장음표시 사용
251쪽
dius Ptolemaeus de Analemate, Coma andino interprete,& illustratore deincep eneris. Beda de Horo-Jogij Solaris mensura. Albategnius ad lanem operis de icWntia stellarum tradit modum deicribendi Horologia solaria. Maurolycus Abbas edidit tres libros acutiatimos de lineis horarjs Andreae Scironeri Gn monica subtilissima; Io: Bapt. Ut mercatus Italice de Horologijs Solaribus; Claui j Gnoemonica; item Horologiorum noua descriptio per tangen .es. IO: P. Galluc vis baiodiensis,ltalice scripsit de Fabrica,& usu in .strumenti ad Horologia describenda ad Omnem poli eleuationem,quod mihi maxime probatur.
ΡRimo legatur nostra introductio ad Geographiam, quam supra praemisimu s, postea Ptolemaei Geogra- graphia a Mercatore restaurata; siccedat h.s Theatrum Abrahami Orcelij, opus reglum. Appiani, &Gemmae prisiij Cosmographia; ΡtClemaei Geographia cum comment. Magini. Iulius Solinus Polyhistor. Pomp. Mela, & Strabo de silli orbis; Thesaurus Geographicus Abrahami Uriel j omnino necessarius. huc etiam pertinent Scriptores itinerum, & nauigationum, uti sunt Marcus Polus Venetus de rebus munei inbrabilibus ; item antiquae ac nouae nauigationes a Perro Ramusio tribus tomis colle . Petrus Bellonius Gallice scribit suas in Oriente obseruationes.. Ioanni Boteri Relationes uniuersales, quibus Strabonenia optimE imitaxus cst.' u :
inamuis Astrologia haee, ut supra docuimus,non sit vere pars Astronomiae, quia tamen saepissim ε ea in
diget,ideo ea solet hic annumerari. duplex porro est,aut enim ea praedicit quae Agricolationi; Navigo tioni,& Medicinae conferunt,& hac parte licita est nec VlIis legibus proicripta,aut liberos hominaeuentus, quasi necessarios diuinatur, qua parre illicita, Glegibus diuinis,ac humanis prohibita . Studium profecto vanissimum,ac indignum, in quo bonae horae collo rarumquod tum plures,tum. duo summi nostret aetatis Astronomi eius vanitatis consuliissimi; Ticho,& Kepleros pluribus repraehendunt. lehe Picum, Mi randulanum contra Astrologos. cum autem non sit haec ars tu ta omnino interd cta,ut diximus, paucos eius authores enumerabo ex ijs,qui minus humans libertati d rogant,mezIbrte sunt damnati. Q. Manili j Astronomicon versibus descriptum. Ptolemaei Quadripa titum; Cenci loquium, inerrantium Stellarum significationes. Iulius Firmicus Maternus de Iudici js,suNConstante,& Coultaticio Imp.caeveros Arabes, S Latinos recentiores nugis,& superstitionibus plenos indignos recenseri ,mi 1Ios faciamus. Atq; hi sunt Authores qui hactenus in luce prodierunt quiqkniblilocliacae construendae sussicere possint.
Variae methodi m addiscendis Mathematicis iuxta: iarios a discentium fines seruandae . Fars tartιa.
Eorum qui se Mathematicis addicunt varii possunt etae sines, qu ibus totidem methodi respondeant. alii
enim sola Geometria, aut1ola Arichmetica delectantur. alij Optica, alii Musica alij ali js detinentur, alij totius Matheseos curriculum absoluere cupiunt: nonnulli Mathematicae notatui gratia dant operam, sed aut ad physiologiam, aut ad Militiam, aut ad alias artes meliu capessiendas earum studiuui dirigunt: singulis igitur ungulasmethodos, & modos tradere Oportet.
ΡRimo nauetur diligens opera Elementis Euclidis, non ea leuiter ac sestinanter percurrendo , sed lapius eadem repetendo. scruentur autem hae duae regulae. Prima. Notet studiosus cuiusuis Demonstrationis medium praecipuum, quod est illud ex quo proxim conclusio infertur. porro in demonstrationibus ad impossibile,illud iplum impostibile,quod infertur,habeturpro medio illius demonstrationis.sic in sexta demonstratione Primi,probat Euclides latera illa esse aequalia, quia alioquin sequeretur partem esse aequalem toti,quod est absurduni,vel impossibile,& hoc abiurdum es inesitum huius demonstrationis . in demonstra-etionibus verootansiuis medium semper est principiunt aliquod , sic in secunda demonstratione primi, otiar lineae BC&AG. probantur aequales, quia sunt aequales Vni certis lineae G E.per Inpronunciatum,quq sunt aequales uni tertio sunt aequalis inuiceni: ex hoc enim axiomate infertur illa conclusio. proposito enim sibi tanquam scopo hoc demonstrationis medio, facillime inen ria tenentur, & repetuntur onmes den. stra-tiqnes. hac de causa Aristoteles prudens Phil O1bphus haec media obseruabat, quod inde apparet, quia cuir alicuius demonstrationis meminit,eius medium praec. puum semper innuit,siccum. inqui t, cur anguluSin 1emicirculus rectus estὶ sub iit rationem seu medium, quia scilicet est dimidium duorum re rum .. Uide Ap- cndicem ad finem nostri operis de locis Mathem. apud Aristotelem, inqua omnes demonstr tiones primi Elem, ad normaiologicnu expcnduntur, & earum medi enucleantur. hac porro obseruatione adlii bi ta
252쪽
perfectius,& secundum Logicae praecepta percipitur ipsa Geometria. Secunda regula: In difficilioribus
Gemonstrationibus aliquando augetur dissicultas. propterea quod in iis percipiendis necessc est fatigari imaginationem circa plures 1iguras quae ibi supponuntur, & desideran tur concipiendas, ac retinendas, ut intellectus circa eas possit discurrere, quod primo accidit in I 'secundi Elem. in qua dicitur, quadratum lateris A C. maius esse quadratis laterum AB. B C. rectangulo bis compraehenso sub CC. B D. quς tamen quadrota, & rectangula, & aliae figurae ibi desiderantur: unde disscitis euadit intelligentia Llius: facilis tamen redditur si praedictae figurae ibi utcunque addantur,eo modo, quo citantur. Terti a regula aliquando obscuritas oritur ex longo dilcursu per plures aequalitates, quae subinde vatiantur addendo, demendo, transferendo, commutando, quo casu utile est rem ad calculum redigere, idest in pagella notare membra aequalitatis hinc inde seposita, inest, figuras aequales contradistinctas, easque secundum discursus exigentiam addere, deme-1e, transferre, commutare, &c. hae enim calculatione iuuatur imaginatio, & discursus, ut possit usq; ad finem peruenire, alioquin in medio saepe cursu frangitur,&coincidit. hoc etiam usu venit in Ia.