장음표시 사용
61쪽
1 SECTIO NuM CONICA RuM quadratum cujusvis ordinatae excedit femperrectangulum , quod si ex parametro in abscissam corrispondentes .
Excessus porro est rectangulum aliud. quod in si stens eidem hbscissae , eth simile, simi. iliterque positum et , quod diametri figuram constituit. Nam , ducta OS ipsi FG parallela, et it relate ad quadratum ipsius DΚ rectangulum OSR istiusmodi excessus et quod quidem ipsi OS , seu FΚ insistit, Se est simile, si initi terisque positum ei. quod fit ex FO in FG; quum sint circa eandem diagonalem ejus te elanguli. quod sub ipsis GR , RR continetur. IV. Caeterum etiam in hypeihola ratio, qtiam habet parameter ad diametrum, potest perre Ias,is cono ductus facili negotio desviri.Positis enim omnibus , ut supra . si ducatur ex vertice eoni A recta Ax, ipsi FG parallela, quae conveniat cum BC in x 3 erit, ut para- metet FO ad diametrum FG , ita rectangu Ium B XC ad Ax quadratum . Nam rectangulum BR C , vel ei aequale quadratum ex DR , est ad rectangulum FΚGin ratione composita ex BR ad FΚ . ct ex CΚad GR . Sed BR est ad FΚ , ut BX ad Ax; itemque CR est ad GR , ut CX ad Ax . Itaque erit DΚ quadratum ad rectangulum FRGin ratione composita ex Bx ad Ax, ct ex CT ad Ax.
Iam duae istae rationes componunt patItercatiovem . quam habet rectangulum B XC ad Ax quadratum . Et igitur erit ex aequali, ut
rectangulum Bx C ad AT quadratum . ita DRquactatum ad rectangulum FΚG. Sed DΚ
62쪽
ELEMENTA. quadratum est ad rectangulum FRG , ut Foad FG . Quale erit rursus ex aequali, ut Fo
v. Atque hine modo facile erit , suo ex n. i.
cono triangulo per axem, eruere,ope o rapvper-oolum ex ipso coclo, in qua parameter ad diametrum datam habeat rationem . Sit enim BAC Mi te ad
triangulum, per axem sectum,cujus ope hyper- ret, Lhola ex eo no est eruenda . Ducatur in plano ejus recta Ax,quae conveniat cum BC ita quiadem in x , ut rectangulum B XC ad Ax quadratum sit in data illa ratione . Et quaelibet hyperbola, quae per triangulum BAC subinde Eruitur ex colio, ut diameter eius parallela fiat ipsi Ag, quaesitae conditionem adimpletabit Neque veto dissicile erit, adhibito triangulo BAC , talem ex cono hyperbolam erue re, quae diametrum habeat, rectae Ax parallelam . Dueatur si quidem in plano ejus trianguli recta quaevis FG . aequid istans ipsi Ax , α conveniens cum BC in Κ . Agatur postea per Punctum isti id Κ in Fano cireuli BCo recta DE . eidem BC perpendicularis . Et planum, transiens per rectas rum G, DE , hyperbolam,
quam quaerimus , in cono producet. Hinc etiam , si hyperbolam, ex cono eruendam , talem esse oporteat, ut data sit is ea . tam ratio parametri ad diametrum . quam ipsisti diametri longitudo et solvetur problema, si duch i, ut pr os, recti A X ea lege . ut teis
angulum B C ad Ax quadratnm sit in da. ea ratione I agatur deinde ita quidem FG . ut
63쪽
SECTI ONuM CONICA Ru Miron modo sit parallela ipli Ax . sed etiam , ut portio ejus , trianguli lateribus conlprehensa, datam diametri longitudinem adaequet. I. Sed,ad lemmaticum illa d problema folivendum, nimirum ad ducendam in plano trian- ., guli B AC rectam illam AX; neque etiam magna. i. 5--.-ioier id opus est. Producatur enim trian - . sevis . guli latus unum AC adeo quidem in M , ut FIG. II. C M ad AC datam illam rationem obtineat . Agatur postea per punctum M recta MN , ipsi BC parallela, quae conveniat in N cum circuma ferentia circuli,triangulum ambientis . Et punctum istud N definiet positionem i plius A X. Nam , propter circulum , rectangulum
B C est aequale rectangulo AX N. Sed rectangulum AX N est ad Ax quadratum , ut N ad A X.sive, ut C M ad AC. Quare ipsum quoque tectangulum B XC ad Ax quadlatum erit, ut C M ad AC: & propterea , quum CM sit ad AC in data rationeterit pariter in eadem data ratione rectangulum B XC ad Ax quadratum.
