Bernardi Nieuwentiit Analysis infinitorum seu Curvilineorum proprietates ex polygonorum natura deductæ

131쪽

i stati ri insuaviata ipsius h valore. Corosi III. Uiide solvitur hoc problema r ata diantitate irrationali ex terminis, tum de-ilrminatis tum implicibus x continentibus, luc ii oet radicali communi signo copulatis comitant , duas alia qaantitates et invenire, ut, Li liarum altera per dictum irrationalem divida- ir, alte a vero periandem multiplicetur, in troque casu emergat subnormalis ad terminos a roximos, adeoque ad curvam convenientem, Leducibilis ipsiusque curvae aequati*nem deter-

Sit xx r, 'ν exposita quantitas irratio- ali, multiplicentur termini ipsam compone is per dimensiones respectivas ipsus at unde erminus determinatus excidet, cum x in eo imensiones habeat nullas dc fiet a xx Vr esum singuli per x in duplum exponentis signiadicalis unam dividantur, emergit quotiens unitatis differentiam emerget et, in exponentis ejusdem

132쪽

Si vero idem quotiens per exponentis micti ac unitatis stinamam naultiplicetur , Orielut x et in quod in secundo casu equuritur, O multiplicatur. Demonstrationem ex praemissis quilibet erue eamque proinde cum caeteris hinc deducendis siet tis ad terminos quosvis mixtos extendantur ipsitque signorum exponentes' i , quam pati possint, varietatem admittant brevitatis ergo praetereo aequatio curvae mox insuauata est. 98. Reassumatur Fig. XI. servatisque g. 36.

symbolis ac I. 37. hypothesiij zzz II, invenitur aquatio subtangentialis t. hi ah n, unde

coroll. I. Unde sequitur, duabus curvis ad eundem axem descriptis, si correspondentium applicatarum rectangulum fet, per utriusque curvae subtangentem n dc successive dividatur, eri quotientum' summae semissis aequalis subno malid ad tertiam quandam curvam pertinenti, cujus ordinatae quadratum γ' aequivalet fa seuetapossit applicatarina in reliquis curvis rectat

CorolL II. Hinc etiam patet problema Cor: s. praecedent infinitis modis solvendi methodus; posita enim , aequali cuidam quantitati irrationali,

133쪽

Ch p. I. absis Infinitorum. io

aali, sive uno silve pluribus vinculis radicalibus 2 igato, erit SV ipsam multiplicans quantitas: quae cum sit arbitraria, infinitis modi var im

potest.

Scha. Q loniam Vero curVae non tantum tres, uti modo, sed pro arbitrio intiliae assumi, interque angulas infinitigeneris reLati ne starii possint, quin re ipsae curvae tria tant: cerici quantus se panda reducibilium subnocinalici:ri Plagentiumque campus, quarum curvae absque ulla calculi molestia statim se produnt, nemo non videt, sufferit hie digitum intendine. Quin vario, praeter modo tra uita, principiorum genere oriundas methodos, subia triales ad curvas congruas reducendi his adiungere in pro-rtivi est et, nisi peculiarem fibi tractatum potius deposceret materia dignitas et quare multis unicam, ex infinite imarum calculo originem trahentem annecto, hoc ex anterioribus demonstrabile praemitto lemmaticum.

99. Sit indeterminata x, crescens aut decres cens per infinitesimam edi, pera; peri, c. rit exposita quaecunque aequatio ad infinitestatas redacta in qua indeterminatae singulae miroprias sibi infinitesimas, determinatasque du- ctae sint sequenti modo ad aequationem ordin tiam reducibilis si nimirum, mutata infinia esima in propriam sibi indeterminatam, emer gens terminus dividatur perpetuo per VO-hnentem dimensionum indeterminatae x p Gr detur, rhi Fh hi j 334strya, erit haec reducibilis ad banc aequatio

ii caeteris. Ioo Iaim

134쪽

IGo. Iam cum juxta s. as in omnibus curvis sit

'a tefacto positis h, ,et, pro quantitatibus vel ex arbitrio, es ex progressu cilculi determinandis erit T' Ia adeoque T :tum assumta pro quotlibet terminis simplicibus x continentibus, signoque radicali cujus libet potestatis scopulatis, qui ab symmetria

liberati littera et designentur, erit αhq σε quae aequatio ad infinitesimas redacta juxta methodos superiores, erit que ii Axponendo em a se tandem, ha quae ultima vocetur aequatio reducencujus reductio possibilis existit, si in altera parte exceptis determinatis , nulla indeterminata nisi , in altera vero nulla nisi a reperiretur, 3uxta praecedentem , quot autem modis hoc effici possit sequentia consectaria manifestabunt. Quotlibet determinatae denotentur per , insulae per . Coroll. I. Sit qmmae , m , unde Ag

Tam x. dch r, erit aequatio reducendaqhqα immrya; quae reducibilis est, I si a per quotlibet terminos , vel h continentes , vel deterstminatos , exprimatur. II. Si et, quotlibet termicvis simplices, continentes communi vincu-