& II .secum di glementorum. Secundo tandem sciat lector neminem posse euadere perfectum Geometram sine Arith. neq; perfectum Arithm.sine Geometria; sunt enim hae duae scientiae veluti duae sorores,ut ait EutCctus,quae sibi mutuas tr dunt operas. hac de causa Euclides sapientissime tres Arithm. libros inter sua Geometrica Elem .iinseruit. hinc videmus multa in io .lib.secundum numerorum ratioues demonstrari; sic omnia fere quae a Geometris demonstrantur etiam per numeros,sive rationales,sive irrationales,summa iucunditate peraguntur, atq; O, Oculos ponuntur, τ.g.demonstratioq7. primi, Ostendit quadratum illud lateris angulum rectum subtendentis,esse riuales quadratis reliquorum duorum laterum; hoc idem numeris exequi possumus, si enim fiat triangulum rectangulum cuius basis sit linea quinque unciarum , alterum latus sit quatuor unciarum, tertim lictrium unciarum,& quadrati horum numerorum sumamurierit quadratus num .quinque nimirum a s .aequa lis duobus quadratis reliquorumnam quadratus numeri ψ. est Io quadratus numeri 3.est 9. qui duo quadrati simul conficiunt et s. Sed hoc magis a Moifestum est in Algebra, quae quamuis Arithmet. fit, utitur tamen Geometricis demonstrationibus, & problemata Geometrica praesertim Io. Element. per numeros
Tertio postquam quis probe in Elementis Euclidianis versatus suerit, alioa Geometras aggrediatur, eis ordiae quo super in Bibliotheca recensiti sunt. , l . i
OB assinitatem ,& connexionem quae inter Geometriam', & Arithmeticam intercedit, nulla ration merebitur quispiam Arithmetici gnomen; quin Element. saltem Euclidis probe percipiat, quibus perceptis debet postea operam Arithm. illis impendere, quos super recensuimus, atque ex eodem ordin quo sunt recensiti. Occurrentibus vero dissicultatibus. Primum sit remedium adhibere paruos numeros pro magnis, atque in illis prius experiri veritatem anteqnam aggrediaris, aut superes totam oblatam demonstrationern . Secundum sit, in numeris irrationalibus, &radicalibus Algebrae, quando occurrunt obscuritates, pro eis supponantur prius facilitatis gratia numeri rationales, & communes, ij que parui; in istis enim apparet etiam veritas illa; quae de Algebraticis proponitur, sicque intellectus illuminatur, ut Aig
tiraticas tenebras disij cere queat. . i . t
a a. .. .. - - Methodus ad opticam. Uoniam Optica Geometriae subalternatur, ideo ad eam recte capessendam necessario praecedere de bent saltem sex primi libri Euclidis: postea studium impenda ur uthoribus Opticae supra recensitis, atque eodem ordine . proderit autem multum ea experiri praesertim in speculis, & vitris, & pili vitreis, & christallinis, nam experientia rerum magistra.
VOniam Mechanici Geometrice demonstrant, ideo necessaria est hic quoque saltem sex primorus GEuclidis precognitio,post quam sequatur tacitum Authorum supra numeratorum atq; eodem ordine.
Haec Arithmetice demonstrat, ideo necesse est praecedat cognitio mediocris Arithmeticae, praesertim proportionum Ari thmeticarum quas ad s. Fuclidis P.Clauius fuse exponit,necno d finem 9. Euclidis, utitur etiam aliquando figuris GeΘmetricis,unde primorum sex elementorum Euelidis aliqua praecogni tio necessaria est diande superiores Authores eo ordinebadhibito studio legantur,quo enumerati sunt.
253쪽
aeoniam Astronomiana, ut recte Plato aduertit, duabus veluti alis Geometria, & Arithmetica in ea tum euolat, ideo primo necessaria est totius Euclidis praecognitio, necnon Arithmeticae vulgaris, il-- lius pra sertim, quae de Astronomicis tractionibus agit, quibus praemissis aggredi poteris Autho. res super recensitos , eodem ordine seruato.
D res Gnomonicas facile, & rectε percipiendas plurimum conserteonstructio Sphaerat Gnomonicae. appello Sphaeram Gnomonicam eam in cuius superficie descripti sunt pimo Tropici, Aequator, & duci paralelli horizontem tangentes,unus maximus apparentium,alter Occultorum maximus. deinde omnes circuli horarij, tam hi qui indicant horas Astronomicas a meridie inchoatas, quique transeunt per polos naum di, & quorum unus est meridianus; quam ii, qui indicant horas ab Ortu,vel occasu numeratas, quorum unua est horizon,& tangunt duos circulos aequatori paralellos, quorum unus est maximus semper apparentium, altet maximus semper latentium. Constructio haec innuitur a P.Clauio in Gnomonica lib I. propositiones.& io.& inde elici potest. in hac pila summa iucu-ditate, uti expertus sum, licebit intueri omnes horum circulorum positus, & interseditiones; & in quibus diurnis circulis Omnes tres se inu puo iecent; ut in arcubuet diurnis horarum i q.& io.&in quibus duo tantum;& alia omnia quae alioquin obscurissima lunt, quqq; Clouius prolixo taedio ad propositionem zo.explicat. haec porro Sphaera constructio fieri debet ad datam poli eleuationem, unica enim nequit esse uniuerialis. Reliquae Astronomiae partes non alia indigent directi ne praeter eam, quam supra in Auth. Biblioth. innuimus.
Methodus iniuersialis adtotis ara leses curriculum ineundum .
SI omnes aut praecipuε Authores singularum Mathematicarum, quos supra in Bibliotheca reeensuimus, eodem ordine percipiamur, res confecta erit. Sed vide lino necellarium puto leorsim singulis distincte dare operam. Primo Geometriae. Secundo Arithmeticae & sic deinceps: hac enim ratione tollitur omnis confusio,& melius,ac clarius omnia intelliguntur,nam pluribus intentus minor est ad stogula sensus.
inam neeessariae sint Mathematicae ad reliquas Philosophiae partes recte capessendas,optim8 Plato de clarauit,edicto illo pro foribus Gymnasii proposito,nui ius ingrediatur ageometretos sed melius re ip- sa id confirmabat,cum quotidie suis auditoribus problema aliquod Geometricum resoluedum prinponeret. idem etiam manifestum est ex Opere nostro de locis Mathematicis apuo Aristotelem, in quo loca num. OO. exposuimus, quae absq; Mathematicis intelligi nequeunt. Iacobtis Zabarella fatetur te bis totum Euclidem diligenter perlegisse,ut ad germanum Arist. sensum in libris Logicis penetraret. quis libro de colo sine Sphaera tractatu,suis Meteora,quis tra*atum de Uitu, sine Perspectina assequi poteritὶ certe nullus. Quicunq; igitur voluerit pro dignitate Philosophiam profiteri, is no mediocrem Mathematis operam impendat oportet, & praeterea Opus nostrum praedictum conetur intelligere, in eo enim omnia fero quM Pe ripateticis necessaria sunt in unum collecta,& declarata reperiet.
