico C F aste perpendicularem quesitam. Quoniam in triangulis D F C, & E F C latus C F est commune, & D F aequale est ipsi F E,ex constructione: pariterque bases C D, & C E equales sunt, cima e a centro ad circunfe- . Arentiam circuli sint ductae. Ergofanguli DF C,&E FCGquales sunt inter se,ideoque g recti. Unde C F perpendicularis f3 - r.est ad A B. Duximus ergo a puncto C perpendicularem super e Prop. io. A B. od erat, che.
Cum recta linea, super rectam consistens lineam, angulos facit , aut duos rectos, aut duobus rectis qquales elliciet. At ansulorum inaequalium, qui maior est recto, vocetur Obtusus: Qui vero recto minor est, Acutus.
Recta linea A B insistae rect* C D, sectatque angulos, qui sunt deinceps, A B D, & A B C. Ostendendum est, vel ambos
esse rectos,vel simul sumptos,duobus rectis aequales. Si enam A B perpendicularis est ad CD, a erunt anguli deinceps duo a Trop. io recti, sin minus erit alter acutus, alter obrusus. Ergo educ
tur H x puncto B linea EB perpendicularis ad C D, ut sint duo anguli deinceps E B C, & E B D recti . Quoniam recto b Hop.ro. angulus
57쪽
gulo A B D terunt duo an hiali , C B A obtuetusici A BD a cutus, simul silmpti, aequatus Pribus angulis simul D B A A RE, & E B C: sed eis icim tribuS angulis , ostensi fuerunt cqua les duo recti C B E & E B D; g ituatq; inter se qqualia, qtie eidem a qualia fiunt. DiaO ergo anguli C B A, dc A B D, simul
Si ad at i quod punctum rectae lineae due aliq rectae, iamn addis..tratiora partes ductae, eos, qui sunt deinceps, angulos duobus rectis equales fecerint .r indirectum erunt inter se due pi
i Ad punctum B recte sitiee A B concurrant due alie C p, dc D B ex ad tersis partibus, quae fri iant cum prima A B duos angulos A B D, S A B C duobus rectis aequales. Dico ipsis C s,dc B D esse in directum constitutas; idest e nicere unicam, . ' . . , lineam tectain . Si dhim C B D non est unica linea recta, producatur a CR in directum ad partes B, quae C det, aut svra B D, aut infra ipsanias. dat iupra, si fieri potest, ut est CB G stunc ex ptie denti, erunt duo
u . Esuit C B A, S A B G duobus re cvis aequales; sed ex humilies duo anguli C A A, de A B D si- aequales duobus rectis. Qdare duo anguli C BAina BG simul, 'quales sunt duobus angulis,simul iiimptis,C BA, oc AB D; & ablato communi angulo C Ba: erit 5 anetu- fri D a qualis angulo A B G, pars, ct totum; c quod est
ablurdum. Non Ergo recta CD, Producta,cadit iupra BD, sed neque infra cadet, ut in 1. Nam eadem ratione procedendo
58쪽
do, essent,nguli A B D A B E inter se a auales. pars, dc totum; quod reresus est absurdrina et Quare C B producta indirectum transibit praecise Per A ta ideoque C B D unica rem Iinea erit. Quod erat o dendum . . lati: tiret ii ins et :
. Brocespita huius propositionis diuersis est a praudentibus. Nam prius ex principiis raris directe discurrendo permenimus ad conclusionem v ram, hic vero assumpta conclusione fui a deuenimus ad principium D sum , di postea rursus ex destructione praedicti principi, false, retrocedendo , falsitatem assumpis conclusionis re etiamus. Itaque sciendum est ex antiquis praeceptoritas artis demonstrative, omnes demonstrati nes procedere, vel a principisi ad colles ones , in is vocamur compos-tiues vel e contra a conclumia ad principiet, di ha 'recantur resolutiue, seu anabilis. Analysis vero duplax est , mi enim pomit principia, aut destram; qua principia ponit proprie Mocatur refutatio, cui opponituaeri
compostio; quandoquidem fieri potes regre sordinare procedendo ab iisdem principiis ad conclusionei; quy νero principia des ut proprio voeabula appellatur deductio ad impossibile, quia eius facultas es destruere aliquod primum principium euidens. O hoc es manifestum; quia m ODIEasino demonstrativo, quando assumum ma propositio falsa, licet a teras Mi a, necessari. concluso debet esse falsa. Cumque vera conela non nisi ex riris propositionibus deduci possc, hinc est quod in pridictoollogismo in aliquod falsum incidere debemus. Ut in hac propositione assumpsimus liveam C B E ese micam lineam rectam I atque ex petissesa , di ex hypothes vera deduximus angulum ABD squalem fuisse a gulo AB Es cumque istestpars illius gerit para squalismo rati; sed veconcluso destruit principium , quod pratumst maius sua petrae. Ergo se impossibile est, is totum squalesiisve parii; pariter aliquod falsum , Urimpossibile in premissis assumptum est sed inter assumpta datum, seu bis
pothesis propositionis Hra es; de subiecto enim non dubietamur ansito, di c. rum etiam est, quod b recta supra rectam inciden faciat duos angulis D . quales duobus rectis. Erit ergo fassa illa pars, in qua dicebatur , quod ' linea C B E esset Mica linea recta sed Ponerumtamque non est Iinea recta , illa qus tramst infra linem B D, neque supra ip(am: restat, is in ipsam. met lineam B D recta linea cadat. Patet ergo veritas huius processus d
monstratiui Utati mi apud Euclidem, Archimedem, Apollon mia, Botelem, di a M.
