Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

41쪽

OpUsCULA . a Tmentum sphaerae circumscriptae sit m p;pAq, erit momentum sphaeroidis circa aequatoris diametrum revolutae pay A'. Momentum sphaeroidis oblongae, ad inscriptam sphaeram

accedentis quam prOXime QCirCa minorem Xem reVolutae, eodem modo invenietur m p pa' A duetis enim totidem planis minori X normalibus , momenta sectionum singularum adeoque etiam momenta sphaeroidis totius sphaerae inscriptae inter se erunt ut 'a' a' χ' a'. Quod si oblonga 1imul, oblata sit sphaerois sit phaeroidis semiaxis minor major, A, tertius semiaxis erit momentum totius sphaeroidis ad momentum sphaeroidis Oblatae, semia. xibus Q inscriptae, circa eumdem minorem axem revolutae ut ' Β' Β' - Α' Β' cum momentum sphaeroidis ipsius oblatae pBΤa, erit momentum sphaeroidis totius BA'a posito quod in distantia B ab axe motus vis acceleratri sit, C. Quod si denique vis acceleratri in distantia A ab ipso X unitate exprimatur , quaesitum totius sphaeroidis momentum Vade αἱ pB'Aa. Ut inveniantur etiam momenta attra stricium virium in sphaeroidem aliquam agentium , sit locus attrahentis Planetae S Fig. s. L particula quaevis lanetae attracti , T centrum,

vis quae in dire stione redis ST parallela impendetur

, ducta scilicet e L in ST perpendiculari F. Si M

prae I satis parva censori possit, recta L proXime aequalis erit recitae ST AEM, negligi poterunt altiores rectae LM potestates, atque ii duarum virium differentia , sive vis absoluta , qua punctum L a plano Q distrahetur T

omnis perturbatrix ' LM

42쪽

Opus CULA Sit insuper P axis minor sphaeroidis alicuius, PB, sectio per axem minorem transiens, Planum uirect a Sa ad perpendiculum insistit, Κ se 'tio quaelibet axi P, perpendicularis. Si in sectione fac ipsa accipiantur duae

quaelibet particulae , , ut sit LXITIN, erit momentum duarum particularum ad sphaeroidem Omnem circa Centrum in contrarias partes rotandam , ' L m . T.

mu . mT, Omentum duarum particularum simul sumptarum ad sphaeroidem rotandam erit et P. LN .mM--Ρ. MN.

xime accedat, ita ut momentum parti Culatum in I, 5 i pro-Xime id 'm Censeri possit elementum momenti Circularis annuli ab bitur momentum parti Cularum singular Um per earumdem numerum multiplicando, sive multiplicando amnΡLX'-- TX per elementum circularis peripheriae. Et vero summa omnium L X ex inubus rectis in integro semicirculo confectorum Ni Α, si radius ad peripheriam se habeatiat summa totidem mi , sive productum quadrati Tm in semiperiphetiam circuli est p. X i. TX . Eiitig tu momentum particularum omnium L, i per totum Cir- Cularem annulum extra sphaeram sphaeroidi inscriptam duposita sum quam proXime, a nam ' i TA ,

Ni, i A ' evadet momentum annuli circularis

43쪽

Opus cULA . 29 P af a in a=J sphaeroidis totius momentum Quod si proponatur sphaerois oblonga, sit HAE sectio elliptica axi p perpendicularis in loco , sit ellipsis semiaxis major Eo minor O, qui cum re-O Dd. plano essiciat angulum OD ac sit insuper differentia semiaxium erit e conicis II ini R O-

roidem in nem volvendam aequales erunt. Unde Cum etiam numeru particularum in HL, L idem sit, momentum earumdem p irticularum, sive elementum momenti annuli elliptici , quo sectio sphaeroidis sectionem sphaerae inscriptae sup

etae in elementum peripheriae circularis cum sit Di - , , neglecto ambiguo termino

