장음표시 사용
61쪽
guli G F E, & H F E aequales sunt; & circa eos latera G F . HF equalia ostensa sunt, & E F est commune. Ergo . anguli GE F, & H E F qquales sunt inter se;ideoque recti. Erat autem angulus A E F, ex livpothesi rectus. Igitur anguli G F. F, ScA E F equales inter se sunt; pars, & totum. quod est impiissibile. N illa ergo alia recta praeter ipsam AC esse potest aequalis ipsi E F. Dico secundo angulum C A E rectum esse. Quoniam recta C F perpendicularis est ad duas rectas A C. & E F ; dc alia recta A E perpendicularis est ad unam ipsarum E F. Ergo. ut prius erit recta A E eoualis ipsi C F, quae est perpcndicularis ad utrannue. Ducatur postea recta EC. Qina in triangulis
muniS. Ergo hi recto angulo EF C qqualis est angulus C A E. Quare angulus C A E rectus erit. Vt propositum fuerat. Vocentur rem lineae AB,&CD Parallele. & E F perpendicularis ad utranque: vocetur Distantia parallelarum.
In Quadrilatero, in quo tres anguli recti sunt, erit reliquus iangulus rectus; & latera opposita inter se equalia. In quadrilatero enim A C F E, positis tribus angulis C, F, & E rectis: ostensus i fuit reliquus angulus A rectus quoque: dc latera opposita squalia ostensa fuerunt.
Manifestum est duas parallelas A B, dc C D non concurrere , licet producantur in infinitum ad utrasque parteS. pr pterea quod ubique inter ipsas intercipi potest aliqua perpendicularis, ut est A C, vel B D, quae te inper Squalis est debet ipsi E F, scilicet distantie parallelarum. PRO-
62쪽
LIBER LPROPOS. XU. THEOR. VIII.
Recha linea, secans duas parallelas, essiciet alternos angulos equaleS s. externum equalem interno, opposito, & ad easdem partes; atque internos ,& ad easdem partes duobus tectis quales efficiet. i
Sint recte linee A B, & C D inter se parallelc; secenturque a recta linea E F in punctis G, dc H. Dico primo alternos an-fulos Ao F,&DHE cquales eme inter se. Ducatura a pun- a P P. tr. o G recta G M perpendicularis ad rectam C D , secans eam in M, atque a puncto H ducatur H O perpendicularis ad A B, secans eam in puncto O. Et quoniam due tect* AB, & C Diunti aralellat; & G M perpen- i i l . . dicularis est ad unam ipsarum iri, ut O CC D: erit o quoque eadem G i. - - . Z M perpedicularis ad reliquam
A B; esto ue H O perpendicularis ad A B. Ergo cin quadri-l tero G M H O,quod tres an- , gulos rectos habet: emni opposita latera O G, dc H M aequalia; pariterque inter se ae .
qu.Illa erunt latera O H, dc G M . Quare in triangulis O H G, M G H duo latera GO.&HO aequalia sunt duobus lateribus HM,&GM. singula singulis; Estque basis G H communis. Ergo is anguli alterni D H G, & A G H aequales sunt
inter se; pariterque eorum e complementa ad duos rectos,
scilicet anguli B G H. & C H G aequales erunt inter se. Dico secundo externum angulum E C B aequalem eme interno opposito , dc ad easdem partes constituto, angulo G HB. Quoniamspropter parallelas A B. Sc C D squales sunt inter ic alterni anguli DHG,&AGH, estques angulus E GB aequalis eidem angulo A G H ad verticem eius. Ergo b angulus E G B aequalis est angulo G H D. Dico tertio duos angulos A G H, & C H G internos, & ad easdem partes, eme aequales duobus rectis. Quoniam propter parallelasi sunt duo anguli alterni A G H, & D H G aequales inter se, addito h communi angulo C H G : erunt duo anguli
63쪽
is. G; & C HG sed illi , simul sumpti, aequales sunt duobus rectis . Ergo duo anguli A G H, dc C H G duobus rectis sunt aequales. Quae omnia demonstrari debebant.
Euer. xr. ET PROPOS. XUI. THEOR. IX.
