장음표시 사용
271쪽
ata 2ECTIO NuM co Nete Axu MJam duplum rectanguli EAΚ una mim. ' in quadiato est aequale duobus quadratis AR , AE. Quare erunt tria quadrata AR, MN. EN aequalia duobus quadratis AR, AE, adeoque, dempto communi quadrato ex AR, remanebunt quadrata duo MN , ER aequalia quadrato ex AE . Unde quadratum diametri AE superabit quadratum suae parametti in per MN quadratum, quod ex constructione datam differentiam adaequati Fio. t 6. Qu*ntum ad secundum casum , solutio' problematis fiet hoc pacto. Extendatur rursus tangens BH ad partem alteram versus Melta, ut fiat B M aequalia ipsi AB. Tum , juncta AM , erigatur super ea perpendicularis MN talis longitudinis , ut quadratum ejus datam disterentiam adaequet . Jungatur deinde AmJamque , si in angulo ABH applicemus reis Etam AΚ aequalem ipsi AN,erit AE diametet
Quum enim AM quadratum sit aequale
duplo quadrati ex AB, sive etiam duplo re dianguli EAR apposito communi quadrato ex MN, erit AN . sive AΚ quadratum aequata Ie duplo rectanguli EAR una eum MN quadrato et & propterea, addito rursus communi quadrato ex AE;etunt duo quadrata AΚ, AEaequalia duplo rectanguli EAR una cum duo is bus quadratis AE, MN. Et quoniam duo quadrata AR. AE lane aequalia quoque duplo rectanguli EAR una cum in quadratoi erit in quadratum aequale duobus quadratis AE, MN. Unde qua- aratum diametri AE sverabitur a quadrata suae
272쪽
ELEMENTA. ar suas parametri EΚ per MN quadratum , quod ex constructione datam differentiam adae
XII. In ultimo problemate doeebimus , EIL quomodo , datis axibus ellipsis , ireveniri possit diameter talit , si data sit summa quadrato- , seu oram, qua fiunt ex lateribus suae figurae. Hune
in finem, manentibus omnibus, ut supra, pona D D-
mus tectam PQ esse ejus longitudinis, ut duplum rectanguli ex AB in P datam illam c meta M'summam exhibeat. Tum , descripta super ea , ., . ''eitculi portione PSQ, quae suscipiat angulum Fiq. spserni reeium , erigatur perpendicularis P T. aequalia dimidio ipsius AB . Et per punctum T ducatur recta D,eidem PQ parallela, quae circuli portionem secet in S. Sit deinde E punctum , quod bisecae portionem CED . Et quoniam , demisso perispendiculo EG , fiunt duae EG , PT aequales inter se , poterit triangulum PStata quidem aptari super AB , ut punctum S cadat in E. Aptetur itaque triangulum illud super AB ea lego, sitque oER . Erigatur porro perpendi. eularis ON. Et juneia AN , dabit ista diameistrum quaesitam. Extendatur enim AN usque donec tangenti BH occurrat in M . Et quoniam anguis Ius OER , velut aequalis angulo PS Q, est aequalis angulo B AE , per ea , quae ostensa sunt in calce capitis praecedentis , erit summa quadratorum AN , NM aequalis duplo rectangu-
Ii, quod sit ex AB in OR . Sed ex construis ctione oR est aequalis ipsi PQ. Quare eadem lumnu qu1dratorum AN , NM aequalis erit
273쪽
ae SECTIONUM CONICA Ru Mduplo rectanguli, quod fit ex AB in PQ; atisque adeo data erit. Non esse autem problema istud conti. nuo solutionis capax I sam abunde patet ex iis, quae in fine capitis praecedentis ostensa
sunt. Sed exinde facili quoque negotio intelligere licet . quid utique requiratur, quo po sit problema resolvi. Unde . ne diutius in eo explicando haereamus, lassiciat illud indicacst, ct ad alia progrediamur. xiit. XIII. Apollonius in solutione horum t vis h. problematum aliam methodum paulo dissici