LLES m. qui in duobus quadrantibus Dio, di O

44쪽

mentum v na S'. Quod si oblata simul, oblonga st sphaerois, scissi cetsi meridianum 11 mul, aequatorem , sectionemque alteram per polos factam is meridiani plano normalem habeat elli. plicam sit sphaeroidis semiaxis minor major, a 'a --φ' a tertius duobus prioribus normalis α - φ' , sphaerois accedat proXime ad sphaeram, erit momentum Omnera m VP 'i' ' .apa . Duetis enim planis quibuslibet axi minori perpendicularibus, extra Circulum in sphaera inscripta sectum, circularis, ellipticus annulus supererunt, quorum momenta, ob sphaerae, sphaeroidis totius affinitatem, eodem naodo supputari poterunt, ac singillatim in oblata , oblonga sphaeroide supputarentur. Atque hae Cum formulis a l. lembertio traditis . sa. 36O. de mundi systemate omnino congruunt. Est enim 'et 21 - zzl-- lcos . aDOR. Quod si qui attrahitur Planeta majorem semper eridianum lanetae attrahenti Obvertat, qui esset Casus Lun oblongae respeetu Terrae, fiat momentum sphaeroidis oblongae sequale erit momento oblatae alterius sphaeroidis iisdem axibus descriptae . Si vero aspestus omnes Planetae attracti , attrahentisque sibi invicem succedant, qui esset casus Lunae ipsius respectu Solis, pro S substituatur valor medius , momentum medium sphaeroidis oblongae momento Oblatae sphaeroidis dimidium erit.

45쪽

SI planum aliquod ZΗz Fig. 8. quod binis viribuq

ita urgeatur, ut earum una CirCa Xem Z 2, altera circa

axem alterum H seorsim rotari possit Sint angulares celeritates rotationum Circa axes ipsos ,- , atque e puncto quocumque, ducantur L M N Xibus perpendicula. res. Erit absoluta velocitas uneti, circa axem ZAαM L. C, velocitas circa his M. Tum si in sectoribus oppositis Z TH, T duarum velocitatum direct iones Contrariae habeantur, quo in loco velocitates duae se mutuo destruent, erit, L . Gi sive Mi quae ratio Met M N cum in tota recta a m sit constans , manifestum est binis viribus simul impressis, in recta aliqua linea destrui motus omnes, eamque ab agibus et , Hla rotationumdati uiri declinare angulis TZ, TH quorum simus re- Cippoce proponionales in t aia gularibus Velocitatibus singillati is circa axes ipsos conceptis . Cilicet si in recta P capiatu recta TX, quae se hibeat ad TH ut C r, ungaturque HX, ipsique per punctum T , in quo in axes Hl , s se iii tersecant , ducatur parallela Tm velocitates in re t huju riodi Te destruent: erit in im I et H in. THX: in I X Hs . TH: m. M TZ MN ML Modo accipiatur in eodem plano punctum aliud quodcumque ad ducantur perpendicula RO RA. G , D, B, ad N perpendi Culum aliud RV . iitra velocitas rotationis puncti R Circa axem Hli, veloi ita circa Z erit AER UR

tia , aut summa duarum velocitatum erit E RJ Est vero ob triangulorum similitudinem RΡα - ,

46쪽

tos angulos TZ, M TZ Composita omnis velocitas proportionalis erit distantiae a rectam, Sit denique punctum aliud quodcumque F extra ipsum planum , quod pariter ita impellatur, ut i una circa axem Ys, altera circa li singillatim impressa rotari possit. Sit F perpendicularis ex eodem puncto demissa in planum, FA, O p rpendiculares aliae ductae ad m, h, sit insuper fis circularis arcus, quem punctum ipsum, rotatione circa Hii concepta , mgillatim describere inciperet. Velocitas puncti F secundum D tangentem arcus f resolvi poterit in duas alias secundum R, FE cum tota velocitas circa I distantia F exprimatur , erit velocitas secundum RO , eadem scilicet qua punctum

