장음표시 사용
31쪽
DEO VILIBR. CORPOR DIO INSIDENT
tius corporis. Quare cum recta AB ad sectionem aquae FG sit normalis, corpus in hoc situ aquae insidere poterit. N. E. D.
l. Me non monente acile etiam intelligitur, idem corpus situ quoque inverso quo I sursum D vero deorsum Vergit, aquae insistere posse ita ut conse fienter duo situs sint cogniti, quibus lauiusmodi corpora aquae insidere possiliat.
s. Si corpus D EII fuerit ex materia homoge- genea actum , centrum grauitatis per se in rectam Amincidit. Quare huiusmodi corpora semper aquae situ erecto insidere poterunt, idque duplici modo
C. Ad hoc corporum cnus pertinent praeter cylindros vulgare rectos omnia risimata recta , quaScunqtie etiam habeant bases siue regulares siue inregillares Deinde etiam pariter huc reseruntur omnia solida quae generanti ii, si figura quaecunque plana secundum ductum lineae rectae ad planum figurae perpendicularis motu sibi semper parallelo moueatur. Atque de his omnibus valet Theorema propositum.
Corpus sindi lauru ab des, quale in praecedente Tab. m. propositione constra ius , tu orietontali b d aquas in thrdere poterit, s eius centrum grauitatis G in eius sectionem a mediam
32쪽
mediam ei incidat. Et quidem eodem tu aquae insidere poterit , quo sectio media sola ALBI aquae tu Certicali junctare potes os eius centrum grauitatis in S uerit situm.
Insideat enim hoc corpus aquae situ origontali , sitque tanta eius par iam immers 1 quanta ad aequilibrium requiritu manifestum est centrum magnitudinis partis submersae quoque in sectionem mediam es cadere debere , esseque in ipso centro magnitudini partis ipsius sectionis mediae submersae. Nisi ergo haec centra Geto in eandem rectam verticalem incidant, conuertatur corpUS eousque donec illa centra hoc requisitum acquirant. Quo secto sit AI situs sectionis mediae , A sectio aquae, eius centrum grauitatiS, quod congruere ponimia cum totius centro grauitatis, O centrum magnitudini partis si ibine sae AIB, quod per se conuenit cum centro magnitudini in ipso corpore ad Quare si recta Goluerit verticalis, tam sola sectioi quam totum corpus hoc situ aquae insidere poterit. E. D.
S. tio autem secstionis LAI solius tanta pariaqllae immergatur, uanta immergi debet, si est cum corpore coniunctum , ipsi huic sectioni eadem grauita specifica respectu aquae tribui debet, quam habet integriana OUUS.
s. Si corpia fuerit homogeneiam , tum eiu centrum grauitati non solum in sectionem mediam es incidet sed insuper in ipsius sectionis mediae centro grauitatis erit situm Coroll.
33쪽
so Vt igitii huiusmodi corporum cylindricorum situs, quo origontaliter aquae insidere possinit, determinetur, iissiciet inquirere , in quonam situ una eius sectio aquae verticaliter insistere possit.
sae. Qia igitur definiri queat situs, quo huiusmodi corpora cylindrica aquae laorigon taliter incubare posssint, tantum ad figuram sectionum transuersilium respiciendum est. Problema ergo huc redit, ut data quacunque figura plana LAIB eiu grauitate specifica respectu aquae
et centro grauitati G determinetur pars I aquae immergenda, quae quidem quantitate constat, ut recta iungen centrum grauitati G et centrum magnitudinis partis A I sit in sectionem aquae si normalis Quamobrem ad nostriam institutum conueniet aliquot huiusmodi figurarum planarum considerare, et quibusnam sitibus aquae verticaliter innatare queant inuestigare. Praecipue autem ad corpora cylindrica et Histraatica homogenea respiciemUS, et hanc ob causim pro centro grauitatis G figurae L AIB sumemus ipsius figurae centriam grauitatis ita ut nobis quaestio huc reducatur Aiata figura LAIB ducendo rectam Bia tem I datae magnitudinis abscindere, hac conditione Vincta iungens centra totius ligurae et partis abstissae perpendiacularis sit ad rectam AB. Incipiamus igitur a triangulo tanquam figura simplicissima indeque ad quadrilatera progrediemur.
set Si per manguli AC centrum grauitatis ducatur recta quaecunque PQ lateri BC prolecto in Q occurrens, erit A C. Ce-BC CP a CP C Q. D
34쪽
Ex angulis A et B per centrum grauitatis G ducantur rectae AH, et B quae per notam centri grauitatis proprietatem bisecabunt latera sic et Ac eritque A G GH g 1 et G GΚm et r. Est vero sua. API sui a I Ora CN, CQ CP. Ex quibuSproportionibus eruitur tae: A - CPTI BCH-C :
s Si ex A ducatur ipsis parallela donec ipsi BC productae occurrat, erit eam G uocirca erit CP: P mAC: G atque Gem . Posito ergo sim ACBII, erit Gem
ss. Si recta e si ierit normalis in B, erit BC: ACTI cos AP coc B I. Quare si cosmus anguli AP ponatur M et cosimus ang. B ITIN erit BC: AC mae: N seu M. AC IN B C.
Talnov. 36. Propomo triangula homogeneo CB, cuius ad
'' quavi grauitas flusca sit , j ad , casus determissce, quibus
35쪽
qui /s hoc Vangulum aquae ita innatare potes, ut latus A maneat extra aquam tum.
