장음표시 사용
221쪽
1M A POL LONO PERGAEI THEOREM A XLI. PROPOSITIO XLI. SI parabolen contingentes tres rectae lineae inter se conveniant, in eandem proportionem secabuntur.
SIT parabole ABC, quam rectae lineae A D E, E F C, D B P contingant. Di- eo ut CF ad F Ε, ita esse E D ad D A, & F B ad B D. Coniungatur enim A C, A & bifariam in G dividatur: perspieuum est lineam , quae ab E ducitur B GJectionis clametrum esse . Si igitur per B transit ; erit linea D F aeqvidistans AD C, & ab E G bifariam in puncto B secabitur: pro- fptereaque Α D ipli DEMEF ipsi P C aequalis erit. It constat igitur verum esse illud. quod proponebatur. fi Sed non transeat E G me R ,sed per aliud punctum, E quod sit H; & per H ducatur Κ Η L aequidistans /
A C, quae in H sectionem continget: erit per ea ,
quae dicta sunt, Α Κ ipsi K E aequalis, & C L ipsi / L E. Itaque per punctum quidem B ducatur Μ N P B X aequi distans EG: per A, C vero ducantur Α Ο, ' v- C P aequi distantes D F. Quoniam igitur M B ipsi x EH aequidi stati erit ΜB diameter; & DF in B Isectionem contingit. quare Α Ο , C P ordinatim 7 Vapplicabuntur. α quoniam M B diameter est; & ni. C M sectionem contingit; ordo atimque applicatur
C P: erit Μ B ipsi B P aequalis . ergo M F ipsi P C. ' quod elim M F sit aequalis P C , & E L ipsi L C; ut M. M C ad CR ita est EC ad CL: & permutando ut Ei Μ C ad C B, ita PC ad C L. ut autem MC ad CS, g , ita XC ad C G. ergo ut EC ad CL, ita XC ad C G. sed ut G C ad C A, ita L C ad C E ; quod utra-G que utriusque dupla sit. ex aequali igitur, ut E C ὸ oad CP,ita AC ad C X:& per conversione rationis ut . CE ad EF, ita CA ad A X: dividendoque ut CP ad P I Σ E, ita CX ad x A. rursus quonia diameter est ΜB; cotingitque Α N, & ordinatim applicatur AOi erit
, AD: N permutando ut ΕΑ ad ΑΝ, ita LA ad A D. sed ut EA ad AN,ita GA ad A X.quare ut Κ A ad A D, ita GA ad A X. atque est ut C A ad A G, ita E A ad A K: utraque enim utriusque est dupla. ex aequali igitur ut C A ad A X, ita E A ad Α D: & dividendo ut C X ad A Α , ita E D ad D A. demonstratum es autem ut CX ad X A , ita CF ad F E. ergo ut CFH ad F E, ita E D ad D A. rursus quoniam ut CX ad X A, ita C P ad AO. &
esse. I Ex vigesima nona secundi hxias.
B Si igitur per B traniit, erit linea DP ae,uidistana AC. Ex quinta fecundi
222쪽
THEOREM A XLII. PROPOSITIO X LII.
SI in hyperbola, vel ellipsi, vel circuli circunserentia, vel os Iositis sectionibus ab extremo diametri ducantur lineae aequidiantes ei, quae ordinatim applieata esti & alia quaepiam linea quomodocunque contingens ducatur : abscindet ex ipsis lineaς, continentes rectangulum aequale quartae parti figurae,quae ad eandem
diametrum coni ituitur . . . - . - , '
SIT aliqua praedicta ruin sectionum, cuius diameter A B : atque a mnctis iA, B ducantur linca: A C , B Daquicilianus ei, qLae oro inatim applicata est& alia quaepiam linea C E D in puncto E sectionem contingar. Dico rectangu tum lineis A C , B D contentum aequale esse quartae parti figurae,quae ad diame trum A B tonstituitur. Sit enim soctioni ipsi, A C , B D aequi distans. Itaque qui& est aequid istas P G: erit E G diameter iaequale est qiaciae rasti figura uae fit F G per B transit; aequales si ni R , retectangulum, quod continetur R C , iquartae parti fisurae , qLae ad A B ccnstiis A productae conveluast in K : 'caecari
223쪽
A a quid istans, EM vero aequidistans A B. Quoniam igitur rectangulum L F LB C quadrato A F est aequale: ut K F ad F Α, ita erit A F ad F L. est autem ut K Fad F Α, hoc est ad f B, ita L A ad A L: de convertendo ut B F ad F Κ, ita L AD ad A F.; componendoque vel dividendo, ut B L ad K F, ita L Κ ad Κ Α . sed ut B K ad K F, ita D B ad F Η: & ut L Κ ad Κ Α, ita E L ad C Α. ergo ut D BE ad F Η , ita E L ad C A: & propterea rectangulum contentum D B, C A aequa-F le est et , quod FH, E L continetur , hoc est rectangulo H F M . rectangulum autem HvM est aes uale quadrato F G , hoc est quartae parti figurae, quae ad Α B. rectangulum igitur ex D B, C Α aequale est quartae parti figurae, quae ad
FED. COMMANDINUS. A QUONIAM igitur rectangulum Κ F L quadrato Α F est aequale. 2 Ex DA
sequitur ex in. quinti. Quoniam enim ut R F ad F A, ira A F ad F L reis in X F ad F A , ita X F , σ F A ad a s F EI F L , hoe est R A ad se L. sed in ellipsis eirenti ita dicemus . Aoniam ut R F ad F A, ita e F ad F L : per eonversionem rat ovis erit in F R ad R A , ita F A ad A L e ιν permutando ut R F ad P A , ita R A ad se L.
