Bernardi Nieuwentiit Analysis infinitorum seu Curvilineorum proprietates ex polygonorum natura deductæ

61쪽

aryx applicata curVae aequatione, factoque 2 Δ et Oxx' - 2x ' 8x' erit, reposito hoc valore in locum ipsius γ', ac divisione instituta, zzax de-naonstrationem non addo , levi ne otio, potestatum symbolis generalioribus adhibitis, ex praecedentibus eruendam. 22. Sitiam, Fig. , cui V ADE, cuius Pars Ai Vocetur et intercepta A A , applicata hujusque proprietatem X-primen aequatio sit et γ', '' et, et, Uportet ei tangentem ducere. Iaare posito pro ipso et pro ipso γε a pro ipso A in e , redigatur ad infinitesimas, , deletis juxta su

co in aequatione surrogatis, ac divisione per instituta, aequatio ad tangentem να α γ', tin acie γ' di ' - 2 a s 'ci dippo cita' uens cet votuissetvi regula .r , proposita ad hujus generis curvas extendi, nisi aliam occasionem iu- te sequentia praestolari maluissemus.

62쪽

3. Laomodo etiam Fig. . ex datis cumvarum tangentibus earum perpendiculares inveniantur, c Vice versa, abunde constat. Siquidem, retentis I symbolis, si fiat O y l. est

sicut 3: 3 l. Sedin quomodo a priori, non supposita an gentis cognitione inveniantur, breviter osten eam. Ob angulum TVS rectum triangula D&DQS sunt similia, adeoque D Q Q Si Dis: E se a) l: e a. Unde data aequatione curvae, eaque reducta ad analogismum ut in . , ad inventionem normalium pro e ipsum , pro ipsum teponendum esse clarum est , videantur dehisce g. 7 4. 14. Et hactenus de ducendis tangentibus perpendicularibusque , ex data curvae aequatione inter applicatam 3 dc interceptam v constituta. Sequentibus autem Xemplis, quomodo ex data relatione inter duas diversarum curvarum applicatas, ac alterutrius tangenti, alterius tangens innotescat, exhibebimus. Ubi monuerbmethodum generaliorem in his S caeteris sera cunctis hujus naturae problematis, in eo consil-ilcre, ut O numer inveniantur aequationes, quot assumtae fuerint infinitesimae ut his per

reductionem jectis quaesii tum fiat manife- nuntia . Sint

63쪽

sui recta TD ; item alia curva Ama ad eundem axem politi dataque sit relatio inter utriusque applicatas N; opoite ducere rectam V x tangentem curvam Ama in . Sit A c): , infinitesimael 'DH NI: e, erit EP la, AP x quae symbola insequentibus, ubi curva iisdem majusculis distincta reperitur, ni aliud insinuetur, perpeta obtinebunt. Sit item y:α, infinitestim IK: erit: I K sit linea cognita, s subtangens quae lita Gil. Cum ergo hic astanata sint tres numero infi1- nitesimae a, o totidem inmeniendae eruntae irrationes, quarum prima oe ta, quiat:): e a secunda o, quia i mr ero; unde ex utraque , e T seu LIq. tertiam ipsa curvaram relatio suppeditabit. 26. Sit jgitur, in exemplum, et ab zz r. qua aequatione ad infinitesimas reducta , Oratoque pros ipso J- , loco et ipso et se,

64쪽

notetur hoc in casu, qui lineas, sit S c in respectivis

curvis norimales, in utraque esse aequales. 27. Sit ex data curvaru in relatione rectangulum D et aequale quadrato lineae, seu y rr. qtae aequatio per infinitesimi is expressa dabit et fro, π,r, hoc est per . 6. I, o m juxta .rue, seu quo signo negativo apparet ad divertis applicatae in partibus statui oportere, muc-vam Ama invertendam. Giod hic, ne figuras multiplicaremas, nos negleximus qaivis, ubi casas hoc requirit, in sequentibus cx calculo facile sapplebit. Notctar, si ponatur ad quamlibet parabolam, ut sitio ' ab lxq, fore ad quamlibet hyperbolam , cuius aequationi xl r8Φq. 25. Detur rarius curvarum relatio 'rarmc erit aequatione ad infinite inas reducta deleti

&divisiis per γ' rmacis', erit juxta .as, adeoque m l . 29. Hinc , omnis generis Cissoidalium tangentcs quis desideret , fiat curvarum relatio,

65쪽

ra determinantur, quacunque e curva ortum traxerint.

a mox inventam aequatiORem applicita dabit typ o tertio, si aequati mutuam curVarum relationem Xprimen eodem modo,