AD exercitum vari is modis, &ordinibus d sponendum, necessaria est Arithmetica: ad varias Machi. nas tam ad oppugnationem, quam ad defensionem necessarias, item ad aquas deducenda necessar igi ςst Mechanica;ad mensurandas a longe per radium visivum tum altitudines, tum distantias,& ad inaccessarquiarcium descriptionem necessaria est Geometria practica. miles igitur peritus,ut sit dicaturque Ingegni ero, intelligat saltem sex priores libros Euclidis, deinde Arithmeticam practicam, & Geometriam practicam , his enim instructus optime studere poterit libris militaribus,& qui de Munitione siue, ut aiunt Fortificatio.
Architectores, & Pictores possim etiam Mathematicis indigent praesertim Perspectiva. Atque hi sunt praecipui sinea quibus visum est suas methodos indicare.
254쪽
Mistbeisatici Rudi, promoti . Pars q rta . tarix operum quae quidem extant ,sed nondum e ita, aus edita nondum latinitate donata, iarum Mecaenates, mis viri dom ea in lucem edere aut in latiuum transferre nonsinei orum gloria , , Hudiosorum tilitate possint,
EVclidis data noua indigent translatione; Maurolycus primum, postea I Ssephus Auria ea,vt ederent parauerant,sed apud eorum haeredes adhuc latent. Maurolyci liber de Figuris planis,&iolidis locum replentibus. Io:de Regiomonte de ijsdem acute scripserat teste Μaurolyco. Modus secandi Sphaeram ad datam rationem ex Dionysodoro a Maurol. translatus. Data Arithm. Iordani,& Maurolyci . Euclidis Optica , & Campirica a Maurolyco illustrata. Ptolemaei Specula ab eodem exposita. Archimedes de Speculis comburentibus ab eodem excultus. Alba tegni j tradit1ones ab eodem expositae. Hsronis Spiritalia ab e dem translata. Speculationes Mathematicae eiusdem. Haec omnia descripsi ex indice ante ipsius Cosmographiam,quae apud eius haeredes adhuc asseruantur.
Qui vero sequuntur continentur in praefatione Iosephi Auriae ad Theodosium tripolitam de diebus, noctibus. Barlaam Monachi Aridhm.& Logistices lib.6.erat apud Auriam. Theonis Sinirnaei de locis Mathematicis apud Platonem, eiusdem de Astronomia; asseruatur Venetijs in Bibliotheca Card. Bessarionis. Logotheti expositio in Almagestum. Porsirii expositio in Harmonica Ρtolemaei, qui duo Graeci asseruam tur in Vaticana cum aliis nonnullis,ut videre est apud Auriam. Qui sequuntur sunt in Bibliotheca Μedicea lingua Arabica scripti: Archimedes de Sectione circuli,eiusdem Lemmata. Aristarcus de corporibus Luminosis. Ypsicles de Ascensionibus. ThebitBen Cora rerum selectarum. Apolloni3 Conicorum lib.8. Maenelai de Figuris sphaericis lib. 3. Ben Musa de Figuris planis,& sphaericis,hactenus ex Auria. Diophantis Arithmeticorum lib. II .ait Bombellus extare in Vaticana,quo rum sex tantum editi sunt: ipse quidem Diophantes pag.7.asserit se lib. II. Arithm.scribere. Abistidea Ar bs Geographus reperitur in Bibliotheca Palatina Hidelibergensi,ex Iacobo ChristimanDin Alfagranum.Vltimo restant Thetinis Alexandrini Graeca commentaria in Pimemsi magnam constructionem,edita quides sed nondum in latinum trassata,quamuis multi eam transsationem sint aggressi,& multi etiam eam se maxi, desiderare scribant. In alias praeterea Regum,ac Ρrincipum Bibliotn. non dubito reperiri alia complura,quae deinceps a studiosis ac bene mereri de omnibus litteratis cupientibus, in lucem prodibunt
Miter Index, Operum, quae temporis iniuria perierunt, me recentiores, quod nonnulli iam praeis
Litterunt, ea restaurare, aut imitari pU't
HEron Alexandrinus de Aquaticis Horologiis, Barocius in Heronem. sequentes Authores accepimus ex Proclo in Euclidem: Eudemus de Angulo;eiusdem Geometricae enarrationes. Euclides de Fallac ijs eiusdem Corollaria, idem de Resolutione, quem Marinus Ghetaldus se restauraturum promissit. idem de Diuisionibus, quem Bagdad inus restaurauit. Ptolemaeus demonstrauit,quod a minoribus quam duo re isti productae cCincidant,quod Ρ.Glauius restaurauit ad decimum tertium pronunciatum Euclidis. Geminus de ortu linearum spirali urn,conchoidiim,earumq; passionibus. Nichomedes de Lineis conchoidibus. Hi inpias de Lineis quadratricibus. Perseus de Lineis Spiricis. Apollonius de Perturbaris proportionibus, Ged actionibus,quem partim Uieta,partim Ghetaldus refecerunt' Theodosij tripolitae Deli nationes aedium: de Uere, ex Suida. Comment. in Archimedis Viaticum. Ge mini Geometricae narrationes, quas tanquam extantes citat Barocius in margine quarti libri Procli in Euclidem . easdem citat Henisichius in Sphaeram Procli. Sequentes Authores accepimus ex Ρappi collectionibus. Archimedes de 13. solidis a se inuentis aequiangubs, S aequilaterit quidem polygonis, non autem similibus contenta, pag. 83. item de Libra,& viaticum apud Auriam . item de Sphaerae construciione . Euclides de Resolutione,de qua etiam Apollonius,& Arist us senior. vide Pappum initio septimi,& nostra loca Mathematica Arist.ad titulum Resolutivorum, & intra iterum egemus. hanc se restituturum rece Pit Marinus Ghetaldus. eiusdem Porismata lib.3. & de locis ad superficiem libri duo Aristaei locorum solidorum lib.ῖ. Eratosthenes de Medietatibus lib. a. vide Pappum lib*.de ordine legendorum horum operia. Geminus de Mathematicarum ordine. Ρtote i Mechanica,& Momenta.Heronis Alexandrini Barulcon, idest,Onustrahens,& Mcchanica, in quibus de quinque facultatibus. Ucere,Libranc.quae summa laude vi detur renouasse Marchio Guid usu baldus. idem de Rotulis,&aliud in o. inuenta Archimedis . 'Pappus prinpositione IO. lib. S. Erycemi paradoxa. Eratosthenis Mesolabia,cuius fragmentum extat in comment. Eu tocij In Archimedem. Demetritus Ric xandrinus de linearibus aggressionibus pag. 61. Philo Danaeus ex implicatione πληκτοεi , pag.6 I. Hi ex Pappo. Tandem Democritus,& Anaxagoras, ut refert Vitruvius lib. . de eadem re scripserunt, quemadmodum oporteat ad aciem oculorum, radiorum extensionem certo loco,cemro constituto, ad lineas r-tione naturali respondero, uti de incerta re certae ima ines aedificiorum in scC
255쪽
in scenarum pieturis redderent speciem , t quae in directio planisq; frontibus lint figuratae, alia abscendentia, alia prominentia esse videantur. horum doctrinam, videtur innovasse Marchio Guid usubaldus in sua , Ρerspectiva. Federicus etiam Comandinus putat veteres de centro grauitatis solidorum scri psisse,cum Archimedes de insidentibus aquae centri grauitatis conoidis fecerit mentionem. quam partem i pie conatus est renouare, sed eam Lucas. Valerius multo magis ampliauit. Haec sunt igitur diuina illa veterum monumenta, quae ob saeculorum barbarie intercidisse dolemus quae forte apud Arabes, aut alias n/tiones sub iulio idio. male latitant, nec Principum nostrorum industria ea requisierit.