mor addidimus perspicuitatis eausa , qaea tamen desiuerari videbantur. E Et propterea rectangulum contentum D B, C A aequale est ei, quod F Η, Ε Leontinetur. Ex 16.fexti. F Rectangulum autem H F Μ aequale est quadrato P G. trigesima Octava pri
THEOREM A XLIII. PROPOSITIO XLIII. SI hyperbolen recta linea contingat , abscindet ex asymptotiS ad sectionis centrum lineas continentes rectangulum aequale ei, quod continetur lineis ab altera contingente abscissis ad verticem
SIT hyperbole A B, cuius asymptoti C D, D E; & axis B D: ducatur autem per B Iinea F BG sectionem contingens: & alia quaepiam utcunque contingens duratur CA H. Dico rectangulum F D G rectangulo C D H aequale esse. Ducantur enim a punctis A, B lineae A Κ, B L, quae ipsi DG aequid istent; & lineae Α M,B N, quae aequid istent C D. Quoniam igitur CAI fleeundi sectionem contingit: erit C Α aequalis A H . quare C Hhv v dupla est Η Α: & C D ipsius A M; & D H ipsius A Lib. dupla. ergo rectangulum CDHquadruplum est rectan- , , laesidi guli Κ A M. Eodem modo demonstrabitur rectangulum huius. F D G rectanguli L B N quadruplum. sed rectangulum Κ Α M est aequale rectangulo L B N. rectan*ulum igitur C D H rectangulo F D G aequale erit. similiter demonstrabitur,etiam si D B M al ia quaepiam diameter, & non
224쪽
CONI CORVM LIBER III. ii ΤHEOREM A XLIV. PROΡOSITIO XLIV. SI hyperbolen, vel oppositas sectiones contingentes duae rectae lineae asymptotis occurrant: quae ad occursus ducuntur, lineae
tactus coniungenti aequi distantes erunt. SIT hyperbole, vel oppositae s ctiones A B; a ymptoti vero C D, DE; & contingentes C AH F, E B H G:iunganturque A B, F G,
C E. Dico eas inter se aequiuis antes esse. Quoniam enim rectanguis tum C D F aequale est rectangulo
G D E: ut C D ad D E , ita erit G D ad D F . aequidistat igitur C E ipsi G P: & ideo ut H G ad G E, ita Η F ad F C. ut autem E G ad G B, ita C P ad F Α : utraque enim utriusque est dupla. erio ex aequali ut H G ad G B, ital F ad F A. linea igitur G F ipsi A B est aequidistans.
