Bernardi Nieuwentiit Analysis infinitorum seu Curvilineorum proprietates ex polygonorum natura deductæ

161쪽

Stat . Ne autem alticulatibus nimiilio in hae idanius, nethodum gener: lem addo , quaelibet curvilinea in a jia in niti generis transmutandi, tum plurimorum mensuras aveniendi ex solo praece leni deductam.

162쪽

liber hypothesiis sitquel, he ma ierit applicata perpetuo bini ad e,

nec non esia II ad a, juxta I. η , Omnia me seu patium ASO aequale omnibus caicu spatiosFIC. II. F atheta et u criti φsita curva ADEFin directum ac semper applicata I seu ad hic tu , area Q. φ seu omnia et, aequalis area AG O seu omnibus h e. II Sic facto cum hu; erit , existente continuo ιδία PMm et, trilineum . ae tu ale trilineo a M. Unde patet, data curvae AD proprietate, ac sumta ipsarum α&b alterutra ad arbitrium, reliquam semper per infinite simarum rationem determinari ; hanc autem rationem ex cur Vae Ai matura dari plus quam cognitum est: cit

Coroll. I. Hinc cujuslibet curviliare transmutationes infinitae resumta enim prima hypothesi, Tet . a cum sit ex proprietate curva cujuscun-

163쪽

infinitesimam , applicari supponatur dabit

adeoque relationem curvae cum an rum, retento ipsius hialore clo-O , possiti infinitas curvas statui in mo-o praedicto ex singulis emergat alius naturae curi lineum, quorum singula nihilomi alis circulo ru omnibus h. sequantur; patet dato cuilibet alio infinita aequalia hac methodo exhiberi pos-r quod in muliis casibus non exigui est ustas. Sic ex hypothcsi secunda hem et ui manen-busi ad circulum bt ad parabolam, cum sit Leatu, erit et ;unde s&t ex natura parabolae, ex natura circuli cognitis, ipsa et magnitudineola est quae ad , curvae ciet aequalem appliata efficiet trilineum . . aequale ipsi A m. Coroll. II. Qtiod si et ad quamcunque cyarvam, patium cognitum continentem , statuatur , adriangulario , parallelogram naum , paraboli r-nium quandam aut alius generis quadrabilem trit G ad locum cognitum cia tis pqtium naen-rAram patitur; unde mutata ursiis curva CD F

164쪽

in infinitum, infinita dantur spatia mensurabialia, lassumto cuidam curvilineo aequalia. Ex G in hypothesi primas, et, a facta et, aequali determinatae r,erit ι unde ex curvae AD F clatione cognitis, erit AS aequale omnibus ris seu, seu rectangulo

TOGAE. Idem si fiat in hypothesi secunda Lex uerit hia, spatium AS aequalerectangulo seu, in curvam AF iquod si assumaturet, uerith G cu; spatium A O Squale semiquadrato curvae i. Coroll. III. Nec hypothesis in duobus tantum terminis consistat necesse est , cum infinitis fere modis variata assumi possit. Sit in exemplumbe exa he , esto ad curvilineum A FO xa ad ejus complementum A F dchis facto h ad trilineum ASO; unde hoc in casu semper A ad rectangulo XD A quod si proprietatem curvae AC Sinvenire quis velit cum ex data curva EF etiam x data sint est)emta; adeoque heta: quae ope curvae sit expressa per interceptam, dabit quaesitum. Sic assumto et a Fhem positaspro tertia in determinata ad - , applicabili unicaVcrb.Gr. pro lubitu determinata elisiis insinitesi- mis

165쪽

is emerget et, thettars unde altera quoque

ipsit i veli, praeter ipsam , adhuc arbitrio

elinqui ur.