135쪽

non adstrictos comprehendat liquidem, cum hypothesi fuerit hira m . , sit xi tui valor in omnibus ipsam componentibus erminis repositus cssiciet terminum ιθα, i, Falem primo loco desideravimus. Unde patet si fuerit παρεκκη c. in να , rq hoe est, si subnormalis valor expriatur per quodlibet signum radicate sub quo plures unica dimensitones non assurgit in

uotlibet numero terminos simplices e continenes multiplicatum erit ad curvam , ex praece-enti, reducibilis cujus aequatio levi negotio se pandet. Coroll. II. Si vero fiat ἔα πω rae, 'rit Ag ποῦ 3κ arx x posito-iue Ag) nx erit 3x inar μα unde facta ε determinata erit si mra xl arx ex inrxκ aequatio reducenda I mya, seu 34 mra quae reducta dabit quationem curvae h αἰ-r , ex aequatione reducenda , juxta s. 99 , resultantem

m α. si h si aequalis cuilibet quantitati irration uix continenti ac x eam multiplicans sit aequalis summae terminorum sub signo radicali copiala- torum

136쪽

rum in exponentes ipsarum x respective ducto . rum ae unica x per divisionem multatorum: seu ri semper fore reducibilem ad curvam cu Ius aequati am I. Coroll. III Quod s: quis alterius generis portia inata desideret, multiplicet aequationem redu

Schol. Cum aurem hic ex data Temper ipsa et determine- . tur quod primario requiritur tamen hoc est, ut , datis tum tum etiam , inveniatur aequatio curvae, cujus sub-

normalislanalytice effertur per hoc est, ut dato Quoli bet intervalli valore cur a ipsi conver,iens reperiatur, unde problema hocce generaliter ex parte solutum es . Quem in finem, cum exponentes bis adhuc aptae sint deterinin ..tionem recipere poterit earum ope curvae sequatio indas ait quae aliquando erit geometrica, aliquandoex earuna' penem, quas tractavimus . 7. seqq, aliquans alius ceneris. Accedit, quod, si termini mixti considerentur,

137쪽

um hactenus non nisi simplices adhibuerimus, tum inquavionem reducendam alia ex calculo postea determisandaequantitates ingerantur, variis naodis intentum p G musa iseqni insimulque experiri, quam curvae speciem nrquatio requisita exprimat. dic autem ob causas supra me moratas is aliam occasionem reservamus, iis interim sua ititem Mathematicam merita gratulaturi mitibus haec adi laem perdiicendi vel otium vel facultas suppetir.

Io I. Sit F. XXIV. curva L O ad axem Ice ope pplicatarum ' .pertinens, eam e tangatim recta NTI; oportet describere aliam curvam EDE,ejus naturae,ut, si ducatur eam tangens To,

r' semper sy et ad applicatam D, ut T. ad T L.

a. nquem finem ducta LM parallela TL, jungatuc parallela X sumtique infinitesimaa,co iteatur parallelogrammum a IIσx hinc pro- luctisu Toc Mi versus Dina, donec se mutuo ecent ina; maturia infinitesima, ac demim

138쪽

axis parte sint positae, erito hoc in casu πα-aT maz: Βαυ- x: uti schema inspicienti satis apparet omnes enim hujus problematis eam percurrere, majoris foret operae, quam uti

litatis.

139쪽

Anuhssii finitorum.

dimensio IIbus.

II lenam. 16- et , curva ABCDE FI Fig. XXVI. rectulis constat, angulos dcc facientibus unde spa-;um Ali cujus anguluna At hic re

ui supponimus polygonum est quod poly-onum si lineis ipsi O parallelis P. D

R c. partesque axis infinitesimas aequales ut inaequales c. interci-ientibus, dividatnrtrapea iam I 'E, CR Dac similia , erit omnium trapeZiorum summa exeometriae legibus aequale spatio infinite poly-,ono seu curvilineo ABCD ERO A. a. Idem constat Tilanum in traperia EGIope linearum ipsi AD aequid istantium dividatur. ilibus principiis omnis fere curvilineorumcnsura hactenus nota absolvitur.3. Ad inveniendum ergo trapeziii PQ a-orem, siti Q 3 DH se infinitosi ina ELI .a; quare P. 1 fa , unde trape tuin aequatri facto ex Qq J En Q p. cu deleto juxta lemm

140쪽

pegium 'E 3 e rectangulum D. 2PA . inc, posita I ad locum curvae cujusli. bet , erunt omni aequalia spatio curvili nec quaesito Unge directe hoc theorema: sit axi sigimrar Ao dividatur in partes insininitesimas aequales aut inaequales Aa, Sta dcc. ad singula divisio. num puncta eleventur applicatae SAE, AC, α D. quarum singula parte annitessimi DM,CN, c. proximam excedunt herunt omnia rectangula ex singulis applicatis in singulas insinitefimas simul sumta , seu omni aequalia cur 'ilineo AORA.ue. Si vero suisset P. I, unde m 3 caeteris ut supra , orct idem traperium D aequale rectangulo Z P E aequale rectangulo a an seu V, juxta modo tradita. a ' in figuris versus axem A convexis obit

nent.

6. Quin minc sequitur; Fin .X II. si fuerint duo spatia AOF, O , in eadem altitudine Amposita , factisque applicatis, R G, dc in utraque finiti nitesima semper aequali es

primum spatium aequari Onan re, secunduna lomn. et e quare primum ad secundum , ut lonan re ad Omn. .e divisis rectangulis

per aequalem altitudinem, ut omnia ad om- iaria et, hoc est ut summa applicatarum in primi ad summam applicatarum in secunda figura. γ. Huic,