장음표시 사용
411쪽
Si tres radices sunt aequales Parabola erit cuspi- fg, 73
data in vertice. Et haec est Parabola Nelliana quae vulgo semicubica dicitur. Si radices duae sunt impossibiles, habetur Ρarabola, 3, pura campani formis speciem septuagesimam primam
constituens. In quarto casu aequatio erat 1 ax - - ικκ- cx XXVIII.
d, es haec aequatio Parabolam designat quae crura habet contraria & cubica dici solet. Et sic species omnino sunt septuaginta duae. Si in planum infinitum a puncto lucido illuminatum umbrae figurarum projiciantur, umbrae sectio- XXIX. num Conicarum semper erunt sectiones Conicae, eae Curvarum secundi generis semper erunt Curvae secundi generis, eae curvarum tertii generis sempererunt Curvae tertii generis, & sic deinceps in infinitum. Et quemadmodum Circulus umbram projiciendo generat sectiones omnes conicas, sic Parabolae quinq; divergentes umbris suis generant 8c exhibent alias omnes secundi generis curvas, & sic Curvae quaedam simpliciores aliorum generum inveniri poliunt quae alias omnes eorundem generum curvas umbris suis a puncto lucido in planum projectis sermabunt. . Diximus Curvas secundi generis a linea recta in punctis tribus secari posse. Horum duo nonnun- - XXX
quam coincidunt. ut cum recta per ovalem infi- nr . ''
nite parvam transit Vel per concursum duarum partium Curvae se mutuo secantium vel in cuspidem coeuntium ducitur. Et tauando rectae omnes in Fis i Plagam
412쪽
plagam cruris alicujus infiniti tendentes Curvam in unico tantum puncto secant ut fit in ordinatis Ρarabolae Cartesianae & Ρarabolae cubicae, nec non in rediis Abscissae Hyperbolismorum Hyperbolae & Parabolae parallelis) concipiendum est quod rectae illa per alia duo Curvae puncta ad infinitam distantiam sita ut ita dicam transeunt. Hujusmodi intersectiones duas coincidentes sive ad finitam sint distantiam sive ad infinitam, vocabimus punctum duplex. Curvae autem quae habent punctum duplex describi possunt per sequentia Theo
Abeoremata de Curvarum de seriptione orga
s. Si anguli duo magnitudine dati Ρ A D, PBD circa polos positione datos A, B rotentur, & eorum crura A P, B Ρ concursu suo P percurrant lineam rectam ;crura duo reliqua AD, BD concursu suo D describent sectionem Conicam per polos A, B transeum tem e praeterquam ubi linea illa recta transit per polorum alterutrum A vel B, vel anguli B Α D, A B D simul evanescunt, quibus in casibus punctum D describet lineam rectam. . . .
I. Si crura prima ΑΡ, ΒΡ concursu suo Ρpercurrant sectionem Conicam per polum alterutrum A transeuntem, crura duo reliqua AD, BD concursu suo D describent Curvam secundi generis per polum alterum B transeuntem & punctum duplex habentem in polo primo A per quem sectio Conica transit: praeterquam ubi anguli BAD, ABD simul evanescunt, quo casu Punctum
413쪽
ctum D describet aliam lectionem Conicam per polum A transeuntem.
q. At si lectio Conica quam punctum Ρ percurrit transeat per neutrum polorum A, B, punctum D describet curvam secundi vel tertii generis punctum duplex habentem. Et punctum illud duplex in concursu crurum describentium, AD, BD invenietur ubi anguli BAΡ, A BP simul evanescunt. Curva autem descripta secundi erit generis si anguli BAD, ABD simul evanescunt, alias erit tertii generis & alia duo habebit puncta duplicia iupolis A & B.
Iam sectio Conica determinatur ex datis ejus XXXII. punctis quinque x per eadem sic deicribi potest. Dentur erus puncta quinque A, B, C, D, E. Jun-rio perdat tigantur eorum tria quaevis A. B, C& trianguli A BC . ' ρμ' rotentur anguli duo quivis C AB, CBA circa vertices suos A&B, A ubi crurum AC, BC intersectio C successive applicatur ad puncta duo reliqua D, E, incidat intersectio crurum reliquorum AB&BAin puncta Ρ&G. Agatur & infinite producatur recta P Q, & anguli mobiles ita rotentur ut intersectio crurum AB, BA percurrat rectam PQ, &crurum reliquorum intersectio C describet propolitam sectionem Conicam per Theorema primum.
Curvae omnes secundi generis punctum duplex habentes determinantur eR datis earum punctiS m- hi h septem quorum unum est punctum illud duplex,
414쪽
& per eadem puncta sic describi possunt. Dentur Curvae describendae puncta quaelibet septem A, B, C, D, E, F, G quorum A est punctum duplex. Jungantur punctum A & alia duo quaevis e punctis puta B & C ; & trianguli ABC rotetur tum angulus
C AB circa verticem suum A, tum angulorum reliquorum alteruter ABC circa verticem suum B. Et
ubi crurum AC, BC concursus C successive applicatur ad puncta quatuor reliqua D, E, F, G incidat concursus crurum reliquorum A B & B A in puncta quatuor Ρ, Q, R, S. Per puncta illa quatuor 8c quintum A defcribatur sectio Conica, & anguli praefati CAB, CBA ita rotentur ut crurum AB, BAconcursus percurrat 1ectionem illam Conicam, iaconcursus reliquorum crurum AC, BC describet Curvam propositam per Theorema secundum.