225쪽
APOLLONII PERGAEI PED. COMMANDINVS
IIS A QUONIA M enim rectigulum C D F aequale est rectangulo G D E:ut C D ad
D EL, ita erit G D ad D F. in me in pediboia ira esse ex antecedeme constaw: sed in opposieis sectionibus, ei m linea A B per ceu γωm D non transiri, ab Eupoeia in sine eommentaris demonstraturistiadsi A B transerat per D; istud facile eonstare potest. deseripta etenim Mura, linea C F , Esi aquidistantes sunt. qaare triangula in D F , SPE similia e Gr eum G P sit aqualis D B ; etiam inter se
Mualia erunt. eadem quoque ratione aqualia osten aeracae tria
gula C D A, 9 Dd . ergo totam triangvitam C D F eaei G D Eest quale. σ ex quintadecima propositione sexti Elementorum, ωρ C D ad D 9 , ita est EP ad D F ; prem tandoque ut C Dad B E , ita G D ad D F . erga C E , G F inter se aqαidistant. Prasemea, ex demonstratis in quinta decima fecundi huius , linea C - , - F , E B , B ς aquales sunt: ideo ae ct aqualesor aquidis antes linea, qua tuas contaneunt. eum .pitur CE, F G q,idistent ipsi in B ; etiam inter sese aquidinabant. B AEquid istat igitur C E ipsi G F . Camen in sit Aa C D ad Mevi. . DE , sta9 D ad D F,σ angulus ad D, vel communis, vel aqualis r erit triangulum a T. Primi G D F triangalo CBE simile . ct angatas D 9 F aquaIιι angvis DC E. ergo G F , C E inter se aquidissent necesse est. C Et ideo ut H G ad G E , ita H F ad F C. J se oppositis sectionibus sequitur ἐά deae Deaenda sextirat vero in ἡνperbola ob similis dinem triangatorum C H E,9 H F,urg Had Hsi , ita est C Haa H F ; edi eamponendo , convertendo ne ut H9 ad GE, Da H F ad F C . fge aatem incipit demonsi are lineam 9 F ipsi a B agaidistantemese a quod γidem ab Eutocio etiam alit, demonstrat r. D Linea igitur G F ipsi A B est aequid istans . Ex feeun a sexti in oppositis sectio--M sed in Uperbola c-- sit vi H 9 ad 9 E , ita H F ad F A; 7 convertenda , di--dendoque ejit ut B H ad HS , ita A Hau H F ; ct peγmatando ut d Had H A , a 9 Had Η F .sunt autem anguli ad Hinter se aquales . triangulum igitur is es BM sim, ιe eLP triangulo 9 H F .ct aetatas e B G a 4atis angulo B 9 F. quare G F ipsi AE aquid as .
THEOREM A XLV. PROPOSITIO XLV.
SI in hyperbola, vel ellipsi, vel circuli circunserentia, vel oppositis sectionibus ab extremo axis lineae ad rectos angulos ducantur;& quartae pasti figurae aequale refringulum comparetur ad axem ex utraque parte,quod in hyperbola quide,& sectionibus oppositis excedat figura quadrata, in ellipsi vero deficiat ; tu ducatur linea
sectionem contingens, occurrensque eis, quae sunt ad rectos angulos: lineae, quae ab occursibus ducuntur ad puncta ex comparatione facta ,angulos rectos ad ea essicient.
' SIT una dictarum sectionum, cuis axis A B ;& lineae A QB D ad rectos angulas ducantur: contingat autem C E D, & quart. e parti 1 sure aequale rectangulum comparetur ex uir que parte, sicuti die um est, videli et rectangulum
226쪽
M sAFB,&ΑGBr & eonivngantur C F, C G, D F, D G. Dim angulum C F D,& angulum C G D rectum esse. Quoniam enim ostensum est rectangulum ex A C, B D aequale quartae parti figurae , quae ad A B eonstituitur ἱ atque est rectangulum A F B aequale quartae parti eiusdem figurae: rectangulum ex A C, B D rectangulo A P Baequale erit. ergo ut CA ad
AF, ita FB ad BD.& sunt anguli, qui ad A, B,recti. an uius igitur Α C F angulo F D es qualis, angulusque R F C aequalis angulo F D B.& quoniam angulus C A P est rectus:anguli A C F,
AFC unire aequales erunt. Gemonstratum autem est angulum AC Faequalem esse angulo D F B. ergo C F Α , D F B anguli uni recto sunt aePales. reliquus igitur angulus D F C rectus est . similiter & angulus CGD rectus e
bala angulus D F C ex duobus angulis C F in , D F B constat.
THEOREM A XLVI. PROPOSITIO XLVI.
IISDEM positis, lineae coniundita aequales facient angulos ad
contingentes. IISDEM nanque positis, dico angulum A C r angulo D C G; & angulum C D F anguis B D G aequalem esse .
Quoniam enim ostendimus uintrunque angulorum C F D, CGD rectum esse: si circa diametrum C D circulus describatur, per puncta FG tra ibit . quare angulus DC G aequalis est angulo D P G i quod sint in eadem circuli portione. angulus autem DFG angulo AC Feliaequalis, ut demonstratum ruit . ergo & D C G angulus aequalis erit angulo A C F. Eodem modo, & angulus C D F angulo B D G aequalis ostendetur . .
