장음표시 사용
231쪽
opuscuLA factaque lemmatis praeparatione , sic ratiocinium instituo . Quo . niam iri αΡ ma est: tertia proportionalis post C,S Fn: PG, tertia proportionalis post Κ, PF ΡGerit minor M, PI, N. Atqui ' ponitur atqui valere PF, G ergo Pa aequivalebit duabus minoribus quam PM, PI pG aequi pollebit duabus minoribus quam N, sex axiom. quinto Igitur P aequivalet quatuor minoribus quam in PN, bis sumpta . Quoniam vero ΡΛ, Baequivalet a PE, duabus minoribus quam M P aequivale. hi minor quam apo igitur quum potentiae conspirantes sint, duae potentiae minores quam ΡΟ, Ρ debebunt non solum aequivalere, sed esse aequales Κ sed 'O RE: ergo potentia minor ΣΡ E seu C aequabit quae suppo- sua ei maior G. Quod est absurdum . Eodem dii cursu probabo potentiam aequivalentem duabus F, G non esse minorem ergo erit aequalis Sohollium. Non lotago analyseos Circuitu theorema hoc demonstratur. Sit 'R b, E c, aequivalens dua
seriebus , Ir,ir, r, .r c. 'ae in infinitum p r,ir, r r C. usque in infinitum habent pro aequi pollente eam , quae exprimitur per diametrum Parallelogram mi, aut rhombi, cujus ipsa sunt latera.
232쪽
Huiusce theorematis demonstratio continetur in superiore Nam si et B sit angulus rectus, potentiae aequales P . a atqui valent a T. Facta divisione angulorum Raa , B UEnascuntur duae potentiae terminatae ad eamdem B, quae iaciunt angulum quibus est aequivalens a P E. Similiter si novi anguli dividantur, orientur potentiae aequales, quibus et ΡΕ equivalebit sed in ista clivisione potentiae nascentes succeisive angulos facient, qui in prima serie continentur: ergo potentiae hos angulos facientes terminatae ad eamdem ΑΒ habent semper pro aequivalente a PE: sed a P aequalis est diametro parallelogrammi , seu rhombi, cuius ipsae sunt latera ergo duabus potentiis aequalibus facientibus angulos primae seriei aequivalet potentia κpressa per diametrum parallelogrammi cujus ipsae funt latera Si primum assumas potentias duas facientes angulum mctis , idem demonstrabis de potentiis Concurrentibus in anginti secundae seriei. Theorema quartum. Sint duo potentiarum aequalium pa
nata ad eamdem lineam AB; utriusque autem paris aequi pollens sit ΡΕ, a qua bifariam earum angulus dividitur si amguli PF, Ρ contineantur in alterutra ex serie bus the rematis superioris, jo, divis hisce angulis bifariam, potemtiis vi , ' aequivalere assa Demonseratio . roducantur F, G in M, , donec PM, N aequent x, B. Jungantur AM, BN QP Η, Pa producantur in ab his M, B bifariam.