Si in duas rectas lineas recta linea incidens, alternos angulos squales inter se secerit; aut externum angulum aequalem interno, opposito, dc ad easdem partes s aut duos internos
ad easdem partes fecerit aequales duobus rectis: Pareuelae erunt inter se ipsae rectae lineae. In duas rectas lineas A B, de C D incidens, utcunque, recta linea E F, secans eas in punctis G, dc H, essiciat primo alternos angulos AGH.&DHG aequales inter se. Dico AR,&C D inter se parallelas esse. Si enim hoc verum non est a pun- P cto G ducaturis tecta linea G M perpendicularis ad C D, s h PH, i , cans eam in M i atque a puncto G educatur , recta G N per e ' pendicularis ad ipsam M G. Et quoniam eadem recta lineae e .p. i. . G M perpendicularis est ad duas rectas lineas C D, dc N G terunt e lineae rectae CD,&NG parallelae inter se, quae, cum
secentur, utcunque a recta linea Ed P op. t e. N E F in punctis G , & H: erunt a duo A GC D anguli alterni NGH,&DHGq-n quales inter se; sed angulus A Ge Axio. r. . Ii H suppositus suit aequalis eidem angulo D HG . Ergo e anguli Nfaxio. r. Irim G H,& AG H aequales sunt inter F se, pars, dc totum. Muod est absurdum. Nulla ergo alia recta linea N G praeter ipsam A B esse potest parallela ipsi C D.
Sit secundo externus angulus EGA equalis interno, opposito. dc ad easdem partes constituto angulo G H C. Dico rectas A B, & C D pariter parallelas esse. Quoniam angulus g corat, CH G supponitur aequalis angulo AGE, estqueg angulus BPrus. G H aequalis eidem angulo A G E ad verticem. Ergo h duo anguli CH G,&BG H alterni, inter se aequales erunt: de ideo b Rrum, i. ex prima parte huius, recte lineae AB, &CD parallele eruiar. Sint tertio duo angilli interni ad easdem partes AGH,&CH G qquales duobus rectis. Dico pariter rectas A B, & C Dparallelas esse. Qumiam duo anguli A G H, & CH G sud
64쪽
LIBERI. ponuntur eo uales duobus rectis ;& sunt i duo anguli DHG, i Prop. ri & C H G deinceps qquales duobusrectis. Ergo duo anguli AGH SCHG, simul sumpti, cquales sunt duobus angulis v-3. D HG, & H HG.& ablato h communiter angulo CH Grerunt duo anguli A G H & D H G alterni, qquales inter se ;
Constat, qua ratione a dato puncto duci possit recta linea, iq parallela sit alteri datq. Si enim a puncto dato i ducatur
postrema perpendicularis paradate rcctq lineq . Nam in constructione primqpartis huius propositionis a puncto G ducta est recta G M perpendicularis ad rectam C D; atque altera G N. perpendicularis ad ipsam M G, ostensa fuit parallela ipsi C D.
s C II O L I V M. Cum in demonstrandis passionibus parallelarum methodum, a mai
ribus receptam, resiquerim, opere pretium fuerit rationes hie paveis asserre, quare noua via procedendum esse duxerim. Existimarunt Ptolompus, To domus, Geminus, Proetus , in alij antiquiores,referente
Troclo, Euclidem optime quidem, O scientifice processisse in suis es mentis ;sed aliquo pacto νacillasse in demonstrandis pasionibus para
telarum. Commtinis sententia in defectum predictariis demonstratio-ntim pendere ab imperfectione principiorum assumptorum: estque primum parallelarum definitio, que talis es: Duae rectae lineae in eodem plano infinite extensae, & non concurrentes ex utraque parte vocentur parallelae . Et patet hane passionem me di is rem tam , , inconprehensibilem. nam extenso illa infinita ad utramque partem ab que concursu concipi non poteB ; neque conueniens est, Pt a passove remota dissicili, ra non euidenter cognita, deceantur in propos a T. 28. di a s. alie passiones magis manifeste. magis enim comprehensibile era pope duos angulos alternos inter se equales esse, quam as i crus lineas, in infinitum productas, ad rura quc partes non comcurarat . In illa enim intellinus faciter acquiescit, in hac Hrδ confunditur, ' alluc matur . Quare potius deberet assumi passet illa squalitasu
65쪽
angulorum alternorum, is principium n demonstret ione, quam U.ra. Hane ob causam P)sdonii s aliam definitionem parallelarum excogitauit, vi refert Proclusi dixit enim duas rectas esse inter se parallelas . clim qnuali interuallo semper inter se distant. de passio
