Bernardi Nieuwentiit Analysis infinitorum seu Curvilineorum proprietates ex polygonorum natura deductæ

31쪽

seu juxta Lemma Io nihilo aequalis. iue . Si vero assumta ipsius, parte qualibi

data minori, iat erit

seu pars qualibet data minor ipsus Z, Lem.

quod ex fund mentis Algebra notum est.

culo pr erit hoc aequale ipsi r. Cum enim hὶ ta Lem. Io, sit aequale nihilo, erit , r.

18. Sint Sce ita ad se nautuo relatae, Ut neutra earum existente omni data majori, sia alter utra

32쪽

utra, Vel quantitas sit, vel in totum evanescat, etiam altera semper necesiario vel quantitas sit, vel nihilo aequalis fiat. . Dico, sit alterutra Verb. r. b, sit omni data minor, etiam e fore qualibet data minorem. D mon , si neges, erit, juxta Lemm I, Vesomni data major, quod repugnat assumitis vel data, actum , etiam erit data contra hypothetin, vel nihilo aequalis, a tami quoque talis foret, contra suppositum. 10. Hinc si, Fig. I, in cujusvis trianguli AEGqriolioet latereta E statuatur quavis dati mi-UOr, erunt, dactavi ipsi G parallela, lineolae KC, AK,fingulae quavis data minores oc

Demonstr. habent enim AJ ad lineolam A C relationem lemm praeced. suppositam.

zo. Eadem quoque relatio obtinet, Fig. II, inter Curvae Arcum CD, eique subtensam AD, ac sinum AE unde omnis arcus quovis dato minor subtenditur a corda quavis data minori, hibetque inum quovis dato minorem,

et t. Quin desexposita curva CD, Fig. III, notae proprietatis versus eandem partem concava eique subtensa i , sit ducatur ex puncto recta D G faciens cum subtensi i angulum ADG

33쪽

AD G vel rectum vel recto maiorem tangat au-uem curvam in puncto A linea A G, occurrens rectae D in G, iitque H rectarum Goc Ara differentia seu AG ME: Dico, Arcus A C vel exta praecedentem , subtensa AC sumatur omni dat minor, etiam H G , seu G - A E , fore Omni data minorem. Demonstr dato enim arcu A C, datur AE ob datam An , datur quoque E seu G. Secundo, evanescente arcu A C, oblinearum A E c hoc in casu, coincidentiam, adeoque Maequalitatem, ipsa Hi evanescer, quare, per Lemma I 8 constat propota

eta. In triangulo AEG, Fig. L cujus angvllus E est vel rectias vel obtusus ducata X Clateri in parallela erit ut AE ad A C, ita differentia linearum A G dc ad disserentiam AK C. Demonstr. nam ob recta um c d GF parallelismum erit A G A C. unde divid. altern AG - AE: Ac AC: e

3. Repetito lemmate et L sit, Fig. III, A Carculus omni dato minor, ac per punctum ducatur recta X L ipsi D parallela, productaque subtensa AC in , crit digerentia tangentis , subtensae A C aequalis nihilo.

34쪽

s LEMMATA.

Demonstr. it AE: , dc subtensa At quae juxta Lemmario qualibet data minor est, cum ascus At talis it ex hypothesii sit item

H G:-, juxta Lemna. i. omni data minora

tandem differentia rectarum AK seu Ac A dicaturis erit ex praecedenti unde se se per Lem. IO. aut I ,

nihilo aequatur. et . Hinc in argumentatione circa quantita

te omni data mibaores, subtensa A C aequaturta iugerati cum luxta praecedentem, null/sit carum differentia. et s. Tam tangens subtens AC, ac Curva AC inter se aequales sunt. Cum enim Curva Ac siit major subtensa A minor tangenti A K, uti omnibus notam, erit differentia Curvulae alteru- tria rectae A iel AC, non major quam diis etentia rectarua A. AC, quae juxta Lenam. 23, uilla est. 26. Adeo lae omnis Curva AC ex rectulis itavis data minoribus, quae tanquam tangetates A K, aut subtensae A C, considerari posus hint, constat. 27. Unde pariter clarum est, si calculium

35쪽

ingrediatur curvae cujusvis particula omni datam nor , ut A C , posse ejus loco substitui vel ipsius subtensam AC, vel tangentem AK

hinc curvulae respondentem utpote quarum omnium differentia nulla est.28. Punctam P d curva Assii, Fig. IV, ita ad se invicem referantur, ut ductis P A, PD, ad curvam, Omnes deinceps rectae a puncto P versus curvam BD projectae ab Aversus D perpetub crescant, aut saltem non decrescant; si ducatur A G, curvam tangens in A, item Pa ipsam A G secans in S, dccurvam in B; Dico primo A fore majorem, quam AB.