Sit a C pars quaesita aquae immergenda , quo
triangulum aquae insidere queat, sitque recta I ducta per centra grauitati tum totius trianguli ACB tum parotis submersi a Ch. Quo ergo triangulum in hoc situ aquae insidere queat, oportet ut recta I sit in abierpendiculari atque praeterea ut area trianguli a C sit ad aream ACB Vt, M. Pomitur nunc Cm aBO batque simu anguli ACBII h, eiusque cosimum N Porro sit a Cmae, CT , sitii. API m eius cossinus Im, item sin D IIII et cos et M. I is possitis erit m IhN-Κη et ' hη--ΚN. Cum nunc rectas P transeat per centrum grauitati trianguli ACB erit Ceret' si sed,
Deinde quia eadem recta per centrum grauitatis triangulia C transit, erit C 'fi', , quibus coniunctis erit MX- ma-n b. Porro cum recta P normaliter occurrat rectae ab erit Maec ex quibus aequationibus elicitur a II ( qm Quoniam vero est
36쪽
i superiore aequatione substituto prodibit 'ae a Rh)A'x' (h -X a pqu---a'b I O , alor igitur ipsius ae ex hac aequatione erutus dabit latu a , quo inuento si sumatur Cmys habebitur sectio aquae ab atque pars aqua immergenda quaesiita. Q. E. I.
set Quot igitur aequatio inuenta continet radices reales et assirmativas tot casibus triangulum propositum aquae ita insidere poterit , ut latus B extra aquam maneat, solusque angulus C immergatur , dummodo sitae aet E. b.
fg. Si autem omnes crassices fuerint reales, tum earum tres tantum possunt esse assirmativae ob ternas tantum signorum alternationes Radix autem negativa proposito non inueruit. Quare non dari possunt plure tribus casus, quibus triangulum praescripto modo aqua insistere potest.
6 si tertium latus trianguli A ponatur c, hocque loco cosinus Vang. ACB in computum introdu
37쪽
6 I. Duae autem aequatione, in quibus insent et L simplicissimae sunt sequentes. Prima scilicet est x et ab , atque altera erit ista J'-(b -X a J x' (a Ich)x quibus duabus aequationibus problema propositum soluitur.
62. Cum aequatio inuenta habeat quatuor dimensiones neque generaliter concepta diuisionem admittat, ita ut vix quicquam ex illa ad sum deduci queata eam ad casus particulare triangulorum accommodabimus, pro quibus aequatio fit diuisibilis, atque casses, quibus natatio euenire potest, reipsa assignari et repraesentari possunt.
Ga Sit triangulum propositium ACB isosceles , ita I. a. ut latera A et BC, quae angulum C sub aqua situm,
comprehendunt sint aequalia. Ponatur ergo BC: ACII a erithma atque aequatio inuenta abibit in hanc 'ae Hae vi )q' '(I - - Κ pqa 1-a p o, quae diuisione resoluitur in has duas I. '-pa' o et II ' - Κ qax pa Ieto Qtiarum illa aequatio atri aut , solus autem valor assis mativus habet locum , quia latera Cetra non vltra C producta ponuntur. Nitare ex prima aequatione erit C mae I aut et bCIT ma - , qui ergo est unus casus, quo triangulum isosceles ACB aquae insidere potesta eritque par submersi a C itidem triangulum isos celes, et sectio aquae a parallela basi AB, at- quae Acta a C et C Up. Ex altera aequatione pro duo obtinentur valoreS, quorum alter Myro x capiatur , D a alter
38쪽
denotantera quemcunque numerum assirmativum. Quam
obrem quo praeter casum assignatum adhuc duo reliqui locum habeant, oportet ut in hi duabus aequationibus Noe et tam di quam ' o tineant valores assimatiuos. Qito si ergo euenerit, prodibunt duo reliqui casse quibiis triangulum aquae insidere potest
6 . Si triangulum C fuerit aequilaterum , erit angulus C Go', ideoque eiu cosinus, I S. tiare quo duo posteriores casias lotam inueniant oportet sit primo viri har hoc est Deinde necesse estntioque ut siti mai-N LAEMII Z-- α - α si inato proα mero affirmativo quocunque Quod autem Vsit ractio rinatiua oportet sit A I Requiritur ergo ut sit
39쪽
6s. Cum alterum requisitum, ne duo posteriores
Quocirca dato angulo CB, nisi ratio contineatur intra limites (1- - Κ)' et, praeter situm primo determinatum alita non datur, quo triangulum isos celes vertice deorsim verso aquae innatare potest. Est vero semper (1-Κ ' Κ, ditarentia enim est quadratum S(1-Κ ', quare pro quouis angi alo C triangula extatberi possimi, qtiae tribus modis angulo C deorsum verso aquae insidere possitnt.
6C. In triangulo autem aequitatem , si uerit 'I duo casus posteriores quibus triangulum aquae insidere potest erunt m a a ( - , et a a (g. -
CS si grauitas specifica trianguli ita uerit comparata vi sitos, Isib M abibit aequatio generalis in hanc
40쪽
6s. Cum sit Cae Ab erit g Κm cosinu ang.C. Qitare recta Ba erit parpendicularis in latus C. Ilaec ergo perpendicularis semper potest esse sectio aquae, si uetitu A.
o. Ista autem innatatio locum habere non potest, nisi uterque angulus A et C sit acutus, alioquin enim rectata non intra triangulum caderet quod tamen est ne
a. Simili modo si assiumsissemus Q qmΚ, b, aequatio diuidi potuisset per x - a , ita ut prodiisset XI a. Hic vero casus a priore non differt, nisi quod punctum B ino et vicissim sit translatum Determinatis ergo casibus, quibus triangulum homogeneum aquae verticaliter ita innatare potest , ut unicus angulta aquae immergatur, superest ut etiam in eo casu inquiramus, quibus huiusmodi triangula cum duobus angulis sub aqua submersis innatare queant his enim in duobu modis continentur omnes omnino casias, quibus triangulum aquae verticaliter innatare potest.