장음표시 사용
421쪽
C & c, recta C K coincidet cum tangente CH, iatriangulum evanescens C E c in ultima sua forma evadet simile triangulo CE T, ejus latera evanescentia CE, E c k C c erunt ultimo inter se ut sunt
trianguli alterius C E T latera CE, E T & C T, &proptorea in hac ratione sunt fluxiones linearum A B, BC A C. Si puncta C & c parvo quovis intervallo ab invicem distant recta C Κ parvo intervallo a tangente C Η distabit. Ut recta CK cum tangente C Η coincidat & rationes ultimae linearum C Ε, Ε c ScCc inveniantur, debent puncta C & c coire omnino coincidere. Errores quam minimi in rebus mathematicis non sunt contemnendi.
Simili argumento si circulus centro B radio B C descriptus in longitudinem Abscissae A B ad angulos rectos uniformi cum motu ducatur, fluxio solidi g niti ABC erit ut circulus ille generans, & vxio si perficiei ejus erit ut perimeter Circuli illius &fluxio lineae curvae A C conjunctim. Nam quo tempore 1hlidum ABC generatur ducendo circulum illum in longitudinem Abscissae AB, eodem superficies ejus generatur ducendo perimetrum circuli illius in longitudinem Curvae A C. Hujus methodiaccipe etiam exempla quae sequuntur. Recta P B circa polum datum P revol oens secet aliam postione datam rectam A B : qi eritur proportio fluxionum rectarwm illarum AB Θ P B. Progrediatur recta Ρ B de loco suo Ρ B in locum novum P h. In
Ρ b capiatur Ρ C ipsi Ρ B aequalis, & ad A B ducatur Ρ D sic, ut angulus b P D sequalis sit angulo h B C ;& ob similitudinem triangulorum b B C, b Ρ D erit augmentum B b ad augmentum C b ut Ρ b ad D b.
422쪽
Redeat jam P b in locum suum priorem P B ut augmenta illa evanescant, & evanescentium ratio ultima, id est ratio ultima P b ad D b, ea erit quae est Ρ B ad D B, existente angulo P DB recto, & prop- terea in hac ratione est fluxio ipsius A B ad fluxionem ipsius Ρ B. Recta P B circa datum Polum P revolvens secet altra duas positione datas rectra AB Uy A E iis BE: qmeritur proportio fluxionum rectarum iliarum A BEI A E. Progrediatur recta revolvens Ρ B de loco tuo Ρ B in locum novum P b rectas AB, A E in
punctis h & e secantem, & rectae A E parallela B Cducatur ipsi Ρ b occurrens in C, & erit B h ad B C ut A b ad Ae, & BC ad E e ut PB ad P E, & conjunctis rationibus Bh ad E e ut Ab κ. ΡB ad AeκΡΕ. Redeat jam linea P b in locum suum priorem ΡΒ, &augmentum evanescens B b erit ad augmentum eva
hac ratione est fluxio rectae A B ad fluxionem rectae A E. Hinc si recta revolvens Ρ B lineas quasvis Curvas positione datas secet in punctis B & E, & rectae jam . mobiles A B, A E Curvas illas tangant in Sectionum punctis B M E: erit fluxio Curvae quam recta A Brangit ad fluκionem Curvae quam recta A E tangit ut ABkΡB ad AERPE. Id quod etiam eveniet si recta P B Curvam aliquam positione datam perpetuo tangat in puncto mobili Ρ. Fluat quantitas κ uniformiter es invenienda st finio
quantitatu M'. Quo tempore quantitas α fluendo evadit x -O, quantitas κ' evadet α-hol , id est per methodum serierum infinitarum, n o x '
423쪽
- di. sunt ad invicem ut I Sc Iox HE. Evanescant jam augmenta illa, Sc eorum ratio ultima erit I ad nx' : ideoq; fluxio quantitatis x est ad fluxionem quantitatis P ut I ad Similibus argumentis per methodum rationum primarum Sc ultimarum colligi possunt fluxiones linearum seu rectarum seu curvarum in casibus quibuscunque, ut Sc fluxiones superficierum, angulorum Sc aliarum quantitatum. In finitis autem quantitatibus Analysin sic instituere, Sc finitarum na1centium vel evanescentium rationes primas vel ultimas investigare, consonum est Geometriae veterum : Sc volui ostendere quod in Methodo Fluxionum non opus sit figuras infinite parvas in Geometriam introisducere. Ρeragi tamen potest Analysis in figuris quibuscunq; seu finitis seu infinite parvis quae figuris evanescentibus finguntur similes, ut Sc in figuris quae per Methodos Indivisibilium pro infinite parvis haberi 1olent, modo Caute procedas.
Ex Fluxionibus invenire Fluentes Problema difficilius est, Sc solutionis primus gradus aequipollet Quadraturae Curvarum ; de qua sequentia olim 1cripsi.
