장음표시 사용
441쪽
Dividantur hae summae per ' 'l' --, & si motum posterius dicatur D, erit D area curvae cujus ordinata eli motum prius et RVL Et eadem ratione ponendo omneS Ordinatae terminoS praeter primum aequales nihilo poteli area Curvae inveniri cujus Ordinata elt a': RV . Dicatur area ista C, & qua ratione ex areis A & B inventae sunt areae C ac D, ex his areis C ac D inveniri possunt aliae duce E & Fordinatis & et) congruentes, &. sic deinceps in infinitum. Et per analysin contrariam regredi licet ab areis L F ad areas Cac D, Scinde ad areas Ac B, alia 1q ; quae in progressione scquuntur. Igitur si index λ perpetua unitatum additione vel sub lustione augeatur Vel minuatur, &ex areis quae ordinatis sic prodeuntibus respondent duae simplicissimae habentur; dantur aliae Omnes in infinitum. Q. E. O.
Et per casus hosce duos conjunctos, si tam in dex θ perpetua additione vel subductione ipsius ., quam index A perpetua additione vel subductione unitatis, utcunq; augeatur Vel minuatur, dabuntur areae singulis prodeuntibus ordinatis respondentes. Q. E. O.
442쪽
Et simili augmento si ordinata constat ex quatuor nominibus in vinculo radicali Sc dantur tres arearum, vel si constat ex quinq; nominibus Sc dantur quatuor arearum, & sic deinceps : dabuntur areae omnes quae addendo vel subducendo numerum . indici vel unitatem indici A generari possunt. Et par est ratio Curvarum ubi ordinatae ex binomiis conflantur, & area una earum quae non sunt geometrice quadrabiles datur. Q. E. O.
Si pro eqsset' ete η--8cc. Sc Scc. scribantur R Sc S ut supra, & in Curvae alicujus O dinata αβ l .RA L SQ v maneant quantitates datae θ, η, A, e, f, g, ἡ, i, m, &c. Sc pro W, τ, Sc vi scribantur 1uccessive numeri quicunq; integri: & sidentur areae duarum ex curvis quae per ordinatas sic prodeuntes designantur ii quantitates R & S sunt binomia, vel si dentur areae trium ex curvis si RSc Sconjunctim ex quinq; nominibus constant, vel areae quatuor ex curvis si R & S conjunctim ex sex nominibus constant, & sic deinceps in infinitum :dico quod dabuntur areae curvarum omnium. Demonstratur ad modum propositionis superioris. ΡROΡ.
443쪽
Κquantur Curvarum areae inter se quarum ordinatae 1unt reciproce ut fluxiones Abscissarum. Nam contenta sub ordinatis & fluxionibus Abscissarum erunt aequalia, & fluxiones arearum sunt
Si assumatur relatio quaevis inter Abscissas duarum Curvarum, Sc inde per Prop. I. quaeratur relatio fluxionum Abscissarum, & ponantur Ordinatae reciproce proportionales fluxionibus, inveniri possunt innumerae Curvae quarum areae sibi mutuo
Sic enim Curva omnis cujus haec est Ordinata αν in e ri &c. l assumendo quantitatem quamvis pro ponendo τ s & migrat in aliam sibi aequalem cujus ordinata est κ- in Ο o O
444쪽
Et Curva omnis cuius ordinata est et Τ ine let' ' gQ3' -iri est.l' ponendo x, migrat in aliam sibi aequalem cujus ordinata est &mκ ei γ'
nomina in vinculo radicis vel, ,--κi si tria sunt nomina; k sic deinceps. Cois
445쪽
κ Ur si bina sunt nomina in vinculis radicum,
sunt nomina in vinculo radicis prioris ac duo in vinculo posterioris . sic in aliis. Et notae quod areae duae aequales in novissimis hisce duobus Co rollariis jacent ad contrarias parteS ordinatarum. Si areae in alterutra curva adjacet abscisiae, area huic aequalis in altera curva adjacet abscissae productae.