non ae detur prima, ct evidenti si ira 'unium , qus huic lubrecto competunt . Facilius enim quis pere piet angulos alternos equales esse pol di , quani infinitas p ndiculares ab uva recta linea ad aliam duci posse , que omnes inter te squales sint. 'terum principium , ab Euclide assumptum, est petitio quiuia apiid Proclam , Camp tiaran , Orammandinum, O axioma XIII. apud Clamum,ubi dicitur: Si in duas rectas lineas in eodem plano ex stentes. tertia recta incidens duns angulos internos, ct ad easdem partes minores duobus rectis fecerit: illae rectar concurrent ad partes, ubi anguli duobus rectus sunt minores iam si recta EF, secans duas m ct.&A B,=C D f cerit duos angulos
B E F, O D F E, simul sumptos, minores ocius rectis, necessaria B, O C D products tandem concurrent siet aliquo puncto ad partes B, O D. Antiqui Creferente Proclo negavi hanc V. petitionem indemonstra c. 2.3. Eur euident cm esse, quia eius conueritim demonseratur in I . propos. Exclid. Proclus ipse, atque Geminus, T ssidonii s, ct Ptolonisus eam penitus e principiaorum numcro re ciunt, ne dum quea hoc non es cognitum lumine nature; sed etiam quia anniere duas lineas coincidentie ceratum signum non est. nam alis Iιme ann sunt, O non coincidunt, ut pollonitis , Ur Nicomedes docent. Noeriri enim possunt quedam lines, quarum spatium, dis magis ac magis semper fingatur, est coangustetur cru contingit ipsis E B , F D Mersus partes B, erDI nunquam thmen ille in mim punctum conueniunt, licet infinite extendant r. Tatefacta principiorum insus utilia Antiqrios,cupientes corrigere iam dictas, demonstrationes nova principia asum sie, ex quibui Purallelarum passores demonstrasse verisimile est; quae cum noG ea triet, coniectari potest eas forsan firmiores non f se es, que i Troclo as remitur; alias non omnino eas neglexisset. Tossidonitis vero, CR Geminas, qui nonam definitionem parallelarum excog:tarunt, nescistis pariter , quo AIO principio assumpto Euclidis propositiones correxerint, vel iam ianis ;sia cadem probabilitate perjuas, di considerata impers mone de finitionis parallelarum , ab ipsis adducts, iudicare licebit non fuisse eorum d monstrationes Euclidianis firmiores. Postea Ptolonisus in lib. cuius intulus : Recte lines, products ad partes, Mi duo anguli mitiores uni duo-hus rcctis coincidunt 3 retenta definitione Euctidis, O relictis den onstratω-
66쪽
strationibus propositionum eiusdem, tantummodo eius petit onm se . principi rum nκmero reiecit; ' νt Theorema duplici via damonstratist . PtolomD progressus, a Proclo relatus, tanto viro dimes non videtur; merito eum e rpit Troesus; ait enim captiosiam, di peruersam esse . b. c. t. s. utramque Ptolomari demonstrationem Petitionis V. iTandem Proclus affert nouam demonstrationem eiusdem Petit. V. preassumpsit mrem prenuuiaetum, antiqui us receptum ah Aristotele ,
O ab ales, di in tale: Si ab uno putasto duae rectae lineae, angu- ψ .i stetium facientes, infinite producantur , ipsarum distantia omnem finitam magnituduiem excedit. Proeti demonstratio re crathr a Clauio, , ab albs eo nomine, quod assumptum pronunciatum Teripateticum incertum est non minus, quam Euclidis petitio U. At ego asmjsso pronunciato Perip.rtetico astae imperfectam Procli demonstrat nem esse censeo. Sint enim due r cte linee M. B, OC D, que perpendiculares sis ad eandem rinam,
F Η erunt ille parallele ivter se , , crem EG ferax νnam eae parallelis
AB.n F crunt duo anguli interui ad easdem paries DII F, G FH minores duobus rectis. Moeg Troclus putat, quod recta E G, secans Uam B, necessari) are debet reis
liquam ex parallelis C D. 'enim. Duae linea: F B, F G, quae ab uno puncto F infinitum producuntur omni magnitudine maiorem habent distantiam. Quapropter haec quoque, quae tanta est, quantum est interuassum, quod inter parallelas adiacet. Cum igitur maiorem distantiam ab inuicem distiterint harum parallelai u distantia, ipsa F G ipsam C D secabit.