424쪽
Quantitates indeterminatas ut motu perpetuo crescentes vel decrescentes, id est ut fluen-Ies .el defluentes in sequentibus considero, designoq; literis x, y, x, v, & earum fluxiones seu celeritates crescendi noto iisdem literis punctatis et, ν, ω, v. Sunt & harum fluxionum fluxiones seu mutationes magis aut minus celeres quaS ipsarum et, y, κ, vfluxiones secundas nominare licet & sic designare Q, y, κ, π, & harum fluxiones primas seu ipsarum
et, y, κ, v fluxiones tertias sic et, 1, κ, υ, & quartas sic
α, Τ, γ, v. Et quemadmodum et, y, x, v sunt fiu-
xiones quantitatum et, 1, κ, ' & hae sunt fluxiones
quantitatum et, 1, x, v & hae sunt fluxiones quantitatum primarum et, y, γ, v: sic hae quantitates considerari possunt ut fluxiones aliarum quas sic designabo,
425쪽
α, 1, κ, υ, & hae ut fluxiones aliarum et, 1, κ, v, iahae ut fluxiones aliarum et, γ, Μ, v Designant igitur z, α, α, α, α, α,αὶ c. seriem quantitatum quarum quaelibet posterior est fluxio praecedentis & quaelibet prior est fluens quantitas fluxionem habens suble-quentem. Similis est series Uaet et, Uaz et,
. Et notandum est quod quantitas quaelibet
prior in his seriebus est ut area figurae curvilineae cujus ordinatim applicata rectangula est quantitas posterior & abscissa est et: uti VM et area curvae cujus ordinata est Uae et & abscissa et. Quo autem spectant haec omnia patebit in Ρropositionibus quae sequuntur.
426쪽
ΡRΟΡ. Ι. . ΡROB. I. Data aequatione quotcunq; fuentes quanιitates invol vente, invenire fluxiones. Solutio. Multiplicetur omnis sequationis terminus per indicem dignitatis quantitatis cujusq; fluentis quam involvit, & in singulis multiplicationibus mutetur dignitatis latus tu fluxionem suam , A a regatum factorum omnium sub propriis signis erit
Sunto a, b, c, d Uc. quantitates determinatae &immutabiles, Sc proponatur sequatio quaevis quantitates fluentes M, y, A Uc. involvens, uti Ny - α y ym o. Multiplicentur termini primo per indices dignitatum re, & in singulis multiplicationibus pro dignitatis latere, seu κ unius dimensionis, scribatur re, & summa factorum erit Ταχ' 1 1.Idem fiat in 1 & prodibit 'M 1 1. Idem fiat in et & prodibit a a Q. Ρonatur summa factorum aqualis ni-
hilo, & habebitur aequatio Τ x x - α ν - Ἀνν- a a et in O. Dico quod hac sequatione definitur relatio fluxionum. De-
427쪽
Nam sit o quantitas admodum parva & suntooz υ ox, quantitatum et, γ, x momenta id est incrementa momentanea synchrona. Et si quantitates fluentes jam sunt et, F es x, hae post momentum
ri temporis incrementis sitis oet, υ, ox, auctae evadent et 'M, I ox, quae in sequatione prima pro et, I &. x scriptae dant sequationem x3 3Mox
428쪽
- 6 3- 3 6αχα - 2 3T o. Ubi vero sic pergitur ad fluxiones secundas, tertias & sequentes, convenit quantitatem aliquam ut uniformiter fluentem confiderare, & pro ejus fluxione prima unitatem scribere, pro secunda vero &sequentibus nihil. Sit sequatio Uῖ-χε -h a m o, ut supra; Sc fluat et uniformiter,sitq; ejus fluxio unitas,& fiet per operationem primam sti 'i' vestr- et m o,
429쪽
In hujus autem generis sequationibus concipiendum est quod fluxiones in singulis terminis sint ejusdem ordinis, id est vel omnes primi ordinis y, et
vel omnes secundi 1, 13 1et, et' vel omnes tertii', ΥΤ, Η γ'M Iet.' &c. Et ubi res aliter se habet complendus est ordo per subintellectas fluxiones quantitatis uniformiter fluentis. Sic aequatio novissima complendo ordinem tertium fit 9 1'
Inoenire Curvas quae quadrari possunt.
Sit ABC figura invenienda, BC Ordinatim apis His aplicata rectangula, & AB abicisa. Producatur μCB ad Ε ut sit BE I, Sc compleatur parallelogrammum A BEDe Sc arearum ABC, AB ED - fluxiones erunt ut B C & B E. Assumatur igitur aequatio quaevis qua relatio arearum definiatur, Scinde dabitur relatio ordinatarum BC Sc BE per Prop. I. Q. E. I. Hujus rei exempla habentur in Propositionibus duabus tequentibus.
430쪽
miscue scribatur et,& si pro eq-fet.' Aetly - -M3 -I-Scc. scribatur R: fit autem area Curva P R' crit, ordinatim applicata BC in in Rh I.