normaliter dividentur Agantur O , MN, quae erunt Parallelae Aa aequaliter secabuntur a P E prodi et in S. Quum anguli ara , Bam in seriebus superioribus contineantur, potentiis duabus A , M aequivalet a P O item
potentiis B, P aequivalet Ρ igitur potentiis a PO,a Ρὰ aequivalent quatuor A, B, M, N, sed primis
duabus ex hypothes aequivalet ΡΕ, duabus reliquis aequivalet a PS, quia quum supponamus potentiis F, G aequivalere aΡΕ, necesse est , ut duabus M, N proportionali. ter aequivaleat a PS: igitur potentiis ΡΟ, ara sunt atquivalentes aΡΕ, Ρ S, sive potentiis O , 4 aequivalent Pi quarum utpote conspirantium summa capienda est c
233쪽
atqui, quando Umbifariam in R divisa est. ΡΕ- ΡS-2PR: ergo duabus potentiis aequalibus O, aequivalet a P R: igitur proportionaliter duabus potentiis H, P aequivaleta PE . . D. Scholium. Supposui angulos PM, BN contineri in
alterutra ex seriebus superio iis propositionis ea nimirum de caussa, ut liceret deduceres, duabus potentiis A aequivalere ΣΡ Ο PB, P aequivalete F . Caeteriam dum. modo haec aequivalentia subsistat , non deficiet vis demonstra. tionis, tametsi diversi sint anguli PM, PN. Theorema quintiιm . Si non iminus poteritiae Η, Κ,
quam potentiae F, G aequi polleant a UE anguli PF, ΚΡ in praedictis serie bus contineantur , ductis A , B, quae faciant angulos AP Η, ΒΡ aequales ΗΡF, PG, a j potentiis aequivalere eamdem P E. Dθmoni ratio . Fiat eadem praeparatio, quae facta est in
antecedente. Quoniam anguli PF, FG in superioribus seriebus continentur, etiam eorum dupli PF, FG in iisdem feriebus includentur: ergo potentiae A , M aequivalentem habebunt Ρο similiter B, N aequivalentem habebunta PQ igitur additis aequivalentibus quatuor A, B. M. P aequivalent a PO. Ρ atqui quum PF ponantur aequivalere a PE, M, N aequiva labunt a PS ouum PH. P aequivaleant ΡΕ, etiam O, aequivalebunt aΡR: ergo PB, PS aequivalent 4 FR, atqui quando Us est diuisa bifariam in M, est in a 'Sci ergo A , B, PS aequivalent a ri , ΣΡS, detractis viro. bique a PS, quae certe equi Valentes sunt, duae PM, B aequi- valebunt a P E. E. D. Soholium . Si potentiis M. M aequi valeat a RO potentiis P, N aequivaleat a P , vis demonstrationis integra manet, licet anguli ara , Bam superioaescieries non con .
tentia aequivalens exprimitur Per Uplam perpendu ularem cadentem in basim , quotiescumque anguluS, quem eis iunt componi polliit vel per additionem , Vel per deductionem ex angulis unius e serie bus antea positis Demonstratio in superiori bas propositionibus Continetur. Nam 1nt potentiae aequales A fici in te angulum in Ie-
234쪽
OpuscULA ctum , aut aequalem quatuor tertiis partibus recti, qui a normali in dilidatur bifariam , tum anguli A TE RUE bifariam
dividantur, tum novi anguli omnes iterum dividantur bifariam , atque ita in infinitum , omnia potentiarum paria habebunt pro aequi pollente aΡE. Similiter si anguli iterentur, tum novi dividantur bifariam , atque iterentur , atque ita dein-Ceps , obtinebimus semper potentiarum aequalium pari , quibus eadem erit aequi pollens aΡΕ. Atqui ista omnia potentiarum paria Coibunt in angulum , qui aut Continebitur in altera e duabus ei iebus , aut efformabitur additis subductisque ferierum angulis igitur potentiae duae aequales , quae Concurrant in angulum , qui per additionem , aut subtractionem formetur X angulis alterutrius seriei, habent pro aequi pollente eam , quae exprimitur a duplici perpendiculari in earum basim
Cadentes. Q. E. D. Lemma. Qui Cumque angulus Constitui potest medit inter duos angulos, qui efformentur ab angulo resto, vel ab
ejus partibus decrescentibus in ratione subdupla, ita ut disse. rentia cosmuum dimidii horum angulorum, dati dimidii, qui medius est , minor sit quacumque data. Idem essicere possum adhibendo angulum aequantem quatuor tertias partes unius recti , ejusque partes decrescentes in ratione subdupla Lemma hoc passim ab aliis demonstratum invenies,
jamdiu cognitum est Theorema fptimum . Duae potentiae aequales P O , CF ' , quicumque sit angulus ara , habent pro aequivalentea PR, quae aequaliter is ad angulos re nos altitur OG . Demo, pratio. Si aequivalens duabus D, P non est aequalis a UIR , sit vel major, vel minor quantitate a M. Constituatur angulus ΟΡ inter duos Aa B, ΡN, qui praediti
sint conditionibus κpositis in superiore lemmate, ita ut differentia cosinuum angulorum A UR, O Uri, item O RR Missi sit minora sumpta D pro sinu toto Centro Uintervallo G describantur arcus circuli AM, BN secantes lineas ductas in pune tis Iungantur RI , , , quae productam insecent in , s . Si dicas aequivalentem duabus potentiis O, PQ superare aΡ per Κ, adverte aequivalentem duarum P aequare a Z , 10 a 'R a lx , sed ri minor est quam K ergo aequivalens potentiarum O malorerit aequivalente duabus N: quod est contra axioma
235쪽
OpUsCULA octavum. Si velis aequivalentem duabus Po, a deficerea ΣΡ R. per Κ, adverte aequivalentem duabus ΡΛ, Ρ esse IiΡE, sive a P R dempta a RE: sed . minor est, quam rergo aequivalens duabus O PQ minor erit, quam sequivalens duabus A, B, quod eidem axiomati Opponitur. Igitur potentiarum aqualium O, aequivalens 1 a PR.