circa idem centrum O revolUeretur Uel OCitas vero secundum

F erit, R directionemque habebit parallelam rectae R O. Pari ratione velocitas putasti circa axem a Fig. 8. in duas alias resolvetur, quarum una R. aequabit velocitatem punctio circa axem Zs, altera vero erit R. C, directio- D emique habebit parallelam rectae R. Iam vero velocitates binae D, B R C puncti R circa axes binos 4 com

ponunt velocitatem P.RA, punctum ipsum circa

aκem tertium, m moveri pergit. Binae igitur velocitates puncti Dextra planum Hi positi , eodem cum plano ipso angulari motu circa Xes binos Illa Z abrepti , sequi valebunt tribus Velocitatibus, velocitati scilicet composuae puncti R, atque insuper duabus aliis FR, R. C, quarum directiones parallelae sint rectis O, R. Erunt autem velocitates FR,- R. inter se ut 1 C

Mi At qui , ob angulosa QT ID Trectos, circulus diametro esstriptus transiri per puncta a, O anguli etiam U O, TO eidem chordae O insistentes aequales erunt inter se dustaque adeo rectam ipsi P a parallela, ut sint aequales anguli Q UO, CA, similia erunt triangula PO E A. Sunt enim anguli TPO, PA

47쪽

pi oportionales . Porro velocitates binae secundum D BR quae rectis C, C proportionales , X primantur. que ipsis FR, R. C, velocitatem aliam secundum Rin component, quae erit FR . P . ina igitur puneti velocitates circa axes binos HI, i, a qui valebunt duabus

aliis, quarum una ζά. i R erit plano Hali perpen

dicularis, altera vero P erit rectae in parallela Iam vero , ob angulos Ma rectos, angulus M TN aequalis erit angulo MLN, qui in circulo diametri M eidem chordae, insistit, aequaturque angulo alterno LNG. Itaque limitia erunt triangula rectangula TN,

ob a Fa RA FR, parallelas Fa, A, erit di- restione sua re istae A perpendicularis. Hoc ipso punitium quodcumque F S uni torum systema a Corpus etiam quodcumqce binis viribus ut antea impulsum circa axes et , Hli compositis binis velocitatibus, uno Communi anguli motu Circa agem Tm rotabitur , qui jaceat in plano axium z,Ηh, iisque inde declinet angulis, quoi Um sinus sint reCi pro- C proportionales velocitatibus angularibus, quae is agillatim circa axes plos Conciperent f.

48쪽

Ita cum sit is FG absoluta velocitas puncti F cir-

ca axem m centrum A, ipsam per A dividendo erit lyn I J Velocitas totius compositae rotationis Unde

dici Ui Ti, Velocitates piae angulares Circa axes Mm, Illi Z inter se erunt ut simus angulorum TZ, TZ, MI H. Bini itaque rotationis motus circa axes binos uni Cum Totationis motum Component circa axem tertium , vicissimuni Cus rotationis motus, qui circa axem, fiat, resolvi poterit in duos alios Circa axe H h, i atque erit tota IO-tationis velocitas angularis ad angulares velocitate rotationum

resolutarum ut simus anguli TZ duorum axium ad simus angulorum M TZ, TH, quibus axes ipsi inclinantur Cum prior axe M in . Si angulus TZ, quo in axe Hlet, a se intersecant in puncto T , sit rectus , etiam angulus L MIectu erit, rati, si erit tangens anguli N: in hoc scilicet anguli recti casu tangens deviationis axium Hli erit quarta proportionalis ad I simum totum. Compositio igitur,. resolutio motuum non in liberis

motibus dumtaxat, verurn etiam in motibus rotationis locum habet scilicet bini rotationis motus simul impressi in rotationem unicam consurgunt, sicuti binae vires binis lateribus parallelogrammi alicujus expressae tertiam vim componunt, quae expi imitur diagonali sicuti ex viribus quotcumque unica semper Consul git ita si plures rotationis motus imprimantur Cir Ca idem Centrum , unica semper rotatio ex omnibus habebitur. rimam hujus theorematis demonstrationem dedimus in Dissertatione de raecessiones Equinoctio tum, quae anno PsyLuccae edita e 1 demonstratione ipsa praeoccupavimus diffficultatem omnem, quae posset hacce in re suboririci nimirum Cum binis motibus, corpori impressis elisisque iis portionibus Velocitatum , quae opponuntur sibi invicem , velocitas in particu lj singulis residua sit proportionalis diliantiae a OV a Xe, direstione sua rectae ad axem ductae perpendicula risu patet sine ulla dis gregatione partiui totius Corporis solutione binos rotationis motus simul componi. Novam aliam atque

