Scientia navalis seu Tractatus de construendis ac dirigendis navibus Pars prior [-posterior] complectens theoriam vniversam de situ ac motu corporum aquae innatantium.

41쪽

PROPOSITIO O.

Problema.

a Proposito triangu lam eneo C AB cuius gra Tab. uitas specifica sit ad aquam in i ad G determinare ea L s sus, quibus hoc triangulum situ Certicali aquae ita infidere potes, ut solus angulus C supra aquam emineat.

Solutio.

Sit aAB pars aquae immergenda , ita quaesito

satisfaciat. Per centra grauitatis tam totius trianguli ACB, quam partis submersae ABi ducatur recta I PQ, quae debebit esse normalis in sectionem aquae ab At ista recta I PQ quoque transibit per centrum grauitatis trian .guli ab supra aquam eminentis. Quamobrem quaestio huc reducitur ut inueniatur positio rectae ab , quae a toto triangi ala partem AB abaeindat, quae sit ad totum visi adsis atque ut recta iungens centra grauitati totius trianguli et trianguli Cabit normalis ad sectionem aquae ab Ilaec ergo posterior conditio prorsus convenae cum praecendente problemate , prior vero in hoc discrepat quod hic area trianguli ab se habere debeat ad aream trianguli totius A ut q-p adsis cum haec ratio ibi esset vis ad . imobrem solutio prioris problematis ad hoc accomodabitur, si tantum q-p locos scribatur. Ponatur ergo ut ante AC BC Ieth, cos anm ACBETIV, et Caseae atque Ch erit 'ae Ah q'ae' ---bb- X. l(qs ---(q Pa' o. Ex qua aequatione valor ipsius Ceratus dabit respondentem valorem

ipsius rasame . Q. E. I.

42쪽

PUT PRIMUMCoroll. I.

s. Qtio igitii aeqtiatio inuenta continebit radices reales et affirmativas pro ae quae sunt ipso a minores et quibus respondent valores ipsius y minore quam tot modis triangulum propositum aquae ita insidere poterit, ut anguli A et B sub aqua versentur.

Sin autem aequationis propositae omnes radices sunt reales, earum tres tantum esse possi in affrinatiuae. Quare fieri non potest, ut triangulum pluribu quam tribus modis aquae ita innatare queat, ut solus angulus extra aquam emineat.

s. Si tertium latus A ponatur et c, hocque loco cossinus, anguli AC introducatur, tum sequen Orietur aequatios ae dis a* ab'- )

Coroll. s.

6. Si uerit m het C: et , haec aequatio congruit, cum aequatione superioris propositionis. Quare hoc casti eadem recta a b poterit esse sectio aquae tam si angulus C fuerit solus extra aquam , quam si fuerit aquae submersuS.

Exemplum.

Ponatur triangulum propositum ACBrisosceles, latus scilicet BCIT AC seu se atque prodibit ista

43쪽

a' o quae per diuisionem abit in has duas aequationes I. - -(q p a m et II '-(X--Κ q-- (qs a'TTI .Harum aequationum prior dat cui quoque respondet ama M' ', hoc ergo casii triangulum extra aquam eminens erit quoque se eius, et sectio aquae ab parallela basi AB. Altera aequatio has duas pro edat

quantitates ' S(1 Κ)at v(S(1--Κ ' s l), quibus respective respondet (1--N a (S(x- Κ)'- vl. Praeter primum ergo situm inuentum alius non dari potest,ibs it i(1 Κ ' at etiamsi fueritu S(1- Uri hoc solum non sussicit ad realitatem posterium casuum instipe enim requiritur, tam ae quanis sint ipso minores, id quod locum habebit si fueritv Κ. Quamobrem , quo calas post riores fiant reales, oportet ut ratio Vinter hos limites

8. Ex his igitur duabus propositionibus omnes casus definiri possunt, quibus datum triangulum homogeneum aquae situ verticali innatare potest. Perspicitur autem si naul numerum casuum satis magnum esse posse, prout plures radices aequationum inuentarum sunt reales et quaesito satis cientes. Omnes autem radices si fuerint utiles, tum triangulum 1 diuersis modis aquae innatare poterit; tres enim sunt casus, quibus singuli anguli aquae immer guntur, totidemque quibus singuli extra aquam eminent. ViX autem euenire potest, ut omnes octodecim casu Gant reales quia si grauitas pecifica trianguli ad aquam N

44쪽

T . v.

uno angulo reqiuisitam habet proprietatem , eadem pro reliqtui anguli non amplius sati Ss acere potest. Ita triangulum aequilaterum , si quidem eius grauitas specifica ad aquam contineatur inter ratione 16 et :16, quo casu plurimas admittit radices siti SiacienteS, a tantum diuersis modi aquae insidere potest.

s. Si ex trianguli ABC centro grauitatis Guni itis AB perpendicularis Q ducatur, erit lateris AB se

Demonstratio

Ex angulos per centrum grauitatis G ad latus AB ducatur recta CD , erit ex nota centri grauitati natura AD BD, atque GDI 2 CD emittatur porro ex ad A perpendiculum CH, erit APTI UT A

So. Ipsum ergo perpendiculum Q eccentro gravitatis trianguli G in latus Am demissium erit tertia pars perpendicularis GH, ita ut sit in P.

Coroll. I.

81. Si angulus A C B erit rectus, erit m re AC H DCta hoc ergo casu siet Aem Tae

45쪽

Coroll. .

Set Si triangillum ACB sitierit isosceles, ita ut sit AC B erit Ad S A B. Atqtie hoc casu erit

LEMMA.

Ss. Si a parallelogrammo rectangulo ABD rectans. v EF scindatur triangulum DF , atque ex centro Vmi- tatis G reclangu totius Alo in rectam EF perpendiculum C II demittatur , inuenire punctim IJ.