Demonstr. Cum PQ sit major recta P A, erit angulus P A Bistior angulo PBA. I. it Eucl. sed angulus I. 3a Eucl. major in B ergo idem a P seu ipsi ad verticem oppositus Assiri multo major ipso Sin, hoc est I. a,euci. ABS multo major summa angulorum K Sin Aria ergo in triangulo A BG, erit ABS angulorum maXimus; quare, I: I9. Eucl. A S major ipsa AS 20. Secundo, manentibus iisdem, si, Fig. IV, exi ducatur B L ipsi P G aequidistans, dico Aifore majorem, quam A S. Demonstr Angulus A FG I: et Euclo maior Angulo PBF huic ad verticem

36쪽

opposito AB S, jam autem, ob parallelas FGB L, angulus AB L est aequalis angulo A F c .ergo angulus AB L major ipso AB S , unde Lmajor, quam A S. 3O. Retenta eadem thypothesi, si AB sit pars cur Vae omni data minor, dico differentiam ipsarum Aa ἐκ AE esse nullam. Demonstr. A major quam Aa, ex praemced unde AS-AZ minor est, quam AL AN, sed AL - AB ex Lem. a 3 est non quantum, adeoque, quod eo minus est, AS AB quantum non eriar, ergo nullum. 3I. Hinc corollaria in modum Lemmatuma , 3, 26, 7, quilibet suo marte eliciet, tum hic, tum inibi, tradita aliis casibus, ubi curvaversus punctum P convexa est, accommodabit. 32. Oe particulare adjungere liceat ossi curva ABD siit circumferentia circuli, cujus centrum P . sectorem ita eundem esse cuna

triangulo is osceli A P cujus Bassi subtensa AB cst enim haec aequalis arcui A B, Lem. 2 3. 33. Si super basii, Fig. V, quavis data minori Ai, seu constitutum sit triangulum isos celes APB, cujus latus AP seu B est Ii, erunt singuli anguli ad basim PB recti. O Ustr. Ducta enim normali P erit

37쪽

L EM M AT A. 11

vocataque B p, erit juxta trigonometriae

est, sinus anguli P BD aequalis radio, unde angulus P B L rectus. Idem eodem modo de angulo PM D demonstratur.3 . Sic, Fig. VI, triangulum AB rectum in A, labens latus , quovis dato minus, dicam ar. Pici I , radius r. Erit sir ias anguli APB quovis dato minor.

Est enim : seu simum anguli APB,

quod pariter j, Lem. id inferri pollet. S. Hul acco aversum, expolito angulo APSOmlai dato minori, ulteriori probatione non ii digdi.

36. Iisdem possitis, hypothenus B lateri P aequalis est. Cum enim inus anguli BP siit erit stinus complementi illius seu

38쪽

AP, seu g γ - seu per Lemm IO. 7. Angulus Am P est aequalis angulo B A P,

uterque recta: quod, caeteris perceptis, satis patet. 38. In dato quovis triangulo AI a Fig. VII, si ex angulo B ad oppontum latus A projecta BD abscindat D C, portionen quavis data minorem, ducaturque arculus circularis, seu ipsi aqualis recta Di juxta Lenam. faciens

E aequalem Bi erunt Diu a C quavis data

minores.

Demonstr. Habent enim respectum C relationem, Lenam. 8, Xpressam.

39 Iisdem positis, si angulus Assim sit rectus; dico triangula A B D dc D EG fore suntlia Juxta enim Lenam. 33 angulorum B Da iam uterque rectus est quare EC I. 3. E Mi. quoque rectus est, adeoque aequalis ipsi ABD ex hypothesi Secundo, ob anguluna mi rectum, erit. M C, anguli Biri complementum ad rectum, atqui juxta I. a. Eucl. angulus B ADςjusdem BD A complementum est, unde EMG aequalis BAD, incin tertius ADB aequalis DCE, quare constat propositum. o. Datis F. VIII. duabus curvisABD, EFG,

39쪽

quovis Dodo mediantibus rectis EP, AP,FΡ,BP, ad puncti in P relatis, si1 A B sit curvae Bini pars omni data minor, erit 'I pars curvae a Gomni data minor contra habent enina relationem Lenam II eXpCstam.

i. Sit recta BG, Fig. IX, indefinite versus Nprotensa, ac ducta ex puncto B ad angulum Nic recto majorem linea BG s, ex cujus extremitate C projecta C A abscindat a recta B, ortionem in quavis data minorem: - erunt juxta 38. Lemm . Det a tum A recatum angulum in D lacientes singulae quavis

data minores facta jam aE seu Litidem quavis data minori, ductisque DF seu bipsi DI,&M E seu Lipsimi parallelis, quaeritur harum ut Sc linearum PH l. FG mmcisi natura. quia . aequalis C B, juxta Lenam. 36, est B, C D: C E. F. Hoc estis: s: - adeo-

m in

40쪽

nihilo, Lcmm. o. . GD D A: ca Tm; --: si seu L est unde F H seu cu nihilo. 42. Quare liquet, retenta eadem Hvpothesi Iineas , E,CF, CH sibilis Iair o sequari, nihil aequi pollere, adeoque omnes quantitates posterioribus hisce multiplicatas tuto ex calculo algebraico, una cum iisdem deleri posse. 3. Sint quotlibet antecedentia, c, d,s,oc totidemque consequentia , h, , c; item exposita ratio in singulis constar ut rad

resse: f l. Tic in caeteris dico ut ad , ita omnia antecedenti st ad omnia consequentia g*h in I, c. I lementis

notum est.

Iisdcm positis, sint quantit res determinatae, hoc est, quae eandem continuo ac invariataria servent magnitudinem , item aliae indeterminatae, a , , si V tales, quaa Una magnitudo pro Vario respcctu, ursositione, varia est, licet eodem litterati sis no perloctu eX- primantur, quale specimen omnibus notissimum in Algebraica locorum doctrina incognitae dictae quantitates exhibent; si fuerit in singulis, ut Hada, Ita quaelibet ad sibi relatumst, erit ex praeq