66쪽

qiuae duae ultimo conquisitae aequationes quaesitam exhibebunt 3 'i pratqr qet,q ιν ρ' uiuod si fiat 1 aequatio haec per datas curvarum aequationes divisionis ope debitereducatur, fieto s)rpini sas facto sirit ira et I ST,. N B sis ipso pini majus supponatur, quantitas s)ῖ- 'per r 'p' dividenda erit, quod ex Lemm s O S c satis cognitum est . 31. Sit A DEO semicirculus, Fig. XIII. NO I. cujus diameter Ai r curVa ero ALGsit istois, quam tangat recta NI, quaeritura Liei t. Sint eadem, quae . as symbola, ac

xx et, dabit ex mym et, a tandem aequationibus xαγγ&m Ira xx ad x reduistis Orietur, et, ex quibus hoc pacto investigatur, quia ora m erit treaza et, unde factis ut supra i γγ solet, κ' , divi

67쪽

nmox inventa, qua aequatione ordinata, Tubstituto loco x x ipso αγ ac pro , ipso γγ emerget αα. Φέα π: LR. quae constructionem omnium, ius allor, expeditissimam admittit, sumendo nimicum, Q aequalem μα- ναN. 32. Hoc etiali Onte manat singularis ac utilissima melliodus tangentes ducendi, quae ea quantitates surd is quomodolibet compositas,

nec fractioneSm Icilia P.

Ex Gr sit Fig. XL curva ADE, cujus intercepta I x, applicata I aequatio hujus proprietatem exprimens Crrx rix - . huic augens sit de signanda. Quem in finem quaelibet quantitas surda statuatur aequalis alteri cuidam assumtae, fiatque Crrx γ' dies . rm xx et , quae vocentur idcirco aequationes a sumtae, concipianturque totidem curvae, CG,ANL, ad eundem axem esse descriptae, quarum applicatae sint assumtis quantitatibus aequale nimirum f, i di, unde aequatio curvae exposita: AD Eerit et i , quae Vocetur aequatio ex assumtis orta Tandem cuilibet indeterminatae sua tribuatur Infinitessima, ponendo loco Ahes, ipsana

68쪽

existentibus, P, CH, G , Γ, seu e,a, o, tinfinitessimis. Einergetque , juxta superius tradita , aequatio ad iriinites una reducta, ' ,- a 4 I in , dc deletis delentis, XI. 6, Ex qua sublatis infinitesimis invenietur curVae expositae subtangens α seu it. Hoc autem duplici modo effectum dari potest, quorum uterque examinari quodammodo

meretur.

Primus modus in eo consistit, ut, praeteraequationem 'a Ie expositae curvae ordinariam, aequationes assumtae Omnes ad infinite urna redigantur; ope harum infinitessimae ex aequatione ex assumtis orta, ad infinitesimas tamen prius reducta, auferantur.

Sic assumta aequatio prima suit 1 ,- γ' fquae ad infinitestimas redacta exhibebit

Secunda assumta aequatio, rq cx Σααα,

dabit simili modo tractata L

Quibus valoribus in aeqrvatione ' i' a re possitis, orietur la tione modo inventa, unde emergit quaesita sub- tangenS

69쪽

Sec dus hoc idem ediciendi fit et

Hinc avenitur, nec non quibus jam valoribus lococi, in aequatione o ima substitutis emerget S ml: adeoque ob debitam reductionem ita:

Quin Sc circa atramque hunc modum obser-Vatu dignum erit, secundusia, uti primo magis conapendios una, ita de generaliorem esses cumenina primus, per plias curvaruua proprietateS sua natura determinatus, non nisi curva ADEth insecutat secandus infinitarum curvarum, Pr Varia ipsarum , fata, ad x relatione casus comprehendit, levi negotio ad quamlibet curvam particularem determinabilis, si loco subtangen-

70쪽

tium hoc , valores juxta primum, quem dedimus, modum inventi, sussicianturi hos enim valores ex data curvarum, qua respiciunt, proprietate etiam datas esse, praecedentia intel jigenti satis manifestum erit. 33. Ex II. Assumta eadem Fig. XL Ocetur L curva perpetuo cujus infinit esuria D E situ dicaturque ipsius tangens TD.s; manentibus iisdem, qliae in praecedenti exempIO, symbolis,aequatio illius relationem exprimen sit. tangentem designare. Cum vero hic fractiones occurrana& termini insuper irrationales, variistin modi, quibus intentum assequi valemus, juxta varias quantitatum assumtiones. Sic assurib

to integro termino ff, item alio

rc ' FI τ', erit aequatio ex assumtis Or-

ta V. et, α β r , quae ordinata, ut supra,ad curvas respectiVaS, reducta ad infimitesimas dabit aso in azi 2Ia 'ε rn. Unde sublatis per curvarum proprietates infinitesimis positoque is est enim :s: e is erit iacta reductione

Quod si aliae quantitates terminorum irratio