Solutio.

Ex centro grauitatis G rectanguli in latus BD eis mittatur perpendicularis I secans rectam EF in VeritDIIIl BD, et Ira ED SBD, itemque Im AB. Iam ob triangula IV, DF similia erit IΚm m DF- et , atque El(m IEF - . Deinde habebitur RrT AB NI IS A B-DF atque propter triangula GII et E DF similia ista na

Coroll.

46쪽

CAPUT PRIMUM

hac ergo analogia reperitur ipsa centri grauitatis G a rectit EF distantia .

PROPOSITIO II.

Problema.

Tata v. s. Proposito para Ologrammo rectanguli homogenedii ABDC, euius grauitas specima sit ad a*uam Ct pcdq, inuenire easus, quibus hoc parallelogrammum rectangulum aquae ita infidere potes, et solus angulus D immergatur.

Sic EF sectio aquae quaesita, et m portio quae immergenda erit IVE DI AB. BD Tp:Λ; atque recta iungens centra grauitatis totius rectanguli, et partis E DF normalis esse debet in sectionem aquae EF. Quare normala ex centro grauitati rectanguli , et centro uitatis trianguli DF in idem rectae EF punctum incidere debebunt. diare per Sauret 81 erit S 'PAEIDL --DF Positis nunc AB CD IIca AC m BD

86. Aequatio haec ad summum tres habere potest radicta, assimatiuas reales quarum autem ea tantam quae -

47쪽

DEM VILIM CORPORA EME INSIDENT. a

sit satisfaciunt, quae pro balore dant ipso, minores, et quibus simul valores ipsisti J respondent ipso h minores.

Coro . .

S . Cum triangulum ED dimidium rectanguli excedere nequeat, perspicuum est rationem Wad p minorem duplice non posse, ita ut esse debeat velu et vel Da.

8S. Si rectangulum abeat in quadratum ut sit laeta, habebitur ista aequatio a - s qa XJ Cp qa x Sppa' o quae diuisione resoluitur in has duas I. et IIII et II 2, 3- aquae, pc'. O..Ηarum aequationum illa dat et is, cui respondet quo ergo casis bis sunt aequales , et fictio aquae EF sit parallela diagonali Q Ex altera aequatione eruitur duplex valor ipsius rara V(g. - ), cui quoque iste duplex valor ipsius crespondet, ilicet

Quare contineatur inter o limite et . tres casu dantur quibus quadratum aquae ita insidere potest, ut selus angulus D aquae immergat .

Ss. Eadem solutio parumper immutata etiam huic problemati sati,seciet , quo quaeruntur casus, tribus pa-E S alle,

48쪽

rallelogrammum rectuagulum sitiae ita insidere queat, ut tres anguli sub aquam mergantur, mitisque angulus D emineat. Hoc enim casu pariter ut ante possitio rectae EF inueniri debet, in quam recta iungens centra grauitatis rectanguli AD et trianguli DF sitior malis Hoc tantum differt istud problema a praecedente, quod hic area AB EF ad totum rectangulum rationem habere debeat Dad . Cum ergo hoc casu ratio areae trianguli DF ad rectangulum totum esse debeat viri pace, solutio praecedens ad hunc casum accommodabitur ponendo loco . Manentibu igitur ceteris denominationibus ut ante, erit aqqx o sqqax' G qab'ae S p 'a b ex qua valori ipsita 1 inuento reSpondet alor ipsitu Si rectangulum abeat in quadratum eadem valebunt, quae in exemplo sunt inventa , si modo locos ponatur q-p. Ita quadratum tribus diuersiis modis aquae ita poterit innatare , ut solus

angulus D extra aquam emineat, si i contineatur intra hos limites . et

Tob. VI O. Dato rcpeetio ABDC, in quo latera A etes BD snt inter se parallela , atque ad bas CD normalia,

inuenire punctum m in quo recta GI per centrum gra vitatis trape, inducia in latus AB rmaliter incidit.

Producantur tum latus A tum basiis CD, donec conccrrant in I et ex utriusque trianguli AC et DI

49쪽

DE FOUILIBR CORPOR AO ME INSIDENT . o

centris grauitati concipiantii perpendicula ino demissa. Iam ex staticis constat ore momentum rapegii respectit puncti I aequale disserentiae momentorum triangulor vim. Alomentum autem figurae respectura obtinetur, si area multiplicetur in distantiam puncti, in quo perpendiculum ex eiurum centro grauitati in I demissum ino incidit, puncto I. Ita momentum rapeχii erit et o sim C. IH , atque per T. erit momentum trianguli ACI A CI et atque momentum trianguli MI T

Qtuamobrem habebitur ista aequatio ABDC.

erit IJ II ae, quibus valoribus ibstitutis obtinebitur

sae simili modo pitim perpendicu lam II ope momentorum poterit determinari, prodibit autem calculo

sst. Si fuerit C et BD sita e b, quo casu tr peZium mutatur in parallelograminiam rectangulum , pro

50쪽

PROPOSITIO. II.

Problema.

os Determinare casus , quibus parallelogrammum retiangulum ABD homogeneum, cuius grauitas specisca ad aquam si mi ad L aquae ita in ere potest duo anguli C et D sub aqua, reliqui Cero A et B extra aquam Cersentur.

Solutio.

Sit, sectio aquae, quae quaestioni satiSficiat, oportet primo ut it AC p . q. Deinde requiritur ut recta iungens centra grauitatis totius rectanguli et Ortionis CD in F sit normalis, id quod eueniet, si perpendicula ex triusque trapeχii ET D F et E ABF centris grauitatis in F demissa coincidant. Perlamma rigitur praemissum obtinebitur Ista aequatio