De Geometriae promotione, ex arte Geometrice demonstrandi bi de Resolutione.
Hoc loco mei muneris esse animaduerti nonnulla de arte Geometricd demonstrandi in medium afferre; quandoquidem ea est quae caeteris Omnibus Mathem .spi ritum ac vitam quodammodo infundit,& qua reliquae destitutae scientice,ac Ρhilosophiae pomine prorsus indigne videantur. praeterea quo i ure qui ipiamsbi Mathematici nomen arrogare audeat,qui nec sua recte demonstrare,nec de alienis recte iudicare queat. Lac veteres magni illi Geometrae suffulti mirabiles illas demonstrationes', quae nostris ingeni js impossibi-Ies videtur, siliciter excogitarunt. Utinam autem extarent ea quae de ea Euclides, Apollonius, & Arisaeus conscripserunt; non enim opus nunc esset nos in ea utcunque adumbranda laborare. Quamuis autem hanc artem, ut bene ait Petrus Nonnius cap. . de err. Oront ij, ex quotidiano librorum Euclidis, Maliorum Geometrarum studio& imitatione consequi possimus, facilius tamen additis sequentibus annotationibus, eam consequemur.
Auid sit Geometrica demonsIratio.
DEmonstratio Geometrica est discursus certus, & euidens ex veris,& proprijs Geometriς principiis per
Enthymemata ad conci usi Onem procedens. ut autem bene intelligatur quid sit veritas conclusionis Geometrica: alia huc spectantia, lege tractatu n de natura Mathematicarum in sine operis nostri de locis Mathem. ubi dictum est quid siit materi intelligibibs, quae sola c pax est Geometricae veritatis,& perfectionis: ea autem est quanti tas abstracta,&c. sic vera,& Geometrica aequalitas ea est,quae duae, v. g. lineae ita sunt nequales, ut nullum omnino discrimen ii uersit, non s olum sensibile,sed nec intelligibde . quaedam enim adsensum videri possunt aequalia , quae tamen Geometrice vere non sunt aequalia. ubi notandum est Geometram , dum demonstrat, supponere se habete hanc materim intelligibilem praesentem', atque in ipsa Posse se Operari, idest, ducere in eas lineas, angulos, triangula, &c.. quamuis in suo Rhaco delineet lineas,
ct figurassensibiles , non tamen propterea ut ait Arist. texi a s. primi poster.) falsum supponit . quia det: neationes illas sensibiles pro intelligibilibus 1upponit, ut melius intelligatur. & ut ait Amstoteles Geometra nihil concludit eo quod haec est linea sensibilis, quam ipse exponit, sed virtute illius intelligibilis, quae Per sensibilem ostenditur. & quamuis haec materia intelligibilis nulla nunc ex taret, satis est si possit extare, scientia enim abstrahit ab existentia sui subiecti
Forma Geometrica Demonstrationis
HAnc debemus elicere ex Euclidis,& aliorum demonstrationibus qui Primo loco ponit Propositionem,
quae scii cet proponitur ut probetur vel ut est elatur; illud dicitur Theorema hoc Problema . Secundo Propositionem explicat apposita sigura , quae in problemate continet quaedam Data ,. dantur enim vel puncta, vel lineae, vel anguli,&c sic tu prima Euclidis, datur linea una, in secunda datur linea,& punctum. in Theoremate exibetur fgura de qua passio demonstranda est, idest, quae est subiectum de ustrationi R sic in quarta exibentur duo triangula,de quibus demonstrandae sunt aliquot aequalitates,& in ijs explicatur propositio. Tertiodequitur Constructio, ut plurimum enim praeter data. & subiectum necesse est ad demonstrandum construere alias lineas, vel angulos, vel circulos, &c sic in Prima Euclid s construuia tur duo circuli, di duae lineae. in omni problemate neccessaria est constructio saltem ipsius proble natis. ia 1 heoremate, nulla aliquando opus est constructione, ut patet in as. primi. Quarto, sequ i tur discursus circa figuram constructain, qui proprie est ipsa Demonstratio procedens per entpy.nemata, quae protat aut factum csse, aut Verum este, quod proponebatur hi autem distursus geometrici debent elle breues, simplices, &Propterea hil in eis reperitur,quod ex praecedentibus non iit iam manifestum,& ideo procedit enthymematice non syllogistice; quamuis possit ad formam syllogisticam reduci , ut patet in scholio P. Claudi j ad primam primi,sed id esset longum,& taediosum ac minus perspicuum, & multa essent iςpius repetenda, superuacanea.demonstratio porro quo breuior,ac simplicior, eo melior. Est autem onm s demonstratio aut ad impossibile. Ustensiva ostendit per causam materialem, aut formalem, aut a signo: Quae ad ilia possibile est, vel deducit contra principia, vel contra demonstrata,vel contra hypote sim, laus uppositionem. Se taprimi repugnant principio illi totum est maius sua parte. vij. est contra v. xxv.est contra liy pothesim . Qui n-to. 4 andem ultima pars huius discursus est conclusio, quae est ipsa propositio iam demonstrata, cui in Fro.
256쪽
blemate subditur, quod erat faeiendum; in Theoremate vero, quod erat demonstrandum, sciendus n praeterea Lemma esse quandam demonstrationem in gratiam alterius demonstrationis ne ipsa demonst alio prolixior euadat. Uide Clauium Uuobus capit. vltili is prole oml in Euclidem.
ze Falticiis, mel Paralogismis, mel Pseudograpbi'.