49쪽

OpuscULA . selegantem ipsius theorematis demonstrationem exhibuit Clariss.

Eques Moggius in aureo opusculo de momentanea Corporum rotatione. Otationum Compositarum theoriam modo exornavimus, ac mo Videbimus quam inde facilis solutio pateat pulcherrimorum praecessionis, nutationisque terrestris, lunaris axis problematum. ULDe motu nodorum aquatoris Terrae , si Lunae. Positis omnibus ut in priore parte . IV. si oblata sphaerois revolvatur circa minorem Xem, minimo quocumque tempore di sit angularis motus s adeoque sit Ad sarcus a puncto quolibet aequatoris descriptus eodem tempore circa axem, velocitas rotationis in aequatore, & vis acceleratri evadet totum rotationis momentum D a. Tum si eadem sphaerois circa diametrum aequatoris ali.

quam inclinetur juxta secundam partem f. IV. momentum

virium perturbatricium sit m nri sphaeroi

dis, sphaerae assinitatem erunt duo momenta inter se ut angulares velocitates circa axem, Circa aequatoris diametrum conceptae. Itaque axis compositae rotationis juxta g. ., ab axe prioris rotationis deviabit angulo , cujus tangens erit

inde erit 1 intelligamus solis viribus perturbatricibus circa diametrum aequatoris inclinari posse sphaeroidem vim ac- Celeratricem punicti maxime dissiti esse es . Evadet enim momentum sphaeroidis circa diametrum ipsam nutantis pA'a' es quod cum aequari debeat momento virium perturbatricium 4 ri eruetur c um mn Psipa quam Proxime, velocitas rotationis conceptae fiet ri 2 a . it:

50쪽

36 opuscuta. axem, tangens deviationis axis totius compositae rotationis

Sit modo sequator Planetae aliculus sphaeroidici, circa polos compressi An Fig. 11.) QNC planum orbitae Planetae alterius attrahentis , n linea nodorum , T r amgulus tempore t circa centrum descriptus, accipiaturque Λ, ut velocitas diurni motus ad velocitatem rotationis, quae circa diametrum et ob vires perturbatrices Conciperetur , sive, manentibus omnibus, quae supra , ut ruis: it'. Completo rectangulo Aoni, per puneta A, tradusto plano, erit 'Amn nova aequatoris positio ', 'nodi poli tempus datum , demissisque ex N perpendicularibus a,N , Q in planum 'A, in lineam sygigiarum AB, atque ex A ducta , nodorum lineae perpendiculari , erit Ar: ni NN , G:NN , sive erit N - sy' Rursus erit N NN si, sit mus

anguli , quem aequator cum plano Orbitae Planetae attrahentis emcit. Itaque er1 arcu NN Cum

arcu mr, N ad oppositas parte jaceant, acebunt etiam ad oppositas partes arcus Αν , N', nodi Non regredientur in plano orbitae Planetae eritque angularis ipsa regressio

Est vero m sinus, cosinus anguli, quo Planetarit. trahens declinat ab aequatore, atque in triangulo sphaerico rectangulo ANC est tangens -- anguli ANC, quem planun aequatoris cum plano orbitae Planetae attrahentis effi- Cit, ad tangentem - arcus C declinationis ipsius Planetae ab aequatore, ut sinus totus ad sinum arcus AN, sive ut A AG.

Itaque erit AG es Rursus eodem triangulo est sinus anguli ANC ad sinum totum ut sinus arcus A ad CH sinum arcus N. Itaque erit m P-- , man-