Coroliarium . Potentia aequales itaque Pa a G Ffg .Qquemcumque angulum a Ciant , habent pro aequi valente ait, quae cadet normaliter in F G . Quod si claudas parallelogitam. mum is rhombum ΡGC ducas diametrum C haec quando aequalis est a 'E, exprimet aequivalentem Potentiarum
Theorema odit avum . qui Valens duabus potentiis concurrentibus in angulo recto aequalis et diametro reCianguli , cujus ipsae sunt latera, quaecumque sit aequi Valentis directio
D moni ratio. otentiae applicatae puncto Fig. 6. ad angulos rectos stat A , B. Claudatur rectangulum ACB, ductaque diagonali P sint ei perpendiculares AD, B E. Notum 1 ri esse tertiam proportionalem post UC , A WΡ tertiam proportionalem post C, B. His posuis sit PK aequivalens duabus M, B , quaecunque sit ejus directio ajo K aequare Si enim non aequat, erit vel major , vel minor . Sit primo maior. Fiat ut Κ: A D; itemPAE 'B erunt UR, VI minores E , quando a major supponitur quam C. Tum ducta MN per
riae ergo cat qui valet duabus F, I Quum autem tresistat potentiae sint conspirantes , debet PK aequare UF--PI: atqui et est minor m seu diametro ergo minor PC quod est absurdum, quum supposita fuerit major. Eodem ratiocinio probabo P non esse mino. rem C igitur erit aequalis. E. D. Soholium . nalysis rem perficit nullo negotio. Sit enun
236쪽
Theorema nonum . AEquiValens duarum potentiarum , quae Conc irrant ad angulum redi um , quaeque Xptimantur per latera reota 11guli , non solum quantitate aequat rectanguli diametrum , sed etiam positione cum eadem coincidit. Demon Iratio. Sinai duae potentiae F0. A, B rectum angulum efficientes claudatur rectangulum : j , aequivalentem se Si non , aequivalens sit Κ, quae e superiore debet aequare C. Addantur duae potentiae D, B aequales priori bi sed prima contraria A , secunda conspirans cum B. Clauso parallelogram an agatur diameter E. Si duarum potentiarum aequi Valens est duarum PD, B aequivalens erit PH faciens angulum ΗΡνα ΚΡB. Erit autem V ΡΗ, quia aequant diametros rectangulorum sequalium . uncta ΚΗ producatur B in F. Potentiae A
sunt aequales, contrariae ergo assi a qui valeta D, FH, sed istis aequivalet a PF: ergo a P aequivalet ΡF quae quum sint in eadem directione aequales erunt ergo P PF quod est absurdum nam quum Κα PC, est major B. Sidiceres aequivalentes H, P secare angulos AIC, DPE, idem absurdum oriretur , deberet enim a si minora igitur aequivalentes aliae esse non possunt, quam C. E. Q. E D. Theorema decim iam . DuarUm potentiarum qig. in
quo C Umque angulo Concurrentium aequi Valens Xprimitur a diametro parallelogrammi , cujus ipsae uni latera Dpmonstratio. Potentiae duae sint A , PB. Claudatur parallelogram murri, diameter Ussiciet potentiam eisdem eoui. pollentem . DUCantur normales diametro D, Ε - PN,
parallel: A M am . Potentiae I ex superiore atqui valenta M ΡD potentio P aequivalent PN, E ergo potentiis A, PB aequivalent quatuor PM, N, D, E sed primae ex his aequales sunt Contrariaeci ergo potentiis V, B aequivalent sed UE ergo potentiis A PB aequivalet E. D. Scholium. Si AD Fig. 9. caderet X tra parallelogram'
239쪽
rnum , potentia D praedita esset dire stione Contraria , ac propterea deducenda esset ex 'E. Facta autem dedustione reliqua esset, ut supra , diameter