Si relatio inter Curvae alicujus ordinatam di Abicissam et definiatur per sequationem quamvis affectam hujus in &c. m in k- -&c. haec figura assumendo S ara X - migrat in aliam sibi aequalem cujus Abscisia x, ex data Ordinata
446쪽
Si relatio inter Curvae ali cujus ordinatam 3 &Abscissam et definitur per quationem quamvis affectam hujus Hrmae,r in e i &c.
447쪽
in hoc Corollario evadit simplicior ponendo λ m I, vel . ponendo V m i & essiciendo ut radix dignitatis extrahi possit cujus index est . , vel etiam ponendo
ω I & λ - Ι - . - σ - η' ut alios casus Praeteream.
Invenirc figuras simplicissimas cum quibus Curva quaevis geometrice comparari potest,cujus ordinatim applicata a per sequationem non affectam ex data a scissa et determinatur.
448쪽
O A S. I. Sit ordinata af , S. area erit i az ut ex Prop.V. ponendo b o crad rim g b Sc em I, facile colligitur. C A S. II. Sit ordinata az y κ es Diget' i &c. & si curva cum figuris rectilineis geometrice comparari potest, quadrabitur per Prop. V. ponendo b o c- d. Sin minus convertetur in aliam curvam sibi aequalem cujus ordinata est η es fatis c per Corol. 2. Prop. IX. Deinde si de dignitatum indicibus & i per Prop. VII. rejiciantur unitates donec dignitates illae fiant quam minimae, devenietur ad figuras simplicissimas quae hac ratione colligi possunt. Dein harum unaquaeq; per Corol. 3. Ρrop. IX. dat aliam quae nonnunquam simplicior est. Et ex his per Ρrop. III. & Corol. 9 & io, Prop. IX. inter se collatis, figurae adhuc simpliciores quandoq; prodeunt. Deniq; ex figuris simplicisDstinis assumptis facto regressu computabitur area quaesita. CAS
449쪽
κ e --s 'get' -I- Ac.l , & laaec figura si quadrari potest, quadrabitur per Prop. V. Sin minus, distinguenda est ordinata in partes et 'κ a κe - μ' gQδη '- α' lz X e- - μ get.' Scc. , Scc. & per Cas. a. inVeniendae sunt figurae simplicissimae cum quibus figurae partibus illis reipondentes comparari Possunt. Nam areae figurarum partibus illis respondentium sub signis 1 uis conjunctae component aream totam quaesitam.
& fi Curva quadrari potest, quadrabitur per Prop. VI. Sin minus, convertetur in simpliciorem per Corol . Prop. IX. ac deinde comparabitur cum figuris simplicissimis per Prop. VIII. &Corol. 6, 9 ia Io. Prop. IX. ut fit in Casu et & 3. C A S. V. Si ordinata ex variis partibus constat, partes singulae pro ordinatis curvarum totidem habendae sunt, x curvae illae quotquot quadrari possunt, sigilla
450쪽
tim quadrandae sunt, earumq; ordinatae de ordinata tota demendae. Dein Curva quam ordinatae pararesidua designat seorsim ut in Casu a, 8, R. ,
cum figuris simplicissimis comparanda est cum quibus conparari potest. Et lumma arearum omnium Pro area Curvae propositae habenda est.
Hinc etiam Curva omnis cujus ordinata est radix quadratica affecta aequationis suae, cum figuris simplicissimis seu rectilineis seu curvilineis compari potest. Nam radix illa ex duabus partibus1emper constat quae seorsim spectatae non sunt sequa-num radices atactae. Ρroponatur aequatio a a II 4- Σ' & extracta radix erit, a 'b. TV-a IC '' 'ara'T' cujus pars rationalisaa- -za o l .. . a Ia' - Iaeti et sunt
- Κ' & pars irrationalis ordinatae curvarum quae per hanc Propositionem vel quadrari possunt vel cum figuris simplicissimis
comparari cum quibus collationem geometricam admittunt.
Et curva omnis cujus ordinata per sequationem quamvis affectam definitur quae per Corol. 7. Prop. IX. in aequationem non aflectam migrat, vel qua