liorem usurpavit. Sed ea mediante exhibuit quoque positionem diametri relate ad datos axes ellipsis . Unde , ex hoc capite metho-Fi ,.q8. dua a nobia adhibita manca existimetur; ' ostendemus modo , qua ratione datis axibat
ellipsit, de iri possit relate ad eos positio ea- iustiti diametri datae. Sint itaque AB . XL axes ellipsis . hoc
est AB axis major, & XL axis minor . Sit autem EF aliqua ejusdem ellipsis diameter data.Jam innotescet diametri huius positio . si demissa ad axem majorem AB ordinata EG , nota sit longitudo portionis CG . Unde , eo res redit, ut inquiramus quo pacto ipsius CG longitudo possit definiri. Et sane, propter ellipsim, CA quadratum est ad CR quadratum , ut rectangulum AGBad EG quadratum. Scd EG quadratum aequam te est disserentiae quadratorum CE,CG, ct rectangulum AGB aequale est disserentiae quadratorum CA, CG. Itaque erit, ut CA quadratum ad CR quadratum , ita differentia
274쪽
ELEMENTA. aer quadratorum CA . CG ad differentiam qua, dratorum CE, CG. Hine , quum convertendo sit, ut CA quadratum ad differentiam quadratorum CA. CR. ita differentia quadratorum C A , CG ad differentiam quadratorum CA, CE r erit, peris mutando , ut CA quadratum ad differentiam quadratorum C A . CG . ita differentia quadratorum CA . CΚ ad differentiam quadrat tum C A , CE . Unde , rursus convertendo, erit, ut CA quadratum ad CG quadratnm, ita disserentia quadratorum CA . CR ad disseis rentiam quadratorum CE, CR.
Deseribantur jam super ipsis CA , CE semicirculi AMC , ENC; ct aptentur in iis rectae CM . CN , quarum utraque sit aequalis ipsi CΚ. Jamque, junctis rectis AM, EN ; erit
AM quadratum aequale differentiae quadrato. rum C A , CR , & EN quadratum aequale diseferentiae quadratorum CE, CR. Unde erit,ut CA quadratum ad CG quadratum , ita AM quadratum ad EN quadratum : & propterea, quum proportionales sint quatuor rectae
AM , EN , CA . CG ; invenietur CG, si fiat, ut Ara ad EN, ita CA ad ipsam CG.
XIV. Ne aliquid hic omittamus , ostendemus denique, qua ratione in ipsa ellipsi, data parametro unius diametri , indieniri possit parameter cujusvis alterius diametri.Sint igi.tur AB , EF duae quaevis diametri ellipsisAEF . Et data parametro unius diametri AB, oporteat , invenire parametrum alterius diametri EF.
Sit AD parameter diametri AB , quae
275쪽
at g SECTIO NuM CONICARUM cum ipsa AB ponatur is directum . Tum, Eta AD bifatiam in puncto M , describatur per tria puncta A . E . M circulus A EM , -- currens ipsi EF productae in puncto N . Extendatur porro EN usque ad punctum H: ita. ut sit E H dupla ipsius EN. Et erit Eid parameter diametri EF. Est enim, propter circulum,rectangulum ACM aequale rectangulo ECN . Sed rectangulum ABD est quadruplum rectanguli ACM . & rectangulum EFH est quadruplum
rectanguli ACM , & tectangulum L FH est
quadruplum rectanguli ECN . Quare duo rectangula ABD , EFH etiam aequalia erunt: st propterea erit, ut diameter EF ad diam
Jam per ea . quae superius ostensa sunt, diametri EF , AB sunt reciproce proportiona Ies summis laterum suarum figurarum. Quare erit ex aequali, ut BD ad FH , ita summa laterum figurae diametri AB ad summam laterum figurae diametri EFi ct propterea, quemadmodum prior summa est aequalis ipsi BD et it quoque summa posterior aequalis erit ipsi Fri.
Unde erit Eri parameter diametri EF. CAP.