59쪽
gvCLIDIS RESTITUTI COROLLARIUM I.
Hinc patet duas Iineas, se mutuo secantes ,essicere quatuor angulos, qui, simul sumpti, aequales sunt quatuor angulis rectis, simul sumptis. Nam ex una par-c Prop. ra. re te rectae AB versus dtio anguli A E C, B E C duobus rectis sunt q- quales s pariterque ex virera parte eiusdem rectae A B. versus D, duci anguli A E D, B E D d uobus rectis sunt aequales. Ergo quatuor anguli A EC, CEB. BED,&DEA, simul sumpti, aequales sunt
Et si ad idem punctuni conueniant quotcunque recte line essicientes circa ipsumpunctum tres,vel quatuor, seu plures, quam quatuor, angulos: erunt illi omnes, simul sumpti,quatuor rectis equale S. Trosequentibus propositionibus premitti debet sequens premunciatum, , quod interi dentis aprinopia reposuerunt Arabes,Clauius, a Guli ditura binaei '. ' '
Si recta linea, in suo extremo semper perpendiculariter constituta fiaper aliam rectam lineam , moueatur in transuer sum: in eodem planor alterum punctumextaemum trans' latae rectae Iinee in eius fluxu rectam lineam describet.
-Si enim recta linea A B, perpendiculariter erecta super rectam lineam B c, intelligatuae translata, in eodem plano, versus C, hac lege, ut punctum B extremum ipsius B semper contingat rectam lineam B C; pariterque , HABdum transfertur semper consitum cum B Cam os rectos . Mamfectum est lineam in ED 'raptam a pacto A fluente,esse rectam; eo quod fluxus puncti Aper A E D non est vacillans, non sexuosus, Ied squabilis, O formis; veluti non fleauosus, sed simplex, equabilis, O miformis es fiuxus breuissimi s puncti
60쪽
punm B, eonstituentis rect im liueam S C. Nam recta linea .aBs quem mensura distantiarum omnium punctorum linee .A EDd recta B C dum mouetur non Pacillat, cum semper perpendiculariter , ides equaliter inclinata perseueret, luper rectam B C. sedare omnia puncta , tu linea, E D contenta, eadem ordinata dispositione, O eadem equabilitate , absque Hla depressione, aut eleuatione diriguntur; quemadmodum direct e consequuntur puncta rest e lime B C in fluxu breuis imo, qui rect Rudinem eius consituit. Et reνera Logitari nequit aliam lineam preter rectam habere posse conditiones, supra expositas, di omnia eius puncta , e quatiiter distantia d recta linea B C:'propterea linea AED recta erit.
Si ad duas rectas lineas in uno plano iacentes eadem recta Perpendicularis fuerit , quaelibet alia recta perpendicularis ad unam earum aequalis erit illi, dc erit quoque perpendicularis ad reliquam. Vocentur illae duae rectae inter se Parallelae . & recta linea ad eas perpendicularis, vocetur distantia parallelarum. Sit recta linea E F perpendicularis ad utramque rectam A B, &CD, existentes in eodem plano; & ducta a puncto A a Prop. D. quaelibet a recta AC perpendicularis ad CD, secans eam in C.
Dico primo A C aequalem e me ipsi E F.Si enim hoc verum non est ecetur , recta G C aequalis E F;dc secetur F D aequulis C F , & intelligatur G C ,
transferri usque ad D, semper perpendiculariter constituta
in pucto C super rectam C D; necessario a punctum G in eius fluxu rectam G E H de aeribet, quae per punctum E transibit; quandoquidem G C, & E F ae
quales ponuntur. Et tandet Ino, - - sh s
iungantur e rectae lineae G F, dc H F. Quoniam duo trianguIaG C F, dc H D F circa angulos rectos C ,&D latera aequalia ,
habent G C ipsi H D; & C F ipsi D F.FErgo bases GF,&HF fp O. . aequales sunt; pariterque anguli G F C H F D inter se sunt ae quales, sivitque anguli C F E, D F E recti. Igitur g residui ait g Axio. s.