Si vice puncti C datur pofitione recta BC quae Curvam describendam tangit in B, lineae A D, Α Ρcoincident, &. vice anguli D AP habebitur linea recta
Si punctum duplex Λ infinite distat debebit Recta ad plagam puncti illius perpetuo dirigi & motu parallelo serri interea dum angulus ABC circa polum
Describi ctiam possunt hae curvae paulo aliter per Theorema tertium, sed descriptionem simpliciorem posuisse lassicit. Eadem methodo Curvas tertii, quarti & superiorum generum describere licet, non omnes quidem sed quotquot ratione aliqua commoda per motum localem describi possunt. Nam curvam aliquam secundi
415쪽
secundi vel superioris generis punctum duplex non habentem commode describere Problema est inter dissiciliora numerandum. Curvarum usus in Geometria est ut per earum XXXlV. intersectiones Ρroblemata 1olvantur. Ρroponatur
c, d, &c. significant quantitates quasvis datas signis suis - - & affectas. Assumatur aequatio ad Ρarabolam cubicam α' π 1, & sequatio prior, scribendo 1 pro AG evadet fri lx114-ι 1y--d xx' - αν--mr fA'Haxκ--bα-j-k m O, aequatio ad Curvam aliam secundi generis. Ubi m vel 1 deesse potest vel pro lubitu assumi. Et per harum Curvarum destriptiones & intersectiones dabuntur radices sequationis construendae. Parabolam cubicam semel, describere sussicit. Si sequatio construenda per desectum duorum terminorum ultimorum bre & k reducatur ad septem dimensiones, Curva altera delendo m, habebit punctum duplex in principio Abscissae, & inde facile describi potest ut iupra. Si sequatio construenda per desectum terminorum trium ultimorumgκκ- bre θά reducatur ad sex dimensiones, Curva altera delendo f evadet sectio Conica. Et si per desectum sex ultimorum terminorum sequatio construenda reducatur ad tres demensiones, incidetur in constructionem Masi uiniam per Parabolam cubicam linciam rectam.
416쪽
Construi etiam possunt aequationes per Hyperbolismum parabolae cum diametro. Ut si construenda sit haec aequatio dimensionum novem termino penultimo carens, a ' c x x - d xΤ-e P - - α' bH mx' m o ; assiimatur aequatio ad Hyperbolismum illum xx1m i, & scribendo 1 pro aequatio construenda vertetur in hanc D'- 'cyrq dx114-e' 'Iαγ-i mxxy- -g- bxΑ-k-- lxymo, quae curvam secundi generis designat cujus descriptione Ρroblema solvetur. Et quantitatum m ac g altem utra hic deesse potest, vel pro lubitu assumi. Per Parabolam cubicam & Curvas tertii generis construuntur etiam aequationes omnes dimensionum non plusquam duodecim, & per eandem Parabolam& curvas quarti generis construuntur omnes dimen- fionum non plusquam quindecim, Et sic deinceps in infinitum. Et curvae illae tertii, quarti & superiorum generum describi semper possunt inveniendo eorum puncta per Geometriam planam. Ut si construenda
pro xy aequatio construenda vertetur in hancy' -j' si xy' ''cNX1y- - 1 xx14'r xx mo , quae est
aequatio ad Curvam tertii generis cujus descriptione Problema solvetur Describi autem potest haec Curva inveniendo ejus puncta per Geometriam planam, propterea quod indeterminata quantitas re non nisi ad duas dimensiones ascendit.
417쪽
419쪽
Quantitates Mathematicas non ut ex partibus
quam minimis constantes, sed ut motu continuo descriptas hic considero. Lineae describuntur ac describendo generantur non per appositionem partium sed per motum continuum punctorum, superficies per motum linearum, solida permotum superficierum, anguli per rotationem laterum, tempora per fluxum continuum, Sc sic in ca teris. Hae Geneses in rerum natura locum vere hahent & in motu corporum quotidie cernuntur. Et ad hunc modum Veteres ducendo rectas mobiles in longitudinem rectarum immobilium genesin docuerunt rectangulorum. Considerando igitur quod quantitates aequalibus temporibus crescentes & crescendo genitar, pro velocitate majori vel minori qua crescunt ac generantur, evadunt majores vel minores ; methodum quaerebam determinandi quantitates ex velocitatibus motuum
420쪽
vel incrementorum quibus generantur; & has motuum vel incrementorum velocitates nominando Hu-xiones & quantitates genitas nominando Fluentes, incidi paulatim Alanis i 663k i 666 in Methodum Fluxionum qua hic usus sum in Quadratura Curvarum. Fluxiones sunt quam proxime ut Fluentium augmenta sequalibus temporis particulis quam minimis genita, &, ut accurate loquar, sunt in prima ratione augmentorum nascentium; exponi autem possunt per
lineas quascunq; quae sunt iplis proportionales. Ut si areae ABC, AB DG ordinatis BC, BD superhasi A B uniformi cum motu progredientibus describantur, harum arearum fluxiones erunt inter se ut ordinatae describentes BC & BD, & per ordinatas illas exponi possunt, propterea quod Ordinatae illae
sunt ut arearum augmenta nascentia. Progre
diatur ordinata B C de loco suo B C in locum quemvis novum b c. Compleatur parallelogram-mum BCEh, ac ducatur recta VTH quae Curvam tangat in C ipsi'; b c & B A productis occurrat in T & V: & Abscissae A B, ordinatae B C, &Lineae Curvae A C c augmenta modo genita erunt Bb, Ec Cc; & in horum augmentorum nascentium ratione prima sunt latera trianguli CET, ideoq; fluxiones ipsarum AB, B C & A C sunt ut trianguli illius C ET latera CE, ET & C T & per eadem latera exponi possunt, vel quod perinde est per latera trianguli consimilis V B C. Eodem recidit si sumantur fluxiones in ultima ratione partium evanescentium. Agatur recta C c& producatur eadem ad K. Redeat ordinata b c in locum suum priorem B C, & coeuntibus punctis