18. Hoc addam , licet praecedentis tanturni consectarium, in hypothesi prima hezazas Latet, crit adeoque oc)mni . te seu spatium AOS cra ius applicata es semper aequalis est subnormali respectivae ZR aequatur Oa se a se mi quadrato ipsitus D. Cum enim perpetuo sit lota IV eriti m ad triangulam sos celes tum a ex s. IJ O-

Coroli I. Hinc opulenta rursus mensurabili una patiorum copia, ex quavis curva AD E infiniti generis posita enim quacunque subnOr- mali in C, nascetur O. spatium mensurae capax ; cujus si riirsus subnormalis inquiratur, aliud rursus spatium S sic sine fine, enascentur ex tina eademque curva ADE curvilinea magnitudinem cognitam habentia, quod ex praecedenti satis manifestum est. Coroll. II. Q uin&haec, praeter alias metho- dos, curvarum generalem absolveret quadraturam si solvi posset problema I 0 cap. I. propossitim loc est si data qualibet perseu, expressa, inveniri posset curva ADE cujus subnormalis sis ipsi C perpetuo ac resia

166쪽

i o Ana sis In sinitorum. Ap. II.

pecti ipsi perpetuo ac respectiVe adaequa

retur unde, si in pta si data foret in terminis aquationis cur Vae AD E proximis, Obtineretur intentum, juxta Cap. I, 43, seqq. Odi hoc inquirendi varii Cap. I. 93. c videri possunt. Qitibus hunc ad lungo cum referat Omnium sub normalium ad curVas tum geometricas , quae per solas ici tum Malias , quae per curvam quocunque modo efferuntur, pertinentium terminos proximos.

Ac ternitia Orci in quorumlibet surrima, a quibus sub

quibus cimque signis , invenitur potestas quaelibet ipsius x designetur per g , ipsius a pers , ipsus c perg, tum ipsarum per i , ipsarum per

aptarum per , omnium denique &I perit; determinati termini vocentur . tum ritera quamcunque terminorum seriem in singulis termini per exponentes resipectivos ipsius, multiplicans dicatur quae hoc idem in omnibus ratione ipsius 3 praestat , si ' quae ratione ipsius Happelletur D NE Has terminorum serie per A, B, D, S c. hoc est in singulis terminis per ejusdem in deteriminatae ex Ponciri es rei pectivos multiplicatas, aut divisas, in poste-xum tibi gentialiter multiplicatas aut divisas appellabo. Sequitur I. omnes curvarum designatas aequationes per modo propc, si tam exprimi ut cuilibet patet cum omnis xenoris inittitudinis terminos involvat. II. Hanc iuxta regulam . , Cap. I tractatam om- ritum l. Varum , tum geometricarum , tum continentium, sub normalesl, generali hac aequatione exhibere, juxta denotationem si '6 Cap. I. adeo oue Irquabitur. Exei: -

167쪽

Exemplum in tyronum gratiam addam stig XX X LX curva AD E cujus sequatio

R, sciat, ejus subnormalis. Posta aequatione, ut supra, nihilo aequali;

lere est e hanc sequationem non ingredi quared hanc pertinentes quantitates nihilo et unt aequales solaeque, Clina x, quae , quae , icontinet, reservandae , fietque per eivisione instituta Bf - lib) , undeoco substituto arm xx, loco f o-4to γ' - tandem pro ipso 'ci I scratis in singulis additis signis, et Omnibus uesaa A, B, c. subtangentialiter multiplicatis , ad

Schol. Hoc sollima unicum rellare videtur ut ipsa , er terminos hosce generales explicata, in curva geomst cis 6er sol Gm Y posset efferri, juxta canonem Omnibus curis conveli entem Muniversalem; unde prina iere intuituppareret in v ilibet curva, tun iuxta praecedentis tenoem possietinisa irari et an inter varias, quae incenascc- entiar, relatio irum expressusne aliqua reperiretur, quae 'xpolitae curvae proprietati Congi Uergi. . . Viciebanturh uc inter subnorma unam Ventiora es Cap. l. tractatas sibi locuti ven clicare; verum quonaiam Drus necarum hinc orirninum ita Parin ae primari confideraritur, malui hanc messio hiant, luci uius loco, tanquam ei, uod es rei,dimus, conue e nierit iis mo inserere sed ad corroI- alia revertor.

