장음표시 사용
41쪽
cedenti, ratis ad scita quotlibet a , ad totidem 3 seu quod in posterum hoc modo enuaciab,
tur ita omnia , ad omnia . ue. Quini asiuanta tertia determinata quantitare b, si fuerit, s: x: r. Cum sit quoque, si: Y:3 item r: s: b, b= tum &rb: s::bx: F, nec non r: si: x bJ. erit quoque in singulis hisce analogiae generibus eadem, ac in praeeedenti, argumentandi methodus, ex Lem. cum ii singulis prima proportionis ratio sit constatas&invariabilis. 6. tuo si assiimantur quantitates indetera
praecedentibus,ut, in prima analogiae ratione, antecedens p consequens, ita, fi secunda , omnia antecedentia ad omnia consequentiari conclusionis fundamentum ex praecedenti Lem. 63. manifestum est . 7. Quin in omnibus Lem. 3 casibus, si in prima proportionis ratione tot supponantur termini, quo is secunda, erit, ut Omnia antecedentia in prima, ad omnia consequentia, ita Omnia antecedentia in secundi, ad totidem seu omnia consequentia.
Quod probatione speciali non eget, quippe
ex praecedentibus sufficienter cognitum. 68. Sint
42쪽
4 Sint duae indeterminatae quantitates Ic ciuae ducantur in determinatam', item aliams 'erit, ut omnia r ad totidem γέ ita omni: be ad totidem 3. Pater, eum omnia x sint ad omnia , ut omnia ista omnia3.
' Hoc addam, licet ex modo monstratis facili negotio mitigatur, si stierit , :s :x:=.ae assumta indeterminatam, at γα Π.: ars mentationem I. enam T. non procedere seu licet per se analogia in singulis conster, non rite colligi, ut omnia et ad Omnia ita omnia , ad omnia), cum ratio ' ad , propter ipsi sis, magnitudinem variabilem, perpetuo non sit eadem, quod tamen luxta Lemm. 43 renutritur. Quae observatio tyronibus admonitionis loco inservire potest, cum facilis admodum lapsu.sit in hoc argumentandi genere.
ueo. Multiplicatio= em potestatum ab eadem radice fieri per exponentium additionema ut si ducendum sitis: in , ore productum d 'S, seu Si id in d fore o Fq. I. Unde sequitur, si potestates sint a qR Iles, hoc est ρα , ore productum d I; quos si denuo per ρ multiplicetur, fiet 3 , at-
43쪽
Quare si potestas alicujus radicis i,ut ἀρ, veniat A quadrate cubice, quadrate aliisque modis, multiplicanda, oportet potestatis datae expo- nentem; per numerum dignitatis quaesiitae multi- plicare; sic quadratum ipsius d est d p cubus a , quad: d ρ , adeoque stipad potestatem
evehi debeat, orietur d i p. r. Hinc jam ordine retrogado constat potestatum quarumlibet, per alias ejusdem radicis potestates divisisHem, exponentium substractione peragi sic E perta ' divisum exhibet quo- rtientem ', seu adeoque d perdθdiis visumessicit item 'perr seu - facit 33. Ipsamque radicum omnigenarum ex potestatibus quibuscunque extractionem fieri divisione erponentium; sic radix quadrata eLd
est i seu i cubica ead' est seu due ex 'estd stud'. Radix'quadr exori estis ' seu Ut d , quod juxta vulgarem notationem hoc modo de- sigriatur rd 's tandem radix potestatis ex ' extracta erit d',
Quae omnia ex divisionis , extractionisque radicum nota methodo manifesta sunt.