Fatet ergo, ex adducto textu , in Procli demonstratione assumi debere suppositionem , eu pronunciatum, sine quo non licet quicquam conclud re ; quod nimirum interuallum parallelarum AB, C D unicum est , M omnes perpendiculares, qxe ab omnibus punctis recte B ducun- ae ad relivam ex parallelis C D equales sunt inter se. quod sane ince tuis em eam nec ex definitione rectarim, nm comtirrentium, nec ex p os a .et a g. m dcmon Brutis,deductyo sit. Quinimm o dicere quis poliet, quod himbre odi interualla semper masti as mastis aueentur adrire que partes puncti F, ita ut perpendicularis M D maiorat, quam FB O adhuc sit maior, quam 'ID: pariterque assimam po st, quod uer ausi, disimuga duarum rectaram F B, in F G , contenentium ane tum B F G, maior sit, etiam inretruasitim par Iesarum in puncto F , scili- cc; q atti F H . nihilominus ad G nunis es, quam perpendicularis M Ds
67쪽
que determinat interuallum rarandem parallelarum in puncto M. Neque oppostum inmari potest ab que dcmonstratione: quandoquidem pro- habiles , O coniecturales raciones respuit Geometria. Et rursus Ireet BN, distantia earundem rectarum, angulum B FN continentium, maior sit, quam par telarum interuallum M D; nihilominus B N minor censebitur, quam B O; qua mensura est interualliparallelarum in puncto B; hic vlterius . Quare licet recta F G secet Mam ex parallelis A B, noti propterea lacabit reliquam C D. in ideo licet duo anguli G F H, D H F min res sim: duobus rectis,non conuenient necessario rectae F G, C D ad pam res G D. Quapropter Trocli demonstratio insinciens erit . Huic defectui clauidis, is iaccurreret, scdulo dedit operam, ut iam dictam Euclidis V. petitionem firmius, ac solidi demonstraret. Et tandnegandum non est feliciter suum finem assecutum Dise, premisso eodem principio, satis manifesto, quod in XIV. AxIcn . retulimus ram paucis ales . Hoc autem Arahicum quendam fecisse idem clauius refert; sed duplici cauca Arabicam, in Clanianam xorrectronem non retineo : prima est, quia riuntur definitione parallelarum Euclidis, qui habet passionem ignotam, quoad eius possbilitatem s vel saltem non est prima, in notis me omnium, quae subiecto definito competunt: altera est, quia assumpto eodem proni relato XIV. di alqs valde prolia e , di laboriose post multas propositiones petitio quinta democratur ; ex qua poclea passones parallelarum deducuntur. propter has omnes rationes conatu S um,s non Iolidius, saltem facilius , di breuius passones earundem parallelarum soscindere, quam hactenusfictum est .
PROPOS. XUII. THEOR. X. Quae eidem recte liuee parallele sunt , inter se quoque
Sint eidem A B, tam C D, quam recta E F parallele. Dico
C D,& E F ct inter te parallelas esse. Secentur omnes a recta G N in pun
ctis H, M. N. Quoniam C D ct A B
parallele ponuntur. Ergo a alterni
anguli A H M , & D M H aequales
sunt inter se. Rursus quoniam E F, ct A B sunt parallelae. Ergo b alterni anguli AI l N , F N H aequales sitiat ineter se. Ergo eduo anguli H . MD, dc MN F equales iunt inter se , cum sint aequales uni
68쪽
LIBERI.' - ttertio AH M. sed in duabus rectis C II, de E F, cum externus angulus HMD aequalis Osiuidus nit an uso laterno, dc Opposito ad easdem partes M N F. Ergo a duae recte C D, dc E F im ter se quoque parallele si propter, ae cy, COROLLARIUM. . Hinc manifestiam est, quod, si duae recte, conuenientes in
unico puncto, sint parallele uni cuidam recte liliae, constituent ille 'nicam rectam Iineanas nec te thca,inr. Nam con e inter se quoque sint parallelae, & se se tangant, unicam reda .n lineam constituere debent.
