Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

491쪽

G ci . Quoad constantium determinatio ne ho inter me is te interem, quod ego ad projectionis Punctum statuo arcum o ubi vero tu in problemate tertio ponis arcum e. Verum si hujus discriminis ratio a beatur , omnia exquisite Conveniunt.

. Cc. 6 sussici sectionem conicam , quae describeretur, nisi eXisterent potentiae , g. Si angulus proje 'hionis fuerit rectus, habebitur unde aequati, C c. p. In hoc casu radius vector in puncto projectionis estaXis sectionis, vocatis et u ordinatis orthogonalibus,

492쪽

OpusCULA b interceptis inter secum ac ordinatas, sequatio haec proveniet et x l. L o Ad inveniendum agem etiam in casu , ubi angulus projectionis non estre Cius , sequens methodus asseret utilitatem Determinetur ejusmodi arcus in quo 1 5 C c . : LP a L . Determinetur item ejusmodi quantitas ran, quae essi- Ciat, ut ria S et 2 LP erit etiam n C

a L C. Igitur aequatio hanc formam indue -- , I

lum et: cum radi ve 'tore in puncto projeetionis esse sectionis Conicae κem hujus autem sectionis aequatio erit L

terceptis vero inter focum ordinatas m -- - .Formula correctionis, quam ego inveni, omisso per quod meum Z differt a tuo, ad tuam facile reducitur Perspicuum est , T Sata Si . si ae . S ad Sis

SI c. p. Ωd Sc. p igitur C m. pS, dro φ Sid S C c. φ. Τὰ . pSΩ.dS c si Cc. φ. ST c. 6p. Ωd Sc. cp; sed Cis . p ro. o d ye e 22 'ς ergo CD. S So. Ss d Sc .c et So. φSΩ.d p Cc. -- Cc. pS S c Quod erat demonstrandum Non alia de caussa has nugas tibi, Vir clarissime , scribendas censui, nisi ut plane cognosceres, meam methodum aeque ac tuam ad illas formulas perduceres, quae Constituunt basim ejus ratiocinii , quo perficis Lunae theoriam OpusCu' lum tuum pergam legere,, nullus dubito, quin invensurus sim

495쪽

OpusCULA sim mira, recondita in tuis calculis artificia . Sed persequar

pedetentim, tum quia materies ubique attentionem exposcit maximam, tum quia diuturnis gravibusque aliis occupationibus distineo , quae otium relinquunt fatis exiguum . O maxime velim tibi persuadeas, a me fieri plurimi o te, ingenii tui monumenta . Vale Bononia in Italia Non. imu 76s. V IN

496쪽

VINCENTI RICCATI SOC IESU. D quadratura curvarum tradis per jum1nas Sene

VINCENTIUS ICCATUS

IACOBO MARI s COTTO

Praesidi Bononiensis Academiae

ALiqvot ante annos quum in publicam lucem emisi

Commentarium, in quo novam methodum exhibui accipiendi summas generales serierum , quae summam generalem non respuunt, quaesisti ex me iterum ac saepius, Jacobe ornatissime, utrum earum Curvarum, quae algebraice quadrari possunt, liceret mihi per summam serierum quadraturam determinare. Ad rem meam maxime pertinebat, interrogationem tuam non prorsus Contemnere, quia idem fatisfaciens videbar meae methodi foecunditatem non mediocriter illustrare. Saepenumero nihil est facilius, quam per sum mam serierum quadraturam invenire. Verum in aliis casibus permultis tanta se se offert dissicultas, quae inquirentem quemque posset deterrere. Rem utramque aperiam exemplo facilli mo Parabolae pollonianae. Si Parabola Apolloniana D Fig. 1. , cujus axis sit AF, tangens autem axi normalis sit A B, quaeratur spatium et in Vocato parametro a , Brax BD F, erit aequatio Curvae, ut cuique Constat, ex ma F. DiVidatur abscissa AB in partes infinitesimas aequale Ae eae, ae 3 e,3e 4e C., quarum numerus, qui infinitus erit, vocetur 1ingulae autem vocentur αρ, Patet fore 3 x. Agantur ordinatae ei, eat, e 3 i, e i c., quae analitice Per ita exprimentur - , --, O c. ergo re 'tangulate A, a taee, i 3 eae, i 4e 3 &C exprimentur per hanc

497쪽

. . Horum autem rectangulorum summam adaequat, ut notissimum est, area parabolica ASD i ergo haec area est aequalis quantitati, ductae in summam seriei

1, 4, o Series haec , quae coalescit ex quadratis numerorum naturalium , est algebraica secundi ordinis , quia ejus disterentiae secundae Constantes sunt, habet terminum generalem, P. Quare per methodum in altero Commentarii Capite traditam

rabolica a Di Verum quum in. finita sit, ' n evanes Cunt respectu ' ergo spatium parabolicum BD, atqui ρ π ergo idem spatium

α - sed - igitur area Aa quod verissi. mum esse e aliis methodis constat . Methodus autem his, ut probe vities, dissicultatem habet nullam Uerumtamen res secus se se habebit calculus in cur. re in dissicultatem non levem , si parabolam referamus ad aXem , ut Ocat Fi a. B sit ejus aequatio ax FF. Namque divis AB in partes aequales numero infinitas Ae eae, ae 3 e, e 4e C., Uarum singulae ut sit ηα α tum ductis Ordinatis ei, eat, egi, e id C. , palam et , has exprimi per terminos sequentis seriei Voq, , a Gq, aq 'tuis . Igitur rectangulate A, a taee, i 3 eae, i 4e 3 SC , quo um summa ad aequat aream parabolicam BD, repraesemantur a terminis

igitur area ABD aequalis est quantitati , a multiplicatae per summam seriei a d D, 4---- et . T. H. P. I Iii Hie

498쪽

Hic dissicultas exoritur maxima. Nam series exposta, cujus terminus gelieralis, Un caret, summa generali algebrai-Ca . Quare Videtur, per meam methodum capiendi summas generales serierum non posse hoc modo obtineri quadraturam

spatii parabolici BD.