44쪽
Scholium Generese. CVm nullas existat numerus, qui inter propressionis
veniat; singuli q: hujus progressionis termini generen- fir ex progressitonis monadicae respectivis aggregatis; nu . merum quemlibet, sub specie sum mae progressionis unitatum, considerari posse hoc ipso patet. Unde sequentes, alicii iis in hisce momenti, numerorum proprietates emergunt nimirum. I. Ubi unitatum haec progressio sili sit , ipsarum aggregatum numerum constituit deiemininabium , ac per iron adicorum progresssionem certo termino cessiantem denotandum verb: gr. i*i, o i, c. I t. Ubi vero t0:quam ubi isendo pro eredinis, in multitudinem termino ruia omni determinabili majorem assurgit haec progressio, aggregatum unitatum numerum constituit cinni dato majorem hac de causa per progressionem monadicorum nunquam desinantena exprimendum velut 1 - - - i i in I sic continuo absque cessatore perrcndo. III. Celeto termino subsistens monadicorum progressio, adeoque numerus determinabilis aliquot non 'fonis inittes nunquam desinens progressio seu numerus omni determitiabili major omκes huisis progressonis inrisates continet. IV. Numeri omni dato majoris essentialis proprietas, ac ratio ornaalis in perpetuo accretionis actu con istit, subsit stendo enim numerium determinabilem ficeret
W Quare, si qua alitas determinat s divida ir per numerum omni dato maJorem , seu continuo crescentem , n,
erit iasio A quantitas continuo decrescens manente enim numeratore, ac denominatore sine fine aucto diminuetur sit ae fine si actio. Unde infinitesimarum natura clarius illucescit , patet . que ipsas, non in determinatoriilodam indivisibili, ut ut exiguo
45쪽
exiguo, sed in quantitate, cuius ulterior dirniniuio actu continuo sine fine peragitur, consistere. Quibus perceptis Analysi infinitorum in Geoni tri o lapstis periculo utemur cum nihil hic in 'cinii ui divisi i litatem an commensurabilium asyna verris ira, ovibu scopulis allis Indi visibilium Methodus nauseam iam passi ira
videbatur, commissum sit. VI. Possent&plura ex progressionis infinrrv pr Dri 2 rate, circa numeros infinitos demonstrari Verb: V si a monadicorum progressitone singuli termini, seu uia rates: ducantur in determinatam quandam quantitatem erit,si terminorum uolitas aut inultitudo sit is, silmmanuius progrestionis In omni enim progressione e qualium terminorum aggregatum otio 'liber rou turrermino nyco in quolitatem terminorum respec ivam duisti, quod satis notum est. VII. Pater hinc, numerum si pliciter infinitu hilia eum Voco, qui oritur ex rogressione infinitis oui e m. sed meris unitatibus constanti per ouam liber Quantitatem multiplicatum aut divisum, exhibere numerum alitis e
neris infinitum m aut qui ad primum m determinatani
habet rationem, ut unitatem, aut ut unitas ad . VIII. Quin& hinc apparet, quodvis infinitum 'm, eisse summam progressionis aequalium ' cujus rermino mi aquolitas infinita est seu in est enim, 1 ma ρ p p. sic continuo es aue cessatione per eu- IX. Nec opus est, superioribus intellectis hoc effarum ad 'ruere omne scilicet infinitum in suo genere, analytice efferri, per quantitatem determinabile ii in m seu numerum in s nitum ductam ; sic in , m, ni,&c.sunt singulae, sed sui generis, instia it aequantitates. X, Ex quibus consequit tir, bre quantitatem njus si-
46쪽
bet generis infinitam vi ad determinat mr, ut infinitesima Gad nihilum geometricum, me converso est enim
quarta proportionalis i.' , tiae in re geometrica pro non quanto est habenda juxta Lemm . o. XI. Quare 'uicquid per infinite simam multiplicatum, per infinitum aliquod dividitur, nihilo aequivalet; XV. Hinc si aequationis expositae terminos uosdam infinitum aliquod multiplicaverit, aliique sint ex meris determinabilibus quantitatibus compositi Omnes termini infinito vacui ex aequatione poterunt, nihilorum ad instar. rejici sumto enim muro numiero infinito sit 33 ἰγDico fore 33zzmrYΦnum. Unde divisis perim erit 33α xΦnno rejectis terminis p xx de 3 tanquam infinitum non continentibu S. Demonstr. Cum cnim , existente ut supra, I -mγγ
rejiciendis, nc ductis omnibus in m remanebit aequatio, Tarx Nn q. e d. XIII Eodem modo probabitur ex qualibet aequatione inanes terminos per infinitum aliquod divisos, caeteris omni infinito sive multiplicanti sive dividenti immum oris, tuto posse rejici, tota enim aequatione per in rosa, Molixermini juxta Lemma Io nihil ad instar considerari pote-
XIV. Tum L terminos per infinitum multiplicatos, rursumque per infinitum divisos, pro determinabilibus
Ilaec autem praesenti instituto sufficiant.
