장음표시 사용
481쪽
pendice habebuia differentias, quae coalescunt in seriem recurrentem ejusdem gradus. Si ea aequatio, quam resolvi oportet ad inveniendum terminum generalem seriei recurrentis, habeat unam radicem aequalem unitati , differentiae primae Constituunt seriem recurrentem gradus inferioris. Quod si non tantum una , sed duple unitas sit radi aequationis illius, non solum disserentiae primae coalescent in seriem uno gradu in seriorem . sed etiam differentiae se undae constituent seriem duobus gradibus inferiorem . Ratio per se se est evidens . Nam si unitas est duplex radi aequationis resolvendae pro serie data , relinquitur unitas tamquam radix aequationis resolvendae ad inveniendum terminum generalem seriei primarum differentiarum ergo haec habebit
differentias primas , quae erunt differentiae se Ciandae seriei datae Componente seriem reCurrentem Uno gradu minorem serie
primarum disserentiarum ergo series se Cundarum differentiarum erit duobus gradibus in1erior serie data . ariter si in eadem aequatione tres radices aequales sint unitati, differentiae tertiae coalescent in seriem recurrentem tribus gradibus inseriorem serie data , atque ita deinceps. Verumtamen generatim series recurrentes habent differentias primas, quae coalesCunt in seriem recurrentem ejusdem gradus . Sit serie re Currens f., g C. Series
primarum differentiarum erit a-b, b - , --d, -e,e-s,f-gS C. Sit primo series recurrens primi gradus, t sic multiplicator termini ante Cedentis. Fiet ta, crat b, dito C. In secundo termino seriei differentiarum substitue valores , inVenies ra--t b, quae quantitas est primus terminus ductus in . Similiter tertius sublii tutis valoribus fit tb - te, qui terminus Oritur e seCUndo termino multiplicato per l, atque ita dein Ceps ergo etiam series differentiarum est series recurrens gradus primi Sit deinde series recurrens gradus alterius, inuantitates, quae debent multiplicare terminos antecedentes sint , facto initio ab ultimo. Habebimus id si si e C. In tertio termino Prinnarum differentiarum pro cod substitue valores supra positos fiet 4 -- La
quae quantitas exurgit, si secundus term ignis ducatur in . primus in s. Similiter si in quarto pro valo: es substi-
482쪽
opus ULA tuas, reperies e s b, qui habetur multiplicato tertio ter-
m in per l, secundo pero, atque ita de reliquis. Igitur compertum est, seriem differentiarum esse recurrentem ejusdem gradus secundi. Idem dicas velim de serie recurrente tertii gradus nam positis multiplicatoribus , , , habemus diis c si ra, ea id so--rbisc. In quarto differentiarum termino colloca valores , resultabit me F b quae quan--ὰ - blita nascitur, si ducas tertium terminum in , secundum in , primum inis atque ita deinceps. Quae quum ita sint progressus fatis superque manifestat, seriem recurrentem habere Uifferentias, quae Pariter componunt seriem recurrentem ejus dem graduS. VIN-
483쪽
VINCENTI RICCATI SOC IESU. D corpore pro secto, cui proaeter potentiam frυantem
rationem reciFrocam sissipatam dii antiartim a con tro, a sicatae uni alio potenrio duo , quartimetina dirigitur ad idem centrum, uera
e, huic perpendicularis. EGREGIO MEO ME TRAE CLA IRA UT
Non multos ante dies accepi transmissum Parma libet
tum tuum , in quo tu, Virio 'tissime, dissicilem ab ditamque Lunae theoriam perficere contendis. Nihil mihi hoc munere Carius Xtitit, pro quo etiam atque etiam gratias tibi ago maximas Statim C absolvi epistolam geometricam , in qua tum eram occupatus, libellum tuum incepi legere ea animi Voluptate, qua reliqua tua opera semper legi, a quibus plurimum me didicisse profiteor. Quod hactenus legi, ostendit summum perfectumque geometram, quem scientia, artificium, industria vel maxime commendat. Uteris ea methodo , quam primus omnium in aliis perquisitionibus mechanicis usurpasti, quamque deinceps amplificavit doctissimus Allembertus in sua Dynamica. Quandoquidem in hujusmodi quaestionum genere alia methodo uti consuesco quam pluribus verbis κplicavi in opusculo edito in quarto tomo Academiae Bononiensis, cujus novum specimen exhibeo in tomo quinto , qui modo imprimitur , solvens proble. ma non expers dissicultatis in mentem mihi venit, inter
meam tuamque methodum nitituere non injucundam compa. rationem , per quam cognoVi, utramque ad eadem omnino consectaria perducere . Ut autem tibi fidem a Ciam, me opus tuum legere perattente , statui, ad te mittere comparationem
institutam quod tibi non injucundum bre confido. uamethodo aggredere ipse quaestionem a te propositam , paucis
484쪽
citate ipsique applicentur potentiae duae, prima quae tendata di cum F, altera it primae perpendicularis quaeritur aequatioc Vae AD a mobile descriptae. Ducantur AB, B, prima normalis, secunda parallela directioni C. Vocetur b, AB, P, B P. Agatur quaecumque ordinata D F, cum qua infinite simum angulum faciat d. otentia, quae dirigitur ad focum D sitim, , quae huic est perpendi Cularis sit D; a Notetur punctum , ubi D secat d. Quum D m sit angulus rectus , minima recta dis erit diffe-yentia D atque adeo aedF vocetur m dx Normali Scurvae sit G , cui ex punctis ducantur perpendiculares FG, III, O . Sit Gi FGip. Radius osculi
Vocetur oppono is, ino alias demonstravi, nimirum
Curvae arcum Dd. Vocat velocitate in , principium, quod ego principium adtionum nominare soleo , mihi sussicit aequationem primam I. - -- g dira uesti. Ad inveniendam secundam , quae innititur in proprietate vis centrifugae , animadverte , esse
Ex his orietur secunda aequatis Substitue valorem ut habeas am . Arceantur ν ,
Ad quationes istae duae, a quibus solutionis facio principium , vel maXime disserunt ab illis duabus , ad quas tua te methodus ducit. Nihilo tamen minus alia ab aliis non dissicili calculo deducuntur quod ita ostendo . Voco elementum temporis zz di notum est , ore i acceptisque differentiis , sumpto tamquam Constant di, quae tua suppositio est, erit dura: - . Si in meis aequationibus valores hosce substituas, invenies aequationes duas.
