장음표시 사용
501쪽
periore detrahatur Fasta deduetione nova se prodit formula ejusdem gradus , a terminus generalis, atque Cum lio identica sit oportet. Itaque comparatione rite instituta fit coem- cientium determinatio, atque seriei summa detegitur. Hujusce analyseos progressum opportunum erit Xemplo illustrare . Invenienda sit summa generalis serie , cujus supra
mentionem fecimus is cujus terminus generalis ΣΠ - .Finge hujus summam esse . n)B quae formes la caret ultimo termino est uno gradu altior , quam ter minus generalis . In hac pro n scribe novam , quM exoritur , formulam fac deducas ex supposita, ut sit An3-Bn' -- Cn
quae ad determinandos valores coemcientium con. 1erenda est Cum termino generali quae collatio dabit α', ergo summa seriei erit in quemadmodum antea supposita est In hoc progressu e formula summae supposta , si deducatur ea, quae oritur ex substitutione n o pro , semper evanescit primus terminus e contrarietate signorum formula descendit ad eum gradum , in quo situs est seriei terminus generalis. In altero termino licet secundus terminus formulae suppositae Cum suo Coessiciente elidatur; tamen reliquus est secundus terminus binomii n- elati ad pote 1 a-tem affecti coessiciente primi termini formulae suppositae mutato signo . Si autem n fiat infinitus, reliqui termini m. ne respectu huius evanescunt. Quare ad inveniendam sum. mam seriei in infinitum productae, fatis erit terminum hunc, qui residuus est, Comparare cum termino primo termini generalis, determinare coeffcientis valorem Ita in exemplo addui 'o facta deductione evanescit terminus A n); in sequenti termino evanescit it solum
502쪽
38 OPUsCULA. remanet 3 n qua de re coefficiens ne secundo terminoabit. Qui reliquus est nihil est aliud quam secundus
terminus binomii A. - signo mutat . Quare si Conteratur Urn 21 , inveniemus Igitur summa seriei in inlinitum productae erit - ' a', exiliente n infinita. Hae quum ita lint, haec ita sua tu regula ad inveniendam summam seriei in infinitum producta ex dato termino gene rati. Eleva in omium ad potestatem uno gradu alii O- Iem , quam sit potet a termini generalis terminum alterum mutato signo multiplica per in determinata A, Um Om'Para cum termini generalis termino primo, de te imina Valorem A. Hunc multiplica per potestatem n uno gradu altiorem , quam 1 potestas termini generalis invenies quaesitam summam seriei in infinitum produstae His explicatis redeo in viam. Ex tribus methodis , quas supra applicavi arabolae Apollonianae , jo, primam inservire quadrandis omnibus parabolis , quae hac aequatione Continentur ' et x ' , existent m numero integro positivo . Sit Oec arabola A re, cujus abscisa AB Fig. . bordinata Divis AB in infinitas partes aequales, retentisque superioribus denominationibus constat, successivas ordinatas fore
c sis V rectangula , quorum summa adaequat aream paraboli. cam a in erunt
area ABD aequabit quantitatem uelam in sequentem
seriem I, 2 ,3 n Itaque si quis hujusce seriei summam invenerit, aream parabolicam obtinebit Series autem est algebraica ordinis m/' , cujus scilicet differentiae ' constantes sunt, Whabet pro termino generali ' . afta n infinita summam e praecedenti animadversione ita invenies. leva ad potestatem in Ibinomium secundus terminus erit mutato signo
503쪽
-- - un multiplica per A compara cum ni primo , imo unico termino termini generalis, invenies ergo summa seriei in infinitum irodustae fet ergo area parabolica ABD - sed nn X ergo area Aa γα - - - . O . I. Secunda methodus inservit quadrandis omnibus parabolis, quibus est aequatio ' 'χα γ' existent m numero integro,
positivo . tenim abscissa AB non dividatur in
partes aequales se ita QCCE iii PQ rQfc Eoi se . Ut fer Uent inter
se eam rationem, quam termini sequentis ei iei
Itaque re 'angula te A, taee, i 3 eae, i 4e 3 e C. quibus area parabolica ex Uaequationem equivalet, fient succellive aequalia
Qua a de re area parabolica invenitur aequalis quantitatiq. di tectae in summam seriei
504쪽
I, 2. a I, 3. 3 4. - 'cuSeries haec , cujus terminus generalis est mn quamquam primo aspectu videtur esse gradus in C; tamen quia terminus e signorum contrarietate eliditur, est tantum gradus primus terminus ejus termini generalis est . Q . Ut itaque seriei in infinitum producta invenias summam , e superiori animadversione te V ad potestatem binomium ejusque secum dum terminum H Q , in quo gnum mutatum est, multiplica per A confer cum m . primo termino terna in generalis, WinVenies ergo seriei in infinitum produetae summa Q area paraboli-
Nemo unus non videt abscissam x aequalem esse quan titati is ductae in summam seriei
autem seriei sum ma ergo x Lia' . Igitur facta substitutione et area para colica A BD ra x sed ' ergo area A BD α -- xx. Q. E. I. Methodus tertia utilis es ad quadrandas Parabolas omnes, Hyperbolas cujuscumque gradus excepta Hyperbola Apolloniana Harum curvarum omnium sequatio est