Ut me liberem ab hac non contemnenda dissicultate, duplicem methodum in usum traduco . Utramque autem XPΟ- nam eodem adhibito exeiriplo Parabola: Apollonianae . Quod spectat ad primam . Qui me jubet dividere abscissam A B V ς. partes aequalesl Ad rem meam satis est , ut dividam in partes ,14 finite simas. Quare eo modo parti bor , Ut respondentes ordinatae ejusmodi valorem induant, qui in terminis seriei κpellat irratiori alia , M sexiem producat praedi tam summa generali.

In vulgari arabola voti Compos iam sumens spatiola infinite sima e eae, ae 3 e, e 4 6 C. , in ratione numerorum imparium ita , ut bo Cato lim sint suCCesii V Is C. Agantur Ordinatae ei, eat, e 3 i, e i ci C. EX natura arabolae ita per analytice exprimen tu das , da ρ, as as C. Quare rectangula te A, taee, i 3 eae, i*e 3 e C., quae adaequat area parabolica Aa in repraesentantur ab hac

area Parabolica Aim invenitur aequalis ductae in sum

Pite alter, summam quaeras, reperies eam esse es 4 , -- n --: n. Haec autem adta n infinita , evanescentibus duobus alii mis terminis fit, 'n'. Itaque spatium parabolicum ABD

499쪽

Verum observandum est, abscisam x in facta hypothesi non aequare ρ, sed aequare summam seri xi 3 q, sq, q&c usque ad te iminum n esimum , quae summa ta 12'q ergopera n q, n'qdq igitur area parabolica erit da e sed γ da : ergo eadem area d F . Quod

erat inveniendum.

Quod si aveas uti ea serie, quae oritur ex divisione abscissat Fig. a. in partes aequales , cujus terminus generalis, , 1 , alia longe diversa adhibenda ei methodus , quae

majorem poscit indulti iam . Etenim series praedita ei mino generali caret summa generali algebrai Ca , ut ex meo Commentario fatis superque Constat . Quapropter dabo operam , ut eamdem seriem , cui est terminus generalis, In constituam mediam inter duas series , quae praeditae sint conditionibus duabus primum ut summam generalem admittant; deinde ut a 'a n infinita , sumptisque te: minis numero infinitis, serierum summae aequales Vadant , licet generatim sint in aquales . Quomodo autem O PraestaI liceat, enitar, ut dilucide X ponam Adverto quantitatem In existente n numero integro, ω possitivo , mediam esse inter duas hasce quantitates

' maiorem scilicet esse prima , minoremauer . Ut hoc Cognoscas alis est , ut duo binomia n - , n potestate in . methodo newtoniana leves. Itaque si tres series efformes, quarum prima habeat terminum ge-L Jneralem secunda habeat terminum ge-

neralem, Um, tertiae terminus generalis sit . . H I - singuli termini secundae se ite medii erunt inter n. gulos aliarum: ergo etiam umma secundae se ite erit media

inter summas aliaTum.

500쪽

rari te per ea, quae docui in primo commen-

tarii capit , est et tertiae vero, cujus terminus genera-

inter duas hasce quantitate in , .n- media est summa seriei, quam gigni terminus generalis inari' litates istae duae inaequales sunt, donec finitus fuerit nume rus, sed facto is infinito evadunt equales, in utraque L ergo serie mediae praeditae termino generali n, summa fiet . . Quoniam autem paullo ante inveni, spatium paraboli

cum AB aequale quantitati ductae in summam seriei

atqui fax, ergo area ABD F. Ne autem videar sola conica parabola contentus, modum hula quadrandi curvas per summam serierum altio libu omnibus arabolis, Hyperbolis applicabo excepta Hyperbola APOUOniana Verum quando methodus hae nostra hoc un-ta a postulat , ut accipiantur summae serierum posito numero terminorum infimito, necesse est, ut ad evitandam Calculi PsollXitatem , atque molestiam doceam modum quo series in infinitum producta facilius colligatur in summam . Loquimur hi de illis seriebus, quarum terminus generalis, qui datus supponitur, sit functio algebraica integra. Harum serierum summae, si bene memoria tenes ea, quae primo, atque altero Commentarii Capite declaravi, in hunc modum inveniri posssunt. Ormetur formula algebraica data per i , quae species numerum indicat terminorum , uno gradu altior, quam sit terminus generalis, praedita terminis omnibus excepto ultimo, quorum Coessicientes determinandi sint in operationis progressu. In hac pro 1 scribatur quae exurgit formula a su-