276쪽
Η perbolae diametri omnes imter e mutuo compararatur.
I. Onstat , ex superius ostensis , in via qualibet hyperbola extare diametrunt unam, qua* cum suis ordinatis rectos angulos constituat. Diametrum istam vocavi. nia qui namus axem ipsius hyperbolae . Et facile erit rum ostendere , omnium Operbolae diametrorum minimam esse tuam, quae axis appellatur. Sit enim AB axis hvperbolarum oppositarum . sitque EF alia quaevis diameter earundem. Dico, diametrum illam EF maiorem esse axe AB. Demittatur si quidem ad axem AB ordinata EG . Et quia ista cadit infra verticem A; erit portio CG maior semiaxe CA . Sed, ob angulum rectum CCE , semidiameter CE major est portione CG -Quare eadem semidiameia ter CE multo major erit semiaxe CA : & propterea diameter tota EF major erit axe integro AB. II. Nullo itidem negotio ostendi potest. quod omnium aliarum diametrorum illa quidemst minor, quae minus distat ab axe. Manentibus namque omnibus , ut supra, perspicuum est, CE quadratum aequale esse Fise, Q. duobus quadratis CG , EG . Sed CG quadratum est aequale CA quadrato una cum reis Tom. I. R. et a nis
277쪽
ctangulo AGB . Quare erit idem CE quadra tum aequale duobus quadratis O , EG una cum rectangulo AGB. Id quum ita sit, liquet, excessum , quo CE quadratum superat CA quadratum . esse EG quadratum una cum rectangulo AGB. Sed, tum EG quadratum, quam reingulum AGB . eo quidem fit minus , quo magis punctum E accedit ad punctum A . Itaque excetasus , quo CE quadratum superat CA quadra,
tum , eo etiam m nor erit, quo minus distanta se invicem puncta duo A, & E. Minuitur ergo CE quadratum , dum punctum E accedit ad punctum A. Unde ipsa CE etiam diminutionem patitur. Est autem diametet EF dupla ipsius CE . Quare minuetur quoque diameter EF : & propterea omnium aliarum diametrorum hyperbolae illa quidem minor erit, quae mi ians distat ab axe. III. Hyperbolae igitur diametri in reces,su ab axe majores evadunt. Sed, iis crescentibus , augentur etiam ipsarum conjugatae, Quod ut liquido constet, ostendendum est prius sequens theorema. Nimirum, quod F capiantur in hyperbola bicla quatis conjugatae diametri,eae dividantur in eadem ratioce ab ordinatis , quae super iis demittantur ex verticibus duarum quarumvis aliartim similiter conjugatarum diametrorum. Neque vero dissicile erit, theorema istud ostendere, si eorum recordemur, quae superius ostensa sunt. Capiantur enim in hyperbola duae quaevis conjugatae diametri AB, Κ L. De- Mittantur ad ea3 ordinatae EG, PQ ex vertiis
278쪽
ELEMENTA.cibus duarum quarumvis aliarum similiter conjugatarum diametrorum EF, PR. Dico,
fore, ut FG ad AG, ita LQ ad N
Ducatur siquidem ad diametrum EF oradinata AO. Tum per punctum O agatur recta
os , ipsi EG parallela . Et jam CR ad CQ rationem habebit compositam ex CN ad CP . &ex CP ad m,Sed CR est ad CP . ut ΚL ad PR, sive etiam , ut EG uil AO ; itemque CP est ad CQ, ut AO ad OS. Itaque erit CN ad CQ in ratione composita ex EG ad AO, &ex A O ad OS.
Et quoniam duae istae rationes componunt pariter rationem , quam habet EG ad OS, sive etiam CE ad Cca ; erit ex aequali, ut
antecedente S ex consequentibus, erit quoque
ut CΚ ad R ita CE ad EO . Sed , sumptis antecedentium duplis , XL est ad RQ, ut EF ad EO. Quare, componendo , erit, ut L ad RQ, ita FO ad EO: a propterea, quum FG fiead EO, ut est BG ad AG ; erit rursus ex aerum quali, ut BG ad AG, ita LQ ad RQ.