in qua ni potest esse quilibet numerus positivus, vel negati-Vus, integer vel fractus. Si m possitivus sit, aequatio est ad arabolas, negativus, aequatio est ad Hyperbolas m I aequatio es ad Hyperbolam Apollonianam . Divisa abscissa a, b in partes minimas aequales , quarum singulae sint Respondentes ordinatae est,
505쪽
ie Α, a taee, i 3 eae, i 4e 3 e C., quorum summae aequalis est area curvilinea fient
are curvilinea aequabit quantitatem ductam in summam seriei ' n cujus terminus generalis m n . Hujus serie summa invenienda est pro hypothesiis in. finitae. Hanc ob rem praemittendum est theorema. Quicumque sit numerus m, dummodo integer, positivus, quantitas semper media est inter duas quantitates
Si m sit positiva, ' semper major est prima e duabus hisce quantitatibus , minor secunda ; si vero, si negativa , minor est prima , major altera. Εκ hoc theoremate constat, omnes terminos serie , cui est terminus generalis, ' , medios esse inter respectivos terminos serierum , quarum termini generales sunt
quod item dicendum est de summis Atqui Constat ex primo capite me Commentarii , seriei, quae habet terminum gene- Ialem summam esse in ' seriem autem , quae praedita est termino generali
506쪽
minus generalis, a , media est inter statutas quantitates
Quae duae quantitates, donec sinita est, sunt semper inaequales. Verum si j crescat in infinitum, aequales fiunt, singulis evadunt a ergo pro hac hypothesi Gn- sinitae, series termini eneralis habet summam istitur area curvilinea BD
sed ρ ρ '. ergo area curvilinea ABD zz sed
ergo area curvilinea Assimis . . E. I. Quod spectat ad Parabolas, haec lassiciunt, neque quid. quam addendum est. Sed aliqua adnotanda sunt de Hyperbo, iis , quae negotium non leve facere possunt . AEquatio Proposita pertinet ad Hyperbolas sit negativa. Si m negativa minor est unitate , nihil mutandum est in calculo omnia rite procedunt sicut in arabolis. Verum s m negativa unitatem superet, multa adnotatione indigent. In hoc Casu mutato signo pectet , ut ex negativa fiat positiva, termini generales uatum serierum, quae inventam mediam tenent, sunt hujusmodi
507쪽
Advertere necesse est , sermulas hasce ita esse inaequales, ut etiam sis infinita evadat, inaequales remaneant, quia termini con1tantes, independentes ab n inaequales sunt , reliquis prae is lis evanescentibus. Qui termini , facta, infinita, actaequalitatem ultra quemcumque limitem accedunt, hi duo sunt , -- qui a Constantibus quantitati-
bus deducuntur . Quare etiam summa seriei , quae media est , quae habet terminum generalem α -- , Coalescet e termi
no constantes, a quo deducendus erit terminus variabilis de pendens ab , qui facta n infinita, Terminus constans, qui Cumque sit, Vocetur et B ergo summa seriei in infinitum productae exprimetur a formula B- . Itaque area hyperbolica ABD Fig. 4. se
habebimus aream BD ---Hae Cvero formula clarissime indicat aream esse iri tuaitam Quod si posita AB, ii velis invenire aream BFG, quae evanescat facta tum per eamdem methoclum determinabis fac la substitutione obtinebis Kk a aream
508쪽
E his apparet, regulam supra traditam ad inveniendam
summam seriei in infinitum productae, quoties m est numerus integer, possitivus, eodem pacto valere, etiamsi m sit negativus is fractus. Nempe accipiendus et secundus terminus binomii elati ad potestatem -- tum mutato signo
multiplicandas Ee compararicliac Ciam primo termino
termini generalis , ut determinetur valor summa seriei erit ji' Quod si contingat, ut summa hae proveniat negativa , tunc praemittenda ei est quantitas constans, ut supra secim US. Superfluum est adnotare, methodum hanc esse omnino inutilem quadrandae Hyperbolae Apollonianae, in qua mutato signo speciei m invenitur Attamen hoc silentio praeterire non possum , quod, si summa seriei in infinitum
productae obtinetur quidem , quantum satis est ad inveniendam Hyperbo hae quadraturam , ut patet ex Calculo , quia non est necesse , definire valorem indeterminatae B per quantitates finitas. Verum si absolute seriei summam quaeras, frustra praesenti methodo uteris numquam enim per quantitates sinitas licebit tibi in determinatae B valorem in Venire, Cui valori summa quaesita aequalis est Hanc autem summam seriei in infinitum produstae, sim invenit primum Ioannes Bernoullius , post Leonardus Euterus, atque longe diversam methodum adhibentes demon, Drarunt eam dependere a circuli quadratura quod idem de monstravit uterus, si m sit numerus par. Verum si imparsit, multo magis si fractus, nondum constat, quo pasto series etiam in infinitum producta colligatur in summam. Sed haec ad rem praesentem minime pertinent.