47쪽
SI chirva AD , cujus intercepta
sex, applicata in dato quolibet angulo VPQ ac ducenda sit recta TE curvam tangens in E ii Unde ex data curvae sequatione inter applicat ina , interceptamque x constituta , quaeritur Tessetis, aut hanc tangentem determinans msetit, quam axis portionem P T applicata E& tangente E interceptam, ex Nob. Hugenii instituto subtangentem VocabimuS.
In linea Aαumata P infinitesima quali
catur et aequalis , quid istans ipsi hi qui
Unde patet ipsas Hoc D esse insipitesimas, cum per numerum omni dato majbi emm sint divisae, juxta Lemna. . EXponatur jam curvae quaelibet sequati arx xx 'mo intel'E P constituta ,haec eadem inter intercep
48쪽
statuatur, seu quod eodem redit, ita exposi
ta sequatione pro x ponatur Ar ai, ac loco,substituatur quod in posterum vocabo aquationem ad in sinite a redigere 9 emerget alia aequatio hac forma: i o ix h3 'bra J micro per Lemma Io deletis utpote nihilo aequalibus, tum terminis, qui dat in aequatio iem componunt, cum sibimu
divi lone facta per ac mutatis si nis ', quae invenienda erat. Q iod sit non P, ut mox, sed in linea in assumatur1 4. Inailesium C erit ob triangulorum T 'E , D HE similitudinem. EP:TP::EH: DH, seu γ t setaer DB
Unde redacta aequatione modo exposita ad insinite amas,seu loco, is ab litutis A 'Si sive - orietur aequatio nova
49쪽
rejectis juaeta Lem. Io. rejiciendis, iliaque; iae se inum e natura aequationis tollunt. λ tar dc reducta aequa- fiettione t γ. eadem cum modo inventa a. Si vero curVae proprietas hoc flagibet, poteritin ipsa D E , se tangentis aut juxta Lenam aue, curvae ipsius portio, infinitesimae loco assumi Sit, verbi gratia, expositae cur Vae haec relatio, ut, vocata curVae portione AE et, sit continuo et, et, α Νεγ , Messignanda ut recta curvam tangens in E quapropter assumta Di erit per modo monstrata TE EP: DE: EH, sea, ETE: TP: DE: D seu, s t: DΗUnde reducta hac aequatione ad infinitesimas, hoc ei: loco rectarum AP , PE ccurvae AE ad aequationem adhibiris rectis
50쪽
Quae, rejectis per Lemm Io rejiciendis , o terminis se nautuo tollentibus, nec non divisione per instituta remanebit reducta aequatione, Ex qua eqRatione sublata Laudit,per aequationem tu in Jam s quae triangulo rectangulo E PT ortum suum debet, quod si obliquangulum foret, aliam aequationem exhiberet. Tum doco ipsius et substituto valore ex aequatione curvae data et, is xv eliciendo, orietur irr- t II 4ttr X rII ' ru', cognita erit ipsi ex solis rectis,
3. In transitu noto, cur Varum aequationes,
quae alioqui sine curvae supposita longitudine exprimi posse non videntiar, tangentes nihilo minus exhibere solis itineis rectis explicabiles odeoque, si ipsius t aut valor aliunde per lineas rectas ignificari posset, mechanicarum artesii plurimas, si non Omnes, ad totidem Geometricas hae ratione reducibiles existere. Hoc saltem liquet, modo dictas aequationes, per solas rectas natura sua desiignabiles esse. aequatio enim curvae inibi discussae Σα, arx IJ, luae ipsam curvam a comprehendit,