Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

241쪽

OpusCULA. 199 Ex his aliud emma deduco, quod hisce formulis continetur Sh. φα - - . Ch. φα --

Simili ratiocinio utens in Circulo, adhibita sequatione ipsi propria o. φ' r'--Sc. perveniam ad formulas HS D, C e mi 'δ te formulae κipsa inspectione figurae deducuntur. Nam triangulum infini-

r Cc. φ: dφ:d So. Si φ . dep dro bus superiores formulae tatim prodeunt. His demonstratis ad rem accedo propius. Quisque videt identicas esse , a proinde aequales hujusmodi Grinulas

cum numeratoribus Multiplicetur utraque per neso fiet

1io est log arithmica Possit systematis sub tangente, fiat integrati , hac servata conditione, Ut quonam h. p O, si Ch. m. . Habebitur IC4 φ δε φ

242쪽

ao OPUsCULA. Ch. 1 φ Sh. nup Ir si esset protonumerus r ut togarithrni acciperentur in systemate hyperbolico, superflua foret additio constantis, 1 tr. Sed malo uti quo cuinque syllem ae , ut appareat , demonstrationem a peculiari syilemate non dependere . Facto transitu a togarithmis ad in

Assumpta prima dentica formula L LES

243쪽

OPUICULA EO ISi formulam demticam ponas esse

idem ratiociniu

. Vi S 'φ . idem ratiocinium instituens invenies Ex his propter ambiguitatem signorum orientur formulae

quatuor

tem sunt illae ipsae, qua jamdiu probatas exhibui, quoties esset numerus rationalis Demonstratio autem haec eas esseveras pariter ostendit tametsi sit numerus irrationalis , C surdus. De hac tu judica Mihi satis est tuae morem gessisse voluntati. Vale.

244쪽

UINCENTIUS ICCATUS VIRGILIO CAVINAE

S. P. D.

IVI si ex superioribus litteris ingens tibi videri debeat utili-

tas earum formularum , quae altero in lemmate continentur tamen multo utiliores Cognosces, postquam ostendero obtineri per eas integrationem plurium formularum, quae quantitates hyperbolicas, circulares involvunt. Formulae in superioribus litteris demonstratae sunt hujusmodid Sh φ αα dGn Q -

His suppositis demo rix croci tome theoremata, quae se quiantiar

eorum alores, invenies

245쪽

OPUsCULA . et o i Alterum ostenditur per formulam

c Ch. φ, quia factis ut antea sub1titutionibus perveniemus ad formulam j,5 h. ' Ch. φα - 1 HSh. φ d pH-; - 1 h. si 'd' Sh. φ d cp; ergo translatis terminis, factaque integrationem S S, 'depi cm- , S Sh .' 'd h. ' ' Ch. p. 4 E. D. Similem methodum applica reliquis duabus formulis, quae quantitates circulares complectuntur. Nam D. Ce. So. φ- 'So. .d o. - c. p

Q. E. D. Ultimum theorema eadem ratione ostenditur. Etenim ex formula D So. Co. φ m 1 So. φ' 'Co. .d Se .cpinae. φ d Ce .c invenies m S So. φ φ α - ., SQ c c d p o φ' i e ep.

Εκ quatuor , quae demonstraVi theoremata, aliquot primum corollaria maxime simplicia deducamus. Si supponas

246쪽

in quadratum linus vel cosmus dependet a quadratura hyperbolae, Si differentia arcus Circularis multiplicata per quadra, tum sinias vel Osinus dependet a quadratura Circoli Ilater has formulas non invenies quatuor maxime simplices, nempe Nam suprione res h. Sh. se .c Sc. φ istae quidem prodirent in primo termino , sed conjungerentur cum quatuor altioribus , - -

quod ostendit, has ab illis dependere . Ut autem

nostrorum theorematum usus amplior essiciatur, necesse est prorsus, ut per aliam methodum harum formularum integratio inveniatur. Ordiamur a prima, in qua pro φ substituamus ejus sed di 'd Sh d Sh. φ

mulae integratio exhibetur a sedi ore circulari diviso per Aseu ab arcu Circulari, cujus tangens Sh. Q. Quare radio ΚΗ P se. . ,3 descripto circulo ML ductaque tangente, in eaque se et HIm DF h. si , agatur I erit HM . Formula itaque depen-

det a quadratura circuli. Applicantes eamdem methodum formulae secundiae an cis Cein

247쪽

hyperbolae quadratura atque hoc modo obtinetur . Semiaxibus Η Fig. I describatur hyperbola aequi latera Η puncto L parallela rectae M agatur L O , quae quamquam non tangit hyperbolam , tamen , ut servetur circuli analogia, Cotangens vocari solet. In hac abscindatur L i CD, Ch. agatur MO; erit S i S. Superfluum est adverteres, hyperbolam H per quam formula integratur, eamdem si cum hyperbola AP,

in qua sumuntur suaus,, Osinus. Reliquae duae formulae continentes quantitates Circulares eadem melliodo tractentur. Fiet itaque dSς- ξ

η β quae pariter ab hyperbolae quadratura dependet.