OUoniam Paralogismus,seu Pseudographia,est fallax demonstratio, sequitur ut nunc de ea breuiter tractemus, hoc est de fallacijs,seu erratis, quae aduersus rectu demonstrandi usu in committi solet quarum. Prima sit, si quid ab Authoritate probetur; haec enim ratio, nec conuincit, nec Geo metrica est, idest, non erocedit ex proprijs Geometriae principijs,aut demonstratis. Secunda est, cum quis ratione , 1eu experientia tensus utitur, ut si quis probaret in praesenti triangulo lineam D E. quae est basi B C. paralella, esse eadem basi minorem, ex eo quod ipsius oculis id percipiatur, esset fallacia, quia Geometria tractat de materia intelligibili,non sensibili nec sensus potest semper percipere inaequalitatem; potest enim linea DE. esse adeo proxyma basi B C. ut Oculus vel linceus nullam cernat disserentiam : semper tamen Geometrice ostentietur minor. ad hanc fallaciam reduciturm cnsuratio, ut si quis aut Circino, aut alio instrumento, utranque, ex dictis lineis me. tietur , indcque probaret illam esse minorem . . .
Tertia deceptio in qua Tyrones fere omnes incidunt, est uti circulo sensibili ad ostendendam aequalitatem linearum, v. g. in praesenti Iid scele A B C. ducta D E. paralella basi B C. probandum sit duas lineas A D. A E. abscindi aequalis,& ad id consi ruat quis circulum ex A. interuallo A D. hic circulus transibit etiam per E. ad sensuria cui denter. si igitur discurat sic, lineae A D. A E. sunt ductae S centro
A. ad circumferentiam DE. ergo sunt aequales. erit fallacia sensus quia inde probat, quia oculo id cernit. certum quidem est lineam A D. pertinere a centro ad circumferentiam,sed auxilio sensus non est certum lineam A E. praecise terminari in ipsa circumferentia,quia non est ducta post descriptum circulum, nec supponi- Uur circulum transire per E.& quamuis Euclides in Prima, & alijs , utatur circulo ad ostendas lineas aequales, id bene habet, quia in Prima lineae ducuntur salter . Vna post factum circulum, qui per extremum alterius lineae transit ex hypothesi. in Secunda vero propositione ductis iam lineis circulus describitur interuallo m noris secans maiorem , quare pars maioris intra circulum intercepta necessario ducitur a cetro ad circumserentiam, & sic illae duae probamur aequales. Quarto, fallaciter demonstramus, quando in constructione assumitur aliquid, cuius constructio ignoratur, ut si ad quadrandum circulum dicat quis,sumatur linea recta aequalis Reripheriς circuli; hoc enim Geometrice non dum inuentu in est, & si mechanice, vel Organice fiat nititur sensu; similiter peccant omnes demonstrationes in quibus usui sunt lineς punctuales, ut est linea Cochiodis Nicodemis apud Clauium in Geometria prasti lib. 8. pag. 2s.& linea Quadrati x apud Clauium ad finem 6. Euclid. huiusmodi enim lineae non sunt quid continuum, cum ex punctis conoscem,& propterea nequeunt partes ipsa ruin praecise haberi,cum incertum sit ubinam sint puncta lineam constituentia. in Quadrantice praeterea ultimum punctum haberi
nequit. Nicodemes paralogizat ducens tineam quandam quia terminatur ad Conchile in punctualem, quia incertum est an ad unum ex punctis illis desinat, secus terminari ab ea nequit. Quinta, cst cum utimur communibus principis aliarum scientiarum, sic Bryso in quadrando circulo utebatur, hoc principio, quaecunque sunt simul maiora, & minora ijsdem, sunt inuicem aequalia, quod commune est magnitudinibus, numeris temporibus, & qualitatibus, & ideo ab Arist. repraehenditu text. primi poster. vide nostram illius loci explicationem: Hinc etiam non licet Geometrae uti illo principio quae sunt eadem uni tertio sunt eadem inter se,quia est comune alijs scient ijs,sed pro eo ut debet hoc; quae sunt aequalia uni tertio, &c. Sexta, Rationes probabiles apud Geometras habentur pro paralogismis,ut si quis probaret superiorcin lineam D E. quae est basi aequi distans,esse minorem basi B C. ex eo, quod sit in angustiori loco,quam sit basis deciperetur quia ibi poni potest linea maior basi,quae tamen non sit ei aequi distans. Septima , Dicitur principi j petitio, estque, quando in discursu assumitur pro vero id, quod est derno strandum, id est, quod in principio positum est, Arist. a. priorum cap.3 I. assert hoc exemplum; vut i quispiam ostendere duas in sequenti figura lineas AB. CD. esse paralellas, quod faciant angulos alternos A G H. GH D. aequales,nam liccposito per vigesimam septimam primi, id sequitur volens post a probare tales angulos esse aequales, id probat, ex eo quod lunt paralellae, quod sequitur per et s. primi, perit quod in principio posis tum est pro bandum, scilicet, lineas A B. C D. esse paralellas Eandem peccaret fallaciam qui demonstrationem aliquam citaret,que ex demonstranda penderet, seu sequeretur, ut si quis probaret I . p. per 32. Primi.
Octava, aliquanda Tyrones dum demonstrationes Euclidis repetunt falluntur ob similitudinem demon,
257쪽
stra nonsi,n e aliquando probant angulos ad basim esse aequales in s .per Α. nam illi anguli opponuntur aequa-Jibus lateribus,ergo inserunt per .lunt aequales. error est quia in A.id probatum est in duobus diuersis trian-galis, in s .autem probandum est in uno tantum. Nona, dicitur allacia uniuersalis, debet enitia propositio esse talis,ut omnibus subiectis speciebus, &-nibus casibus aptari possitu si quis vellet Ostendere, in omni triangulo paralellam basi, esse basi minorem, in demon stratione vero id solum ostederet in figura Isoscelis,& ex natura eius, esset pseudographus sic etiam quando habet varios casus; considera secundum primi, quae varios habet easus pro varietate locorum punctiadati,& tamen demonstrationem Euclidis conuenit omnibus illis casibus. Decima,est contra Geometriae principia; sic errabat Antiphonduin ad quadrandum circulumassumebat
lineam curvam constare ex minimis rectis lineolis, quod falsum est. vide Arist. vlt. cap. Elench. cum nostra explicatione.