THEOREM A XLVII. PROPOSITIO XLVII.
IISDEM positis,linea b occursu coniunctarum ad tactum d , perpendicularis est ad contingentem.
PONANTUR eadem , quae prius; & lineae C G, F D sibi ipsis occurrant in H: C D, B A productae occurrant in Κ, coniungaturque E H. Dico E H ad
227쪽
C D perpendieularem esse. Si enim non est ita; ducatur a puncto Had CD per. pendicularisi L. Quoniam igitur angulus C D P aequalis est angulo G DB .&angulusUB Grectus aeq ua lis recto U L H:triangulu DUB triangulo L IID simile erita quare ut G Dad DH,
ita BD ad D L. sed ut G D ad DH, ita PC ad CH: propterea lix B quod anguli ad P G recti, & qui ad H aequales sunt. & ut F C ad C si Η, ita A C ad C L, ob similitudinem triangulorum A F C, LCH. ut igitur B D ad D L, ita A C ad ad C L: & permutando us D d ado CA, ita DL ad L C. ut autem D OB ad C Α, ita B Κ ad Κ A. ergo L .ui D L ad L C, ita B Κ ad K A . is in Itaque a puncto E ducatur linea lEM ipsi AC aequid istans, qu ad A B ordinatun applicata erit; &ut B Κ ad Κ Α , ita erit B M ad Μ A. ted ut B M ad Μ Α, ita D E ad E C. quare ut D L ad L C, ita erit D E ad E C : quod est absurdum. non igitur H L perpendicularis est ad L C, peque alia ulla, prM ter ipsam H E. FED. COMMANDINUS A QUONIAM igitur angulu, C D Faequalis est angulo G D B . Est enim ex
Et ut B Κ ad K A , ita erit B M ad M Α . in Est enim ex
ut aarem NMad MC , ita D E ad E C. ergo ut B M ad Me , ita P E ad E C. Quare ut D L ad L C, ita D E ad E C , quod est absu dum . J Si enim fieri potest , sit tir D L ad L C , ita D E ad E C t erit converteκdo tit C L ad L D, Da C E ad EB o ct ἀίsidendo ut C D ad D L , ita C D ad D E . ergo ex noVa quinii D L est arualii 'DE, pars toti, quod es absurdum.
228쪽
CONICORUM L I A E R ri r l. THEOREMΑΣ v III. PROPOSITIO XLV III. IISDEM positis, ostendendum est lineas, quae a tactu ducumtur, ad puncta ex comparatione facta, aequales continere angulos
ad contingentem. PONANTVR eadem, quae prius: &coniungantur EF, EG . Dico angulum C E F angulo G E D P
diametrum D H descriptu per puncta E,G transibit. quare agulus D H G qqualis erit angulo D E G ut ea- I J
angulus angulo C H F est qualis, & angulus C H F 'angulo VHG, quod sint secundiim verticem. angulus igitur C E F angulo GED aequalis erit.
OD sint secundum verticem. I LMelιigendam est hoc in ellipsi, nam in bypem A
THEO REMA 3LIX. PR OPOSITIO ILIX. IISDEM positis,s ab aliquo punctorum ad contingentem per pendicularis agatur: quae a facto puncto ducuntur ad axis extre
ma , rectos angulos continebunt. PONANTUR eademi & a puncto G ad CD ducatur perpendi laris G R& Α Η, B H ungantur. Dico em Aangulum A H B rectum esse. - Quoniam enim angulus DBG, Σ
229쪽
APOLLONII PERGAE I. io FED. COMMANDI NV s.
diametrum C G ei culus deferibatur ἱ ρον puηcta A, G transibis σ aetati ais G C , A H C in eadem eireati portione ἰntre se aquales erunt.
C Et propterea angulus CH G angulo Α Η Β . I Addito scilicet utrisue a galo commini a ia hyperbola quidem BHC , in eius verὸ A HV aetati.