Descripta eadem hyperbola Fig. a duc at gentem hyperbola III, in qua abscinde HI DFα Sp. φ. Dud DP 1;

riter hyperbolae poscit quadraturam. In eadem hyperbolae tan-nente seca H Cc. r. habebimus

His patefactis at primum , si m sit numerus affirmati-

vus, impar, formulas omnes S CV S 4 p, SCO. dc , S,Sc. d algebraicam integrationem reCI-pere . Etenim hae ex theoremate dependent a similibus forma-jis , in quibus exponens est istae ab illis , quibus est exponens atque ita deinceps , donec deveniamus ad formulas habentes unitatem in exponente atqui istae ulti

mae ex dictis algebraicam integrationem recipiunt ergo primae propositae. Ut

248쪽

eto opus ULA Ut indoles seriei , quae e hac methodo proVenit, melius cognoscatur, fatis erit unam e praedictis formulis evolvere series enim in omnibus eodem passi procedit. Hanc eligo Co dc . Habemus atqui

SCc. ρ φ. Atque ita progrediens Venies seriem, In qua omnes termini multiplicantur per c. φ, Xponentes autem c. si procedunt per seriem -I, - , --s,m - C. usque ad , in quo tamquam in ultimo terminosistes Coessicientes vero terminorum sunt , ----,

Sc. Supple autem dimen-

siones per potestates simus totius et r. Si m sit numerus positivus, par duae primae formulae pendebunt ab hyperbolae quadratura , duae ultimae a quadratura circuli . Nam facto eodem progressu tandem per Venimus ad formulam S d p quae in primis dat duplum sectorem hyperbolicum , in aliis duplum cetorem circularem divisum per sinum totum.

si Vol Vas eamdem formulam S o. φ'do, in UenieS

249쪽

OPUs CUI L. OTeamdem seriem, in cuius ultimo termino Co .c exponensio . Huic addendus est terminus,' φ, qui habet coefiiciens idem , ac ultimus terminus seriei scilicet '' '

Si summatoria debeat nullescere nullescente arcu , ejusque sinu completa est , neque ei ulla addenda est constans. Quare si satio φα So φα proveniet Si e .s Lepta m p . Est autem p vel quadrans, Vel tres quadrantes, vel quinque , ut omnibus notum est Ut facilius tractem casus, in quibus m est numerus negativus, paullulum transmutandae sunt formulae . Quomodo hoc faciendum sit, aperiam dumtaxat in prima reliquarum enim ratio eadem est. Muta 1gnum speciei ni, ut ex negativa fiat positiva . Oritur

Si n est par manifestum est, formulas omnes

ne gaudere. Namque theoremata inventa demonstrant, Ormulas istas dependere a similibus formulis , in quibus divisoris eXPOnens istae ab aliis exponentis 12 4, atque

250쪽

atque ita dei inceps, donec ita divisoribus reliquus sit exponensa sed supra vidimus, formulas ita divisore affectas exponente et a integrabiles esses; ergo in propositae integrabiles

sunt.

Si a sit impar simili ratiocinio ostendam , formulas de

e his ad sui me integrationem postulat quadraturam Circuli, reliquae quadraturam hyperboli, ut supra probavi ergo prima ex propositis dependet a quadratura circuli, reliquae tres ab hyperbolae quadratura. Quoniam haec , quae tibi scripsi, calculum nauum Cosmuum non minus Circularium , quam hyperbolicorum mirifice illustrant, utiliorem reddunt, non injucunda tibi fore confido . Vale Col. . ticiae Nonis Novembris I 761.

ADDITA MENTUM.SEcundae, quam ad te misi , epistolae haec ut addas rogo

ganti illam te istae solutiones cum nostris apprime Cohaerent, dummodo memineris, uterum uti logarithmis hyperbolicis in quibus scilicet tam protonumerus, quam subtangen m m. Quoniam vero utile est exprimere integrationes per togarithmos, non solum hasce duas formulas, sed etiam ad logarithmos perducere juvabit. Quam ob rem necesse est praemittere aliquot facillima theoremata, per quae demonstra tio omnis perficit Ur. Ac primum data HI Fig. 4. b determinandus sit numerus logarithmi analogi --. Sumptam ω Κει- , ducatur producatur G, quae erit alsymptotum hyperbo la. EX Nacto lucatur nor nnalis a Jymptoti ei it fra