Undecima, cum aliquod falsum vel impossibile assiimitur . sic fallit Hippocrates in sua circuli quadratione, qui cum luaulam quadrasset, assumit postea ex quodam trapezin accipi posse tria triangula aequalia tribus lunulis,eo modo quo antea ex quadrato quodam triangulum aequale lunulae acceperat; quod alsum est. vide cap.3I .secundi priorum Arist. cum nostra explicatione. Duodecima,cum aliquid assumitur,quod non sit euidens,aut quod non sit demonstratum, etiamsi verumst. Obij cies forte,Euclideian primaeassumit duos illos circulos se mutuo secare,quod non probat. Respondeo id esse euidens, quid enim euidentiusest, quam si unus circulus habebi centrum in circumferentix alterius,simulq; per centrum illius transeat,ipsum secare. Alia similia sunt apud Euclidem,& alios Geometres, quae tamen si bene consideremur euidentis Ma sunt,&proptereae sine probation e assumuntur . Decimatertia,cum malam illationem admittimus,ut si quis sic inferret,irtatur a minori ad maius, & per omnia media,ergo per aequale vide Clauium ad 16.propositionem I. Elem. in fine illius longissimi Scholij sic fallebat Aueri dum sic ratiocinabatur, ut est 6.ad 3.ita ad a.ergo permutando,lut 6. ad a..ita ad y. haec enim non est purmutat proportio, nec ullus alius modus argumentandi ex ijs, qui ab Euclide comprobantur,& apparet falsitas innumeris. nec pariter valet inserre duae hae rectς lineae non stant aequidistantes,ergo
Decimaquarta, eurnasiquid assumitur, quod aeque obscurum est, ac ipsa propositio; debet enim ex notioribus deduci ; sic Proclus decipitur dum ad probandum axioma II. Euclidis assumit illud aeque ignotum, si
ab uno puncto duae reaeae angulo facientes infinite producerentur, earum distantia excedet omnem finitam magnitudinem. vide Clauium in scholio 28. propoes. primi Elem.pag. Is . Decimaquinta, Oritur ex ignoratione terminorum Geometricorum . sic Tyron es aberrant, dum putant se quadrare circulum,si construant quadratum cuius quatuor latera sint aequalia peripherita dati circuli: vide Geometriam practicam P. Clavij pag. 3 3I. Tandem lectore monitum volo ad vitandas fallacias utile esse legere Ioe Buteonem de varijs circuli quadraturis: & Petrum Nonium de Oronti j erratis, & Io: Regiomontanum de quadratura Nicolai Cusani. hii enim aliorum varios paralogismos,& tallacias detegunt,unde nos aliorum damno proficiamus.
De resolutione , . compstione.
VT ars quaevis bene tractetur non solum necessarium est,uitia illi contraria, ut vitari passint,cognoscere, sed etiam, & quidem praecipuuml, praecepta tenere quibus facile, & optime artis finem consequamur ;cum ergo de fallacijs egerimus, quae arti huic contrariae sunt, sequitur ut de resolutione, & compositioni nonnulla dicamus, per eas enim,& optime & facile Geometrice demonstrationes inueniri possunt. Resolutionem hanc Geometricam primus omnium Plato adinvenit, eamque Laodamatem Thesium docuit,cuius auxilio,&ipse,& reliqui iuniores Geometrs plurimis subtiliter inuentis Geometriam magnopere amplificarunt. de hac resolutione,ut refert Ρappus initio 7. scripserat Euclides, Apollonius, & Aristaeus, sed opera eorum interciderunt. Μarinus autem Ghetaldus in suo Apollonio redi uiuo resolutionem hanc pariter rediuiuam se propediem daturum recipit: nos tamen interim de stac nonnulla diximus in locis Μathem .ad titulum, Lib. resolutor. & hic etiam nonnulla in medius afferemas. quid autem ipsa sit ex veterum de ea relictu ijs primo videamus. Euclides igitur in scholio propos . primae I 3. Elem. iuxta fidelissimam Go-mand. ex Zamberti,& Graeco interpretationem quod schol.cum quatuor resolutiones, pretiosum antiquitatis monumentum nonnulli interpretes perperam omiserunt) eam sic definit. Rectolntio est sumptio tanquam concem,per ea quq consequuntur in aliquod verum concessum. postea addit. Compositio est sumptio concessi per ea quae consequuntur in quςsiti conclusionem siue deprςhensionem. Easdem definit Broclus lib. 6.primi pag. Iqs.& Pappus initio lib.7.quos tu consule . Sensus autem Euclidis est hic: Resolutio est discumsus,quo investigamus veritatem Theorematis, aut possibilitas Problematis quaesiti hoc modo; si quaesitu est Theorema accipimus illud tanquam verum, &concessum. si vero est Problema, assumimus illud tanquam factum, idest, supponimus illud verum esse,istud vero possibile,& iam factum; ex qua suppositione ratiocinamur per ea, quae ex supposi iis vere deducuntur, donec aliquod verum vel falsum oecurrat: si enim Occurrat aliquod verum,& concessiim,signum euidens est etiam suppositum illud, ex quo istud sequitur verum essest, seu possibile esse . quae consequentia nititur hoc logico fundamento, verum non nisi ex vero in bona materia , & 0rma sequitur.
258쪽
Inuento lutein vero illo, demonstrationis compositionem postea ordine retrogrado faciebant, idest, de-1Bonstrationem quaesti ordine compositivo construebant,ratiocinantes ex vero illo inuento ad quς siti conclusionein. Quod si selsum vel impossibile occurrat,euides signum est qucsitum ene falsum,vel impossibile. quae consequutio hoc nititur principio logico; falsum non niti ex sesis in bona mat ria,& forma deducitur. quae argumentatio dicitur ad impossibile. Verum haec multo melius intelliges si attenth legeris,ac consideraueris illas. s. Resolutiones,ac compositiones Euelidis in II Elem. & alias quas passim apud Apollonium, Arcbimedem,& Pappum reperies,quae tibi pro perspicuis exemplis inseruient melius enim exemplis, qua multis priceptionibus proficimus.) ex quibus facultatem Geometrice demonstrandi facile tibi comparabis
Tandem scias opus datorum Euclidis huic resolutionis arti subseruii e in eo enim ex varijs datis varia inferuntur,&consequuntur,quae illationes,& consequutiones citantur postea in resolutionibus faciendis, ut videbis apud Euclidem, Apollonium,& Pappum. Porro de opere datorum restaurado dictum est superius. Atq; haec sunt quae de arte demonstrandi apud Geometras ex veterum naufragijs colligere licuit. Percepta igitur hac arte,auxilio eius poterimus magna animi iucunditate subtilissimis demonstrationibus, non solum Geometriam,sed etiam Arithmeticam,qnae eodem modo demonstrat,locupletare,ac non ulla tandem pertinaci labore,& pudio investigare,quorum difficultas veterum ingenia hactenus incassum vexavit,& torsi; uti sunt angulum datum in quotuis partes diuidere; similiter,arcum circuli datum in quotuis palles diuid Te, Circulum quadrare, rectam lineam circulari aequalem eXhibere; duplare cubum, duas medias lineas pro-POrtionales inuenire, Heptagonum regulare describere, Ιsoscςles habens angulum ad basim triplum eius
qui ad verticem construere, &c.
Sed maxime omnium proderit ipsa demonstrandi exercitatio. quapropter Geometriae Doctoris praecipuum munns existimo, subinde auditoribusi uis faciles quasdam propositiones proponere, quod quotidie Plato, quamuis aliud agens, factitasse legimus. Ego quidem singulis annis auditoribus meis prisono publice demostrandum illud, quod super id prima figura exhibetur, videlicet, in quolibet itiangulo i i nea basi maralella, ipsa basi minor est. id autem non parua eorum iucunditate, & utilitate plusquam quindecim mindis demonstrarunt. vel i stud,' si trianguli aequi lateri singula latera bifariam dividantur, ducanturque ad tria diuisionum puncta tres retiae lineae, exurgunt quatuor triangula pariter aequi latera , & inuicem omnino aequalia, necnon tria paralellogramma aequalia; cuius tiguram hanc considera .