Sive autem data ratio sit minor s ad mais jus , sive majoris ad minus , recta illa AX non semper duci poterit. Hic enim punctum Mnumquam reperitur inter alia duo A, & C; sed semper ad partem alteram ipsius C i proinde, que, quaecumque sit ratio ipsius CM ad AC semper fieri potest, ut recta MN , quae duci tur per punctum M ipsi BC aequidistanter,
circuli circumferentiam non secet. Unde etiam , si ex cono triangulum Per axem secetur,& eruenda sit,ope ejus,hyperbo Ia ex ipso cono,in qua parameter ad diametru dam
64쪽
ELEMENTA. de datam habeat rationem : problema poterit est solutu impolithile, non modo, quum ratio data e th maioris ad minus; verum etiam, quum eadem illa ratio est vicissim minoris ad majus.
vi I. Etiam in hyperbola magnitudo,quam .a habet diametri figura, per rectar is cono duuar, Mm de nullo negotio potes definiri . Manentibus namque omnibus , ut supra , ducantur ex utroque
diametri vertice ructae FR, GS. ipsi BC paral- ....telae, quae conveniant in punctis R. ct S cum lateribus trianguli. Et rectangulum . sub his rectis comprehensum , diametri figuram adaequabit . Nam rectangulum BR C, vel ei aequale quadratum ex DΚ , est ad rectangulum FΚG in ratione composita ex BR ad F Κ , & ex CΚad GR . Sed Bae est ad F Κ , ut CS ad FG sitemque CR est ad GR , ut F R vd FG. ltaque erit DR quadratum ad rectangulum FΚG in ratione composita ex GS ad FG, & ex FR ad FG.
Et quoniam duae Istae rationes compu-nunt quoque rationem , quam habet rectangulum sub ipsis FR . GS ad FG quadratum Ierit ex aequali, ut DR quadratum ad rectam gulum FΚG , ita rectangillum ex FRin G sad FG quadratum. Unde , sicuti DL quadratum est ad rectangulum FΚG , ut FO ad FG, sic erit rursus ex aequali, ut FO ad FG . ita rectangulum ex FIL in CS ad FG quadratum. Jam , assumpta communi altitudine FG, ut est FO ad FG, ita est rectangulum ex FO in FG ad idem FG quadratum . Et igitur rectangulum ex FR in CS *quale erit rectangulo ea
65쪽
c SpCT Io NuM CONICARUMFo in FG. Sed figura diametri constituitur per rectangulum ex FO in FG. Qua te aliud illud rectangulum ex FR in CS praefatam diametri figuram adaequabit. III. v I u. Ex eo autem, quod rectangulum
sub ipsis FR . CS adaequet diametri figuram. retri quae constituitur per rectangulum ex FO in
...is e... FGs plura nobi derivantur theoremata, qu ruin ope, etiam ignorata diametri singitasti. M. ne, de iri poterit parameter eius in cono.