Iv. Ex isto autem theoremate prono a L iv. veo fuit, quadratum quidem ordinatae EG ese se aequale rectangulo RQL ; quadratum vero ordinatae P equale esse rectangulo AGB. . Didi via Quum enim BG sit ad AG . ut est L ad Ne ; erit dividendo, ut AB ad AG, ita .... --. XL dΚQ. Unde, quia permutando AB est Fio. o. adΚL. tam ut AG ad X quam ut BG ad LQ ; compositis rationibus. erit , ut AB quadratum ad XL quadratum . ita rectangulum
279쪽
SECTIONUM CONICARUM Jam,propter hyperbolam, AB quadratum est ad XL quadratum , tam ut rectangulum AGBad EG quadratum , quam ut PQ quadratum ad tectangulum ROL . Quare ex aequali, primo quid cm erit, ut rectangulum AGB ad rectangulum RQ L, ita idem rectangulum AGBad EG quadratum . Deinde vero , ut rectangulum ACB ad rectangulum RQ L . ita PQquadratum ad idem rectangulum REL i &Propterea rectangulo quidem X L aequale erit EG quadratum i, rectangulo vero AGB- erit aequale PQ quadratum. v v. Supponamus modo AB, Κ L esse axesanua ei si conjugatos hvperbolae t adeo nempe, ut ordinatae EG , PQ rectos angulos cum iis consiliseonsecta, tuant. Et nullo etiam negotio ostindemus , di Dis a. ferentiam quadratorum EF, AB aequalem esse differentiae quadratorum PR, RL. xiv Q Ut enim vidimus paulo ante, excessus,
quo CE quadratum superat CA quadratum sest EG quadratum una cuin rectangulo AGB . Sed rectangulo AGB ostensum est aequale PQ quadratum. Quare excessus, qu CE quadratum superat CA quadratum , erit summa quadratorum EG , P Eadem ratione excessus , quo CP quadratum superat CR quadratum . est PQ quadratum una cum rectangulo ΚQL . Sed rectangulo XQL ostensum est aequale EG quadratum. Quare excessus, quo CP quadratum superat CN quadratum, erit pariter summa quadratorum EG, Ph. Id quum ita sit, erit disserentia quadratorum CE, CA aequalis disserentiae qnadrat
280쪽
tum CP , m . Sed ipsa tum CE . CA . CP. CR duplae sunt EF. AB, PR. ΚL. Quare
disserentia quadratorum EF , AB different arquadratorum PR, Κ L etiam *quatis erit.. v I. Atque hinc modo facile erit osten- videte id , quod ab initio nobis proposuimus rni mirum, quod ,crescentibus hyperbola diameis prino, i. . tris primariis, augeri debeant quoque ipsarum
Maneant enim omnia , ut supra et adeo F o. nempe , ut AB sit axis hyperbolae, XL ejus conjugatus I EF diameter quaevis primaria, ScPR ipsius conjugata . Dico, non posse diametrum EF majorem fieri, ni si etiam augeatur ejus conjugata PR. Ostensum est namque,excessum, quo EF quadratum superat AB quadratum , esse aequalem excessui, quo P R quadratum superatΚL quadratum . Quare nequit augeri prior excessus , nisi etiam excessus secundus major
Jam , ubi per tecessum ab axe AB maior evadit diameter EF , tune augetur excessus . . quo EF quadratum superat AB quadratum. Itaque in eodem recessu necesse est, ut augeatur etiam excessus, quo PR quadratum superat XL quadratum: Sc propterea ipsa PRmajor itidem evadet.. VII. Sed ex eo, quod differentia quadra- cu h. totum EF, AB sit aequalis differentiae quadra in qualibet metorum PR, R L, colligi ulterius potest, diame trum EF esse aequalem , maiorem . vel mino---e 'd
rem conjugata sua PR, prout axis AB est ae qualis, major, vel minor conjugato suo TL. Fio. o.