De abarum mathematicarum proQotione
Α Arithmetica,eadem apte,ut dictum est multis ad inuentis ditari potest. Mechanica facultas eadem arte
pariter locupletari potest, praesertim cum nondum centra grauitptis omniti figurarum tam planarum , quam lolidarum comperta hnt, v.g centrum grauitatis semicirculi,& aliarum circuli portionii adhuc igno rantur . similiter portionum Ellipsi, Hyperboles etiam, & Frustorum eius, centra grauitatis adhuc latent expectanturque. Opticam facultatem non solum den onstrationibus,sed multo magis assiduis reflexionum, S refractionum experimentis ampliare valemus, sicuti nuper P. Christoeliorus Scheiner nostrae Soc. solerter in tuo oculo,seu fundamento optico praesti ti t. nunc Omnes Telescopii instrumenti optici adeo praestautis demonstratidnes,grit desiderant,aut inquirunt,sed nondum emersit. Mu1icam corrigere, S illustrare debemus,non solum ex δ heoricis traditionibus veterum, sed multo magis ex eis quae Plato Aristoteles,&Ρlutarchus de eius in teria,Osscio,& sine scripta reliquerunt. Astron miam maxime exemplo dictionis promouere Oportet adhibitis scilicet magnis, & cxquisitis instrumentis , assiduas obseruationes per gere, easque cum λntiquorum Dbseruationibus conferre. Alijs tandem pluribus
modis,& quidem nouis neq; enim humanum ingenium vilis artium regulis, quasi carceribus concludi pintest ) hisce nobilissimis, & pulcherrimis scien xijs incrementum asserri potest. Nos etiam Echometriam,
nouam Matheseos pa rtem, in fine dabimus, in qua sonumi& Voces per lineas, angulos,&c. iuris Geometrici secimus,ac plura de ijs iamia demonstrauimus.
clarorum Mathematicorum Chronologia . Pars quinta .
AD huius Apparatu perfectionem addendam esse censeo clarorum Mathematicorum Chronologiam, quam cum locis Mathematicis Arist. iam edidimus; non modicam enim utilitatem studi,s aflerre longo viii,& e perientia didici, nosse quibus temporibus, i j Authores scripserint,quibus Operam,& studiu impendi finis. quod Optime i i etiam norunt, qui suauissimum eruditionis studium 'na cum Philosophia coniungere iolent. Enimuero no, paruum videtur inconueniens,authorem quempiam sedulo versare,eumq; quo sicculo 'oruerit, ac scripserit,hoc est, quibus scriptoribus sit itinior, quibus contemporaneus, quibusq; senior extiterit ignorare. Ego qnidem eius sum genij, ut nullum unquam Opus legendum aggrediar, quin mihi prius aut horis ipsius tempus, utcunq; constiteri t; consule igitur nostram clarorum Mathematicorum Chronologiam una cum locis Mathematicis Arist.editam, ne eam iterum hic imprimesdo actum agamus.
259쪽
SIVE D E N AT URA ECHV SG EOMETRICA TRACTAT I O
Publice habitae a quodam Academico.
PROLUSIO, ET OCCASIO, DOMMENTATIONIS.
Vperiori Autumno,cum in scholis Halcyonia essent, relina in urbe Philosophia, in subum' banum relaxaridi animi, ac purioris caeli captandi gratia concesseramus. cumq; simul nonnulli syauioris. Musae comites deambulatum issemus, accidit ut ex nostris. quidam Musica, simulq; clariori voce praeditus , carmen quoddam altius modularetur. & ecce tibi, Carmen idem,ex quadam satis remota turri, continuo pari suavitate recantatum excepimus . primis putatum est sodalium aliquem inibi Iatentem ioculariter, ac blande nobis illusisse. tandem iterata, atque iterum relata modulationς, illa depraehensa est, - qm nec reticere loquenti h Vec prior ipsa loqui didicit resionabilis Echou Pergratas nostrarum vocum imagines reddidisse. diutius igitur illius suauitate detenti , vari j varios cantus ei recinendos accinebamus. cum interim Geometria, quam simul cum reliqua Phllosophiae familia in urbe Teliqueramus,se nobi* iterum comitem praebet,gratςq;iuadet minime instituto nostro, relaxationi ue obesse se, si latentem Echus naturam indagaremus; quandoquidem id philosophandi genus, iucunde per amoeria, collium, & vallium ambulationibus obiri positi. Ego itaque vel uti Pan alter, per saltus, per sylvas hasi illac vociferans Echum persequi,&ςaptare; ipsaque nostris votis respondente, ipsi '
Persequebar, inquam, captabamque, contemplabar videlic t locorum resonantium positionem , figuram, qualitatem , quae hanc vocis imaginem effinxissent . atque ni fallor,Ρanos instar Echum depraehendi, natu-xam eius videli siet, causasque pervestigaui. Ρan enim, uti tradunt Mythologi, fuit vir doctus, qui primus Echus causam inuestigauit, ductusque suauitate noscendi, diu collibus , montibusque quasi Echum persequens oberrauit. unde ipsum eam deperijsse vetus fabula emanauit. quae igitur tunc temporis de hoc vocissimulacro, Geometriae Ope commentati sumus , ea nunc in medium allata, non iniucunda fore speramus. quae ut Ordine tradantur, Opus est more Mathematicorum, nonnulla praemittere, ac primo decinitiones aliquot , quarum prima erit ipsius Echus nominis Elymon, nomina e fim teste Platonis Cratylo, quindaria. sunt perbreues rerum desinitiones. i i
ΡRima erit ipsius nominis definitis,seu Etymologia. Echo Graece dicitur His, a verbo Hχεω, idest, e sono, unde Latinis apte redditus resinantia. Poetae Latini eam modo Echo, modo imaginem v9cis appellat, sic Virg. Saxa sonant, vocisque olfensa resultat imago , Philosophis vox reflexa, repercussa, xeciproca etiam dicitur. hinc ad ipsius definitionem commodius. iam transire licebit Secunda. Echo enim nihil aliud est , quam vocis articulatae, aut modulatae sonus refleXus, hoc videlicet . modo, cum vox nostra prolata, ac motu aeris quoquo uersus delata, obiecto directe corpori plano, cauo-Ue, ac satis laevigato Occurrens, i de pilaei instar ad nosmet reuertitur . ubi distinguendum cst inter BOm-hum ,& Echum. Tertia. Bombus enim est quidem sonus reflexus, sed ob de se stum alicuius circumstantiae, ex ijs, quae ne-aessariae sunt ad Echum perficiendam, confusius,& inarticulatus. Echo autem proprie est, quα voceS arti culatas,aut modulatas distincte restituit. Cuius naturam, ut melius perscrutemur, animaduertinius non solum communi Physiologia,sed praeterea opus esse eam legibus Geometriae,atq; adcolinearibus, demonstra' vonibus sub jcere. more videlicet opticorum, qui visionis, atq; illuminationis naturam pei lineas, & angu ius optime solent explicare. quod si id cuipiam nouum, ac mirum videatur, non tamen impossibile videri debet,eum enim haec resonantia fiat per reflexionem,reflexio autem omnis fiat per lineas, & angui ueri' o capa liueis,& angulis reserendam esse duximui. sed in primis exponendae sunt sequentes definiciones. . Quarta. bonorum,sue canorum nobis hic est omne corpus sonum,aut Vocem primam emittens