485쪽
mussim convenit Cum lima e tuis aequationibus. Si multiplices primam e meis aequationibus per , secundam per dx, in alteram ab altera deducas , invenies fles. re seu fiestas', '--r db iisddi. Divide per υ substitue valoiem ρ, ut obtineas des
quae eadem est Cum secunda aequatione tua . Quoniam formullae alia ab aliis tam clare deducuntur, perspiCUum est, tramque methodum tutissimam esse, ut iusque si incipia apprime Cum veritate Convenire Verum tuis formulis non indigeo , quum e meis mensuram velocitatis temporis determinem , curvae aequationem inveniam . Ob oculos mihi pono duas meas aequati OD s, antequim ejecta fuerit specie u ponens in secunda Pr j I ejus valorem dκ-m uiati, ciem prima su 'Pe-
486쪽
g d - - . mu mu'Ἀρ, atqui ergo gydsm mu'dρ- mqudu, facta multiplicatione per g qFd Stata mu'qdq--mqyudu, integrando a Si qFdsmu' - - V Summatoria ita accepta est, ut evanescat in puncto projectionis Ultima aequatio praebet. Hinc
cohaeret, quam tu, Vir doctissime, in secundi problematis principio per methodum artificiorum plenissimam deduxisti. Ut ad curvae aequationem perveniam, in meam aequatio ne secundam introduc valorem velocitatis, ut oriatur
orietur aequatio id ----πι- τὰ s translatis opportune terminis min
487쪽
tentia in pundio projeetionis, quae servat rationem reciprocam duplicatam distantiarum . Praeterea supponamus, ab a potentia F produci velocitatem projestionis . per spatium L, ut sit , V m a F aequatio novam formam induat
Σ -- . Ad determinandam adaitam constante M opus est advertere fieri si unde erit si h - verum ita oportet accipere summatoriam a V ut in undio projestionis evanescat. Hanc autem summatoriam deinceps vocabimus Itaque habemus
488쪽
426 OPUsCULA. tuto scilicet alore q. Ultima aequatio in hunc modum scri-
Hujus aequationis pars prima exhibet sectionem Conicam, quae describeretur abessent potentiae 44. Hoc tibi clare constabit, si facias m , - α - , e qua
Ultimus hic terminus fiat id λ in
tegretur aequatio υ -- p -- ρι α λ. Quantitas Λ est arcus cuius
489쪽
cuius sinus et m. Facto transitu ad sinus erit Sc. A cp-μ So. λ. Prima pars dat se 'tionem Conicam, secunda correctionem . Si sequimur methodum , quae primum obvium venit, in hun modum solvitur tuum primum problema. Veruntamen video, solutionem hanc, formulam , per quam obtinetur, tum ob sub1titutione , quae adhibitae sunt, tum ob multiplices arcus, quo includit, exiguam illi, quem
tibi proposuisti finem , posse utilitatem afferre. Tu solutio invenienda est, quae multo est utilior, atque elegantior quamobrem novus calculi circuitus tenendus est. Inquiro primum valorem Quoniam ' sumptis differentiis in hypothesi d constantis, proveniet dyta ,'d3dφ'-- ν' dyd pddF-a FAE d igituρ
490쪽
428 OI UsCULA. O. Terminus ultimus fiat ut simplicior aequatio
Posse essicere hanc aequationem integrabilem, eam mul'tiplicando per sed hae praeparatio solutionem illam restitueret , de qua supra loquutus sum. Quapropter eam integrabilem reddo per multiplicationem alicujus funistionis ' Itaque multiplico per lay pro quo substituo in pri