FIG. IO. Nimirum primo Fo erit ad FR, ut est Bx ad AX . Nam, quum rectangulum ex FRin GS sit aequale rectangulo ex Fo in FG terit, ut FO ad FR , ita GS ad FG. Sed G Sest ad FG , ut B X ad AT . Itaque erit ex T- quali, ut FO ad FR , ita B X ad A X. Secundo FO erit ad GS , ut est CX ad
AX . Nam , ob eandem eorum rectangulorum aequalitatem , erit, ut Fo ad GS , ita FR ad FG. Sed FR est ad FG in eadem ratione, quam habet CX ad A X . Quare erit ex aequali , ut FO ad GS , ita CX ad A X . Tettio FO erit ad AF , ut est rectangulum CBX ad rectangulum B AX . Nam FO ad AF rationem habet compositam ex FO ad FR , S ex FR ad AF ; sive etiam ex Bx ad Ax , ct ex BC ad AB . Sed duae istae rationes
componunt quoque rationem , quam habet
rectangulum CB X ad rectangulum BAX. Itaque erit ex aequali, ut Fo ad AF , ita rectan. gulum CBx ad rectangulum B AX . Denique FO erit ad AG . ut est rectangulum BCX ad rectangulum CAX. Nam Foad AG rationem habet compositam ex Fo ad
66쪽
Gs , ct ex GS ad AG ; sive etiam ex CX ad Ax , & ex BC ad AC . Sed duae istae rationes
componunt quoque rationem , quam habet rectangulum BCX ad rectangulum CAX . Quare erit ex aequali, ut FO ad AG, ita reis elangulum BCX ad rectangulum CAX. IX. IX. Unoquoquo horum theorematum deis ter minabitur parameter in cono , etiam Hame- tri longitudine non cognita . Sed determina- 'tionem omnium simplicissimam suppetit nobis ipsa illa proprietas , unde recensita suunt theoremata . Fiat enim angulus FRu aequalis Fio. io, angulo A FG. Et portio Fu , abscissa ex diametro FG per rectam RV , erit quaesita para- metri longitudo . Nam , ob aequalitatem eorum angulorum . erit, ut FR ad FU , ita FG ad GS. Unde rectanguluin ex FR in CS aequale erit re E angulo ex Fu in FG . Sed rectangulum ex FR in CS adaequat diametri figuram. Quocirca eidem figurae erit etiam aequale rectanguintum ex Fu in FG : adeoque, quemadmodum unum ejus latus FG est ipsa diameter. ita latus alterum Fu diametri parametrum adaequabit. T. X. Idem problema de determinanda pa- a M es se
ra metro in cono , nulla habita ratione studia- - νδ interis
dinis diamtiri , potest etiam resolvi in hunc
Ex vertice coni A ducatur, tum recta AΚ perpendicularis ipsi BC . cum recta AH, Fio. Io. Perpendicularis diametro FG . Abscindatur deinde ex priore AΚ portio AI,aequalis alteri
AH . Et recta MN , ducta per punctum I ae
67쪽
at s ECTIO NuM CONICA Ru Mquid istanter ipsi BC . longitudinem parametri exhibebit. Demissa etenim super Ax perpendicula. ri BL , erit AR ad BL in ratione composta ex AR ad AI, R ex AI, seu AH ad BL . Sed AΚ est ad AI , ut BC ad MN , itemque Aldest ad BL , ut AE ad AB , sive, ut FR ad BC. Itaque erit AR ad BL in ratione composita ex FR ad BC, Se ex BC ad MN Ei proindeque,
quum duae istae rationes componant pariter
rationem , quam habet FR ad MN , erit exaequali, ut AR ad BL . ita FR ad MN. Et quoniam AΚ est ad B L, ut A X ad B X , sive etiam , ut FG ad GS ; erit rursus exaequali, ut FR ad MN , ita FG ad GS . Unde
rectangulum ex FR in GS aequale erit rectanis gulo ex MN in FG. Sed rectangulum ex FRin CS ad aequat diametri figurem . Quare eidem figlirae erit etiam *quale rectangulum ex MN in FG : & propterea, sicuti unum ejus latus FG est ipsa diameter , ita latus alterum MN diametri parametrum adaequa hi t.
C A P. VI.stuae it parabolae relate ad dia.
i I. D Lliquum iam est, ut parabola: re.
I lato ad diametrum naturam a P metrum pro- riamus . Primo igitur in ea, si bivae ad diame--.. t tram ordinata sicantur; erant earum quasi ta
68쪽
ELEMENTA. dyta inter fe , quemadmodum sunt abscissae , quae itis ordinatis correspondent. Fiat enim in cono ABC sectio parabolica Fio. s. DFE , S ad illa metrum eius FG. quae uni laterum trianguli, per axem s.cti, debet esse parallela , ducantur duae ordinatae DΚ , HL. Ostendendum est , DR quadratum esse ad HL quadratum , quemadmodum est abscissa FΚ dabseim in F L. In eodem cono fiant et Iam circuli duo BCD, MN H per plana, has aequid istantia . Et quoniam eorum diametris BC . MN inli stune ad rectos angulos rectae DX , HL ; erunt istarum quadrata aequalia rectangulis BΚC ML N. Itaque erat , ut DR quadratum ad HL quadratum . ita rectangulum BRC ad rectanguis tum ML N. Jam , propter parallelas AC , FG , latera horum rectangulorum CR , NL aequalia sunt inter se . Qua te ratio ipsorum aequalis erit ei, quam habet latus BR ad latus M L. Sed BΚ
est ad ML . ut FΚ ad F L . Et igitur erit exaequali, ut DΚ quadratum ad HL quadratum, ita FΚ ad F L.