260쪽
Quipta. Linea recta sonora seu vocalis est iecundum quam vox in directum propagatur Quod pKterea sonus in aperto, ac libero quoquo uerius per lineas diffundatur, hisce rationibus palam flet; quarum prima fit ab experientia ; nam multo melius ad Omnes plagas sonum audimus, cum inter nos,& i norum nihil directe interponitur,quod ei VI di rectae ad nos productioni obstet,quam cum quippiam inter ij-citur. Secunda, Echo ipsa id eui manifestat, ipsa etenim nusq; resonat nisi ubi vox per lineam rectam a sonoro ad reflectens procurrit,unde postea resilit. Tertia sicuti su lumine,& visione in confesso est,rectas umdiq; lineas dari oportere,quidni etiam in tono,&vocet Quarta, huius rei causa est, quod natura agit mr lineas breuissimas,breuissimae autem sunt rectae,ad qualuis plagas extendantur. Caeterum dixi in loco aperto, ac libero j qLod, ut vulgo notum est, sonus, & vox vel tenuissima per tubos, & canales, ellasia curuin, ceu per soni ductus, optimc deferturi ac longius quam in aperto propagatur. hac ratione in carnationibus concameratis, in quibus anguli caui parietum continuantur cauis angulis, qui per fornicem diametraliter transcendunt ad Oppositum angulum patietum, etiamsi quis submiste loquatur in uno parietum angulo, ore in angulum Obuerim, exauditur tamen ab altero . in altero angulo opposito auscultante, nihil interim audientibus intermedijs. id multis in locis licet experiri, sed praecipue celebrs est Rula Serenisse. Ducis Mantuae . causta es quia vox per angulum veluti per canalem unita,& clausa, ascendit etiam per sornicis canalem,& ad Uppo si turn murorum angulum descendit ubi exaudi tur . quod si in fornice sint anguli non cassi, sed conuexi, & prominentes, seu ad fit planum laqueare,vox illuc of ndens, non unita pergit sed late dispergitur. Porro huiusmodi vocum propagationes,cum non fani per reflexionem, insti- Iutae tract tioni censendae sunt alienae. Sexta. Linea sonora a iuitatis, actionisue, est ea secundum quam sonusquam longissime propagari potest. dicitur otiam semidiameter sphaerae actionis . . 'Septima. Reflactens est onine corpus, quod sidnum modulatum, aut articulatum reflectere potest adipsum sonorum,ad at tum uel quod nos aliquando,& murum,& parietem dicemus . Octaua. Sonora linea direct/,seu incidςns est ea, secundum quam sonus primus a sonoro manans recta in obiectum aliquod eOrpus incidit . . Nona. Linea vocalis reflara est ea, secundum quam sonus ad obiectum corpus collisus reflectitur . Quae omnia yt probe percipiantur, praenotandum est,quatuor esse, quae eadem ratione perlineus incidentes, reflexus explicari oporteat, lumen ,& visionem ; sonum ,& auditionem sicuti enim perspectivi in luminis profusione, & reflexion ς considerant lineam radiosam aeu radium incidentem, S reflexum in visione pari,
tes concipiunt lineam incidentem, S res exam. eadem ratione par est in ioni prolatione, & reflexione lineas sonoras, di vocales statuere, quarum aliae sint incidentes, aliae reflexae. Earum autem productio melius figurae huius exemplo pcrcipietur. in qua sonorum sit ubi A. corpus autem sonum reilectens sit paries CBD. dum i g tur sonus at, ri. quaquauersum diffunditur, in Oppositum parietem impingit. in qua vocis diffusione licebit concipere innumeras lineas, quarum tres tantum hic depinguntur As. AC. A DHecundunt quas vox parieti incidit , ideoq; lineae incidentia d curatur. h4rum omnium una A B. proprie est pariς tiPerpendicularis, leu normalis , quia ad angulos rectos ei accidit. reliquio ara es, quales sunt A G A D. cidem oblique oc' currunt. licebit pariter innumeras lineas a pariete reflexas ima' ginari quae totide incidentibus respondeant: harum hic tantum tres depinguntur; CF. reflexa ipsius AC B A. reflexa ipsus AB, normalis; normales enim in se ipsas reciprocantur. DE. tandem restex iosius A D vh notandum est, lineam reflexam obliquam semper reflecti in partem altera νieu directe opposita .n suae incidentis,ita ut ambae,& incidens, S r flexa possint esse in eadem plana supersiste,quap transirci per linea in normalem A B. necnim per lineas incidentes A C. A D. faceretque in parierclineam G C B D H. haec de sonoris lineis, nunc de angulis earundem.
Dςcima. Angulus incidentiae lineae obliquae hic est quhm facit linea obliqua incidens, cum linea in pariete ducta a termino lineae normalis per terminum lineae obliquae incidentis qualis in praesenti ligura est linea B C G transit enim per B. &C. terminos linea tum AB. AC. talis est etiam linea BD H. transi ei 'Per terminos B D. linearum AB. A D. 3 anguli igitur incidentiae sunt A CB. ADB. angulus incidentiae lineae normalis est cuciti ipsa facit cum qua uis linea in pariete ducta per suum terminum B. qualis erit an gulus AB C.& AB D. Vndecima. Angulus reflexionis lineae obliquae is est,quem facit linea reflexa obliqua cum praedicta linea In pariete: tales sunt anguli F C G. E DH. angulus reflexionis lineς normalis is est quem ipsa facit cum pr
dicta ij nea, quales iunt anguli CBAi BDA. notandum est angulum hunc reflexionis semper vergere ad partem di recte auersam angulo incidentiae,quoniam si a linea reflexa, quae uti iupra notatiam est , illuc pariter tendit. porro ex praenotatis facile est varias Echius diuisiones; ac species definire; nam, Duodecima,alia est normalis,& reciproca,quae scilieet rcflectitur per eandem j ineam: alia vero obliqua, quae oblique per diuersam lineam a primaria reflecti tu r,quasi & ad alium auditorem qualia ad sonorum . hec autem aut fit per unam tantum reflexionem, aut per Plure . Dcci-