Cuiuscunque trianguli, viro latere producto, externus anguli duobus internis, dc oppositis est aequalis. Et tres interni anguli eius aequales sunt duobus rectis. Gaiuslibet trianguli A B C, cuius Iatus BC productum sit ad D. Dico primo externum anetulum D C A ae qualem esset duobus inturnis oppositis A. B. simul sumptis. Ducatura ex C recta c. E parallela ipsi A B. Quoniam A C secat ambas parallelas A B, de C E. Ergo i, anguIus E C A aequalisi .uterno angulo A. Pari ratione B D secans utrasque paralla, C E, & A B, iaciet c externum angulum D C E aequalem, Interno, opposito, dc ad caldem partes angulo B. Quare duo anguli D C E & E C A simul; idest a angulus externus D CA, equalis erit duobus angulis B, dc A, simul sumptis. Dico secundo innatos A, B, ct A C A internos eiusdem trianguli, simul sumptos, duobus rectis esse aequales. ouoniam D C A, externus, ostensus est aequalis duobus internis, dc oppositi, A, & B. Ergo ad diro . communi Iangitio ACB, erimi duo anguli DC A, dc A CL simul. aequales tribus langulis A, B, do C B si mul sumptis; sed duo anguli D C A, dc A CI aequales sunt duobiis rectis. Ergo truSg anguli A, B, dc A C B simul, , quales liliat duobus rectis. Quod erat . cc.
69쪽
Hine patet externum angulum quolibet interno, de opposito maiorem esse; Et duos internos angulos,cuiuslibet trianguli , minores esse duobus rectis. Q indoqii idem externus ostensus est equalis duobus internis se oppositis, simul sumptis: atq; tres,sunta sumpti, quantitatem duorum rectorum complent.
. Patet etiam tres angulos, cuiuslibet trianguli, qquales esse tribus angulis, simul sumptis, alterius trianguli.
Patet triangulum non posse plures angulos rectos. aut obtusos habere, quam unum. Vnde quotiescunque in triangu- Io unus angulus rectus fuerit, vel obtusus, necessario reliqui duo acuti erunt ; quia reliqui duo, simul sumpti, cum sint complementum duorum rectorum, erunt squales, aut uni recto, aut acutos ideoque uterque erit aut pars recthaut pars acutis dc propterea erunt acuti. .
Patet etiam in triangulo isostiae rectangulo angulos ad
Patet etiam quemlibet angulum trianguli equilateri esse tertiam partem duorum rectorum ;& angulum eius externum esse tertiam partem quatuor rectorum: quia sextuplum anguli interni squale est quatuor rectis a & duplum interni anguli, idest externus, tertia pars est quatuor rectorum.
Patet etiam, si a vertice trianguli ilalcetis ad basim per- Pendicularis ducatim verticis angulum secari bifariam; eo quod
70쪽
. : LIBER E quod dilotriangula efficiantur,quq duos angulos rectos habent prope perpendicula tem, isch duos alios equales ad basii 1Iolcetis. Ergo i qui adverticem sunt, squales viter ic
Manifestum est etiam, quo dsi a vertice trianguli multateri ad basim pervendicularis ducatur: sectus erit angulus verticis bifariami cc qu*libet medieta eius tertia pars erit unius recti. propterea quod eius duplum,scilicet x angvius trianguli squilateri, est tertia pars duorum rectorum.1 c Η O Lbr W iM
Iligitureae hae propositi e , qtadsta pancto sublimi c rina
t super alim rectam subiacentem AE , corauum angulis Faeue coic B, eadem quales, perpendicularis ab eodem sublimipocto super ubiacentem lineam ducta, cader ad partes anguli acuti C Biis . nam eum debeat con Bitia triangulum C B a rectangvium rae , tr i .et liquus internus c B A. necessan. acutuae esse ,
. Hinc patet, si ad basim trianguli
duo anguli acuti fucrinti perpendis cularem vertice, cadere intra
Et a vertice ad basim trianguli M Dambligonij perpendicularis, ab angulo acuto cadens, extra triangulum ad partes anguli obtusi pedi Pit '