THEOREM A L. PROPOSITIO L. IISDEM postis, si a centro sectionis ducatur linea contingenti occurrens i aequidistansque lineae, per tactum N per unum punctorum ductit: dimidio axis aequalis erit,
SINT eadem, quae supra; & centrum sit H: iungatur autem E Pa 6t lineae D C, B A inter se conveniant in Κ; & per riducatur H L aequid istans E P. Dieo L H ipsi
H B aequalem esse. Iungantur enim EG, A L,
A aequidistans. Quoniam igitur rectangulum AF B est aequale rectangulo A G B: S linea Α F lineae G B aequalis erit . est aurem & Α HB aequalis H B. ergo S E H apii H G: & propte- C rea E L ipsi L M est aequalis. itaque quoniam demonstratum est angulum C E P angulo M primi. DEG aequalem esse. estque angulus C E Faequalis angulo E M G : erit & E M G angu- Ius ipsi M E G aequalis, & linea E G lfiutiuG M. sed & E L est aequalis L M, ut d cmon- D stravimus. linea igitur G L ad E M eii per . E pendicularis . est autem & angulus A I. urectus. quare si circa diametrum A B cuculus describatur; per punctum L transibit. atque est Α Η aequalis H B. ergo & H L, quae est ex centro circuli, ipsi H B aequalis erit.
aequale rectangulo AG s: & linea A F lineae G B aequalis erit. me ὰ nisis demonstratam est in eammentariis io sextam decim fecηndi hώιur.3 Et propterea E L ipsi L M est aequalis. me in ellipsi . . festum est . iv perbola vera prodacatar i Husque ad E G in N: ct eum F H sit aqualis HV ; erit E Nasualii NG. in avitem E N ad NG, ita E L ad L M. erro E L si L M aquatis erit. C Itaque quoniam demonstratum est angulum C E F angulo D L G aequalem esse . in D quadragesima octava hutas. D Linea igitur G L ad E M est pcrpendicularis. J Eae dissuistine linea perpendicu-ιajis . se Aitur enim ex dictis angulum 9 L E angulo G L Messe araalem. E Est autem & angulus A L B rectus. Ex anteeedente. THE
230쪽
CONICORUM LIBER I I L MaTHEOREM A LI. PROPOSITIO LI. SI in hyperbola, vel oppositis semonibus ad axem comparetur rectangulum aequ/lequartae parti figurae, excedesque figura quadrata, & a punctis ex comparatione facts ad quamlibet lectionem rectae lineae inclinentur: maior minore quantitate axis superabit.
SIT hyperbole, vel oppositae sectiones, quarum axis AB, centrum C &quartae parti figurae aequale sit utrunque recta-
gulorum A D B, Α E B: & a eunctisE, D ad sectionem inet, ,. nentur E F, F D. Dico E F ipsam F D superare quantitate ΑΒ. Ducatur enim per F linea FΚΗ sectionem contin- is ugens:& per C ducatur G C H aequidistans F D. erit angulus il asprimi KMG angulo Κ F D aequali Malterna inim sunt:& angulus Κ EZ ΛF D aequalis angulo G F is ergo & G FH ipsi G H F,lineaque UF G lineae G H, & linea P G ipsi G E aequalis erit: quod ει /D BA E aequalis sit D B, & A C ipsi C B, & D C ipsi C E. est igitur linea GH aequalis G E: &ob id F Eipsius GH dupla. l ZM Itaque quoniam demonstrata est C Η ipsi C B aequalix: erit I eE P utriusque G C, CB dupla. sed ipsius quidem G Cdu- γ Dpla est F D; ipsius vero C B dupla A B. linea igitur E F utri- que F D, Λ B est aequalis: & propterea E F ipsam F D superat quam itate A B. FED. COMMANDINVS .ETangulus L F D aequalis angulo G PΗ . Ex quadragesima octava huiωι .
Itaque quoniam demonstrata est C H ipsi C fi aequalis. J La antecedente scilicet. Sed ipsius quidem G C dupla est F D enim vi F E ad EG, Da F D ad G C. I sed F E dupla est E 9 . ergo σ F o ipsius G C dula . V aeni.
THEOREM A LII. PROPOsIΤIO LII. SI in ellipsi ad maiorem axem ex utraque parte comparetur re
Elangulum aequale quartae parti figurae, deficiensque figura qua drata, & a punctis ex comparatione factis ad sectionem rectit lianeae i nclinentur: ipsi axi aequales erunt.
SIT ellipsis, cuius maior axis AB; & sit utrunque rectangulorum A C B , A D B aequale quartae parti figurae: &a punctis C, D ad sectionem inclinentur rectae lineae CE, E D. Dico C E, E D axi Α B aequales este. Ducatur enim linea contingens E F H: & per centrum , quod sit G , ducat ut G Κ H ipsi C E aequidi ilaris. Quoniam igitur angulus