E paucis quibusdam principiis habes legem aequivalentiae
potentiarum ita geometri Ce de monitiatam , ut hae mutari non
pol sit, quin principia possit deficiant, Corruant quod si
adcideret, nullus in natura ordo , sed magini esset perturbatio Naamobrem nihil li aesitan pronuncio , non Ontingentem esse , 1ed necessariam legem , quae docet, potentiam expressana per diametrum parallelogrammi aequivalere iis , quae exprimuntur per latera . Immo quidquid e lege hac eo metrica methodo deducitur, aequo jure necessarium Pronunciabo
Si alias quoque leges nechanicas liceret mihi simili demonstracione munire , sublata esset omnis Controversia, eas uenecessarias esse sciremus. Sed deficiente demonistratione, reSadhuc in tabitatione versat Ur . t tamen quando inventum est,
unam e his arctissime Conjungi cum principiis certissimis, quae vera sunt necessari, Vero simile videtur , alias quoque a 11 milibus principiis dependere. At Connexionem his legum mechanicarum Cum principiis summa videntia praeditis, nemo u rquam vidit Non inficior sed hoc imitasse mentis humanae imbecillitati est tribuendum. Le aequi pollentiae potentiai Ulla sine dubio conjuncta erat cum principiis Certissimis tam etiatio ante Bernoallium nemo intellexerit. Accedit , quod lex equi valentiae potentiarum ita late pater , ut nulla sit meChanicae pars , quae ejus auκilio non egeat. Praeterea te hae e aliis legibus clarissurae demonstratur quod maestitit uterus Vir doctissimus , qui eamdem deduxit ex legibus motuum productorum a potentiis Continuo applicatis. Momenta hujusmodi me ad uiam partem aliqua tum imo Hllunt . Verumtamen illud repeto, si excipias legem aequi pol lentiae potentiarum , dubitandum esse , utrum aliae sint necessariae ne ne . Si opinio illa, quam cogente te ingratis protuli, cum falsiitate Coniuncta est , non magis mihi molestum essecebet , Quam tibi , qui eam repetiti ad satietatem interrogationibus postulasti. Quare rogo te etiam , atque etiam , ut ea
solum , quae Cio , in posterum a me exigas . Vale. Idibus Decembris 1 39.
240쪽
VINCENTI RICCATI SOC IESU. EPISTOLAE MESQuibus utilitas calculi inuum, Uinuum in inf- nitefmorum anais demonstratur
VINCENTIUM RICCATUM VIRGILIO CAVINAE
GAudeo sanes, perutiles tibi videri sermulas spe fiantes
ad sinus , Cosmus arcuum , aut analogorum logarithmoriam ductorum in numerum n , quas exhibui
Tom. r. OpusC. . parte secunda, earumque demonstrationes tibi plurimum placuisse. Quare quum n est numerus rationalis vel integer vel radius, vel positivus vel negativus, nihil habes, quod desideres. At demonstrationem a me requiris , si sit numerus irrationalis, quam scripsi exhiberi posse per calculum infinite si malem morem tibi gero , sed vereor, ut postquam legeris, minoris ducas. Praemitto hoc lemma Vocato sinu toto arcu aut
Jogarithmo analogo Valet aequatio Im d p , quae eodem modo vera est cum in arcubus tum in logarithmis , cum in sinibus , cosinibus circularibus tum in hyperbolicis Demonstratur autem inspectis figuris hoc modo.
sumptis disserentiis depra Ch. φ .d Sh. φ Ih. φ .dCh. pQ. E. D. In circulo autem sector C AFra triang. CDF semiseg. ADF, sive IS I e . d C e. p. Apponitur signum , quia crescente se flore decrescit cosinus ejusque differentia est negativa ergo sumptis differentiis