II. Hinc,si ex vertice F ducatur recta FO, , sordinatis parallela , quae sit talis longitudinis,
ut quadratum unius ordinatae DR sit aequato rectangulo correspondenti OFΚ; erit quadra- metrum , t tum cuiusvis alterius ordinatae HL aequale pariter rectangulo OFL , quod ei correspondet. nemostensum est enim , Dic quadratum esse ad HL quadratum , ut est EΚ ad FL . Sed in hac eadem ratione est etiam rectangulum OFΚad rectangulum OFL . Quare erit ex aequali, Tom.I. D ut
69쪽
ψo SECTIONUM CONICARUM ut DR quadratum ad HL quadratum . ita reis et angulum OF Κ ad rectangulum OFL: Sc propterea . sicuti ponitur DΚ quadratum ae- quale ruet angulo OER , ita HL quadratum rectangulo OFL pariter aequale erit. Recta ista FO, quum nobis usui erit.
diametri parameter appellabitur , quae quidem in ea semper positione relate ad diametrum inistelligi debet, ut sit eius ordinatis parallela. Ipsius autem habita ratione , peripicuum est. id quidem parabolae contingere, ut quadratum e cois ordinata sit aequale recIangulo , quod fit ex parametro in abscisam correspondentem. Nec sane alia de causa , quum os a qualitatem iam , sortita est haec conica seetio parabolae
F,. 2 i. CRterum , ad determinandam in ipso
Misa ,-d- cono parameIri longitudinem , usili nobis esse possunt theoremata duo , quae sequuntur. paramet 3 Primum est, quod, si ex vertice diametri
F ducatur recta ER, ipsi BC parallela , Fo sie' ad FR , ut est FR ad AR , sive etiam , ut est
BC ad AC . Num idem DΚ quadratum aequale est, tum rectangtilo BR C, propter circulum, cum rectangulo OFR , propter parabolam. Quare duo ista rectangula BΚC , OFΚ aequalia erunt inter se & propterea erit, ut BR ad
FΚ , ita FO ad CR, seu FR . Sed BR est ad
FR, ut FR ad A R. sive, ut BC ad AC. Itaque erit ex aequali, ut FO ad FR , ita FR ad A R. vel ita BC ad AC. Alterum theorema est , quod FO sit ad AF, ut est BC qu.dratum ad rectangulum BAC . Nam FO est ad AF in ratione compo- sit a
70쪽
ELEMENTA. y Ista ex FO ad FR & ex FR ad AT; si ve etiam ex BC ad AC , S ex BC ad AB . Sed duce istae
rationes componunt quoque rationem , quam habet BC quadratum ad retangulum BAC. Itaque erit ex aequali, ut FO ad AF , ita BC quadratum ad rectangulum BAC. IV. Utroque horum theorematum deteris I T. minabitur in ipso cono Avitndo parametri. Speciatim vero ex theoremate primo subori. mra . O-tur nobis determinatio ista , valde simplex , ac et elegans. Nimirum ad punctum R siat angulus Rem par
FRu , aequalis angulo F G, sive BAC. Et et
portio Fu , abscissu ex diametro FG per re-Fio,ia. Etam R v , erit quaesita parametri longitudo. Nam, ob angulos illos aequales , erit . ut FU ad FR , ita BC ad AC . Sed ex primotheo temate BC est ad AC, ut FO ad F R. Itaque erit ex aequali . ut F v ad FR . ita FO ad eandem FR : ct propterea Fu ipsi FO aequalis erit. v. ldem problema , de determirumanda in v. cono longitudine parametri , resolvi quoque et et .
potest in hunc modum . d. iis reusEx vertice coni A ducatur, tum recta ET TAR, perpendicularis ipsi FG , cum recta AH, - - Perpendicularis diametro FG . Ab se indatur' i deinde ex priore AN portio AI, aequalis alte ii AH. Et recta MN,dueta per punctum I aequi- distanter ipsi BC , longitudinem parametri exhibebit. Demim enim super AC perpendiculari BL ,etit AR ad BL in ratione composita ex