Coroll.

168쪽

, at si Infinitorum. Ap .i I.

CorolL III. Hinc ea lena quae ill II Coroli. ex alio principio ostendimus, ori .inem ducunt; serierumque juxta lar Wallis tiam auctarum tum multatarum aggregatara res dua, horumque potestates quaelibet in debita sua ratione ad totidem maxima constituuntur; quae I praecedentis non nisi particularem casum cssiciunt. Ex GC. Fig. XXXI possita Au a , msit et quotlibet terminorum simplicium a continentium summa, curvae AB S aequario φρα αε quaeruntur omnia νspe seu omnia: e. Qua- proster fiat et, n ' dimi sitque laeta p, qde semper aequalis curva ADE subiiGrmalis

R; iit ergo uxta Cap. I. g. 97 Coroll. I. aeqRatio curvae ADta' , 'sed omnia I ex praeced ergo om nia ei omnia et e. quae erant inVenienda. Unde haec reguli omnia et i , seu facto in eXemplum et, x. xx Omnia r sce 'xx e quantur ipsi et x subiungentialiter per A divisae; tio est sere datae et unica ipsius aedimensione auctar, postea in singulis terminis per potesta- teni ipsius ae divisae Ir xx. X hinc g. I 2. iursus demonistrari potest. Posse autem potestates ipsius, in terminis ipsam et componentibus, nunc per Elimeros stactos nunc per negati-

169쪽

dcsgnari alim dignitates quaslibet aggre-itorum serierum auctarum aut multatarum,pernabolum t efferri notius est quam ut hic etendi mereatur. Corall. LV. Oritur hinc,' ex s. praeced , ultifaria methodus , qua ex dato curvilineo. Q. C, in terminis quibuscunque algebraicis. suis applicatae ad interceptam A relao exhibetur. Haec inter sequentia ex fundamen, magis generali deducemus.10. His annectere liceat facillimam curvili-zorum quorumcunque transmutationem, subactionem, additionem dcc ex s. 6, 7 8, 9 di-

manantes.

ὰ irx-xx. Jam autem omnia re aequantur iunibus his quater sumtis, seu quatuor semi- irculis, ex s. 16 Cor III. juxta hypothe- in omnit, he ab te seu spatio infinito Cissoidalitum semicirculo : quare Cisso idale spatium se aicirculi triplum est.

Coroll. Possetistipponi aequalis quotlibet ap- icatis Ust in idi c. quibuslibet ni affectis; unde

170쪽

unde posita ad curvam datam quamlibet, cetererisque, excepta unici, ex arbitrio determinatis, ultima definitione sui patefaciet curVae naturam, cu us spatium cum reliquarum Omnium areis nunc simul addits, nunc pro Varia signorum natatura a se mutuo subductis, aequabit datum spatium seu omnia e verum, quae hic ob tantam applicataruli copiam arbitrio relictam se pandunt, speculationes praeteribo. zo. Hoc addo: si assumta spatia quadratuaram admittant, etiam quod ex iis per additionem aut substractionem componitur, erit quadrabile possuntque hic curvilinea quaelibet, quae mensuram pati aliunde novimus, adhiberi horum aurem aequationes si ad paraboloidum hyperbolisoriniumque loca consistant, erunt inanes ipsus,potestate cognitae quod leviter ad praecedentia attendenti ignotum esse nequit Coroli possciat hae omnes potestatum . ac spatiorum mensurabilium hinc oriundae diversitates in ordinem redigi a simplicioribus ad magis composita progrediendo,ac theoremata quae danai rmari, quod provectioribus facile , in minus cxercitatorum tamen commodum iocgeneralius paulo specimen subnecto.