Optice sive De reflexionibus, refractionibus, inflexionibus & coloribus lucis libri tres. Authore Isaaco Newton ... Latine reddidit Samuel Clarke .... ac D.no Joanni Moore ... Accedunt tractatus duo ejusdem authoris de Speciebus & magnitudine figurar

431쪽

PROP. IV. THEOR. II. Si Curvae abscissa A B sit et,&si pro e

432쪽

denotant totas coeffcientes datas terminorum sitas lorum in seric cum signis suis &-,nempe A primi termini coesticientem Y B secundi coessicientem

ff , C tertii coessicientem

sic deincepS.

Demn ratio. Sunto juxta Propositionem tertiam,

Curvarum ordinatae & earundem areae.

A , C Scc. Sc inde s - C. Et sic deinceps in infinitum

433쪽

nitum. Pone jam m r. r m s. s4 6 m t &c. &in area et R' in Al-BΣ C U' - - Dα3 - c. scribe ipsorum A, B, C, Scc. valores inventos & prodibit series proposita. Q. E. D. Et notandum est quod Ordinata omnis duobus modis in seriem resolvitur. Nam index ' vel affr-mitivus esse potest vel negativus. Ρroponatur Ordi-

nata Haec vol sic scribi potest

que. Et si serierum alterutra ob terminos tandem deficientcs abrumpitur ac terminatur, habebitur area Curvae in terminis finitis. Sic in exempli hujus priore casu 1cribendo in serie valores ipsorum n, b, c, e,s, g, h, ', β, s, i, P, termini omnes post primum evanescunt in infinitum M area Curvae prodit Et haec area ob signum negativum adjacet abscissae ultra ordinatam productae. Nam area omnis assirmativa adjacet tam abscissae quam ordinatae, negativa Vero cadit ad contrarias partes ordinatae & adjacet abscissae productae, manente scilicet signo Ordinatae. Hoc modo series alterutra & nonnunquam utraque semper terminatur & finita evadit si Curva geometrice quadrari potest. At si Curva talem quadraturam non admittit, series utraq; continuabitur in infinitum, & earum Dissiligoo by GOrale

434쪽

rum altera converget & aream dabit approximando, praeterquam ubi r propter aream insinitam θ vel nihil est vel numerus integer & negativus, vel ubi S aequalis est unitati. Si L minor est unitate, converget series in qua index. a firmativus est : sin unitate major est, converget series altera. In uno casu area adjacet abscissae ad usq; ordinatam ductae, in altero adjacet abscissae ultra ordinatam productae. Nota insuper quod si ordinata contentum est sub factore rationali QSc factore turdo irreducibili RπSi factoris surdi latus R non dividit factorem rationalem st; erit λ-I & Q m R . Sin factoris suradi latus R dividit sectorem rationalem semel, erit, I I & R r si dividit his, erit

& Re R 's . , sic deincepS. Si ordinata est fractio nationalis irreducibilis cum Denominatore ex duobus vel pluribus terminis comptato e resolvendus est denominator tu divisores1uos omnes primos. Et fi divitor sit aliquis cui nullus at us est' aequalis, Curva quadrari nequit: Sin tuo vel plures sint divisores aequales, rejiciendus est eorum unus, & si adhuc alii duo vel plures sibi mutuo aquales A prioribus inaequale re. yeiendus est etiam eorumi unus, & sie in aliis omniatas aequalitas si adhuc plures sint: deinde diuisor qui relinqtatur vel contentum sub divisoribus omnibus qui relinquuntur, si plures sunt, ponendum est pro. L,& ejus quadrati reciprocum R ' pro M ,prae.

t quanai ubi conteretum; illud est quadratum vel cubus vel quadrato, quadratum,&e. quo cala ejus latus

435쪽

ponendum est pro R & potestatis index et vel 3 vel

negative sumptus pro λ. & ordinata ad denomina. torem R* vel R3 vcl R vel Rs &c. reducenda. Ut si ordinata sit , quoniam haec fractio irreducibilis est & denominatoris divisores sunt pares, nempe z-Ι, z-I, T I & Σ -I,Q-ba, rejicio magnitudinis utriusque divisorem unum & reliquorum et-I, z-I, Z-l a contemtum z3 3e fa pono pro R & ejus quadrati reciprocum - seu R pro Rin , Dein ordinatam ad denominatorem R seu R 'λ reduco, & fit

in serie scriptis prodit area terminis omnibus in tota serie post primum evanescentibus. Si deniq; Ordinata est fractio irreducibilis & ejus denominator contentum est sub factore rationali Qt factore turdo irreducibili R , inventcndi lunt lateris R. divisores omnes primi, Sc rejiciendus est divisor unus magnitudinis cujusq; & per divisores qui restant, siqui sint, multiplicandus est sector rationalis Sc si factum aequale est lateri R vel, lateris illius potestati alicui cujus index est numerus

integer, esto index ille m, & erit λ - I - ω - m, Sc

436쪽

t ;. v in o. Et his in serie scriptis prodit area' terminis omnibus in serie tota

post tertium evanescentibus.

ΡROP. VI. ΤΙ ΕΟ R. IV. Si Curvae abscissa A B sit et, & scribantur R. pro

437쪽

Et si rectangulorum illorum coessicientes numerales sint respective . . .

area Curvae erit haec

Ubi denotat termini primi coefficientem datam

- cum signo suo δ' vel- B coessicientem datam secundi, C coessicientem datam tertii, Sc sic deinceps. Terminorum Vero,a ,c,ὶ c.eis,g,ου c. ἡ,ἰ,m,HP. Unus vel plures deesse possunt. Demonstratur Propositio ad modum praecedentis, Sc quae ibi notantur hic obtinent. Pergit autem series talium Propositionum in

infinitum, dc progressio seriei manifesta est. PR OP.

438쪽

PROP. VII. THEOR. V.

Si pro get q-8c. c. scribatur R ut supra, &in Curvae alicujus ordinata lola maneant quantitateS datae Φ.., e,f, g, &c- &. pro ν ac τ scribantur successive numeri quicunq; integri: & fidetur area unius ex Curvis quae per Ordinatas innumeras sic prodeuntes designantur si ordinatae sunt duorum nominum in vinculo radicis, vel si dentur areae duarum ex Curvis si ordinatae sunt trium nominum in vinculo radicis, vel areae trium ex Curvis si ordinatae sunt quatuor nominum in vinculo radicis, & sic deinceps in infititum : dico quod dabuntur areae curvarum omnium. Pro nominibus hic habeo terminos omnes in vinculo radicis tam deficientes quam plenos quorum indices dignitatum sunt in progressione arithmetica. Sic ordinata

deficientes pro quinqui nomio haberi debet. At Ua - α binomium est, & Va ' x - trinomium, cum progresso jam per majores differentias procedat. Propositio vero sic demonstratur. C A S. I. Sunto Curvarum duarum ordinatae 3 RA' && areae pA & 3B, existente R quanti

439쪽

Ρro. III. sit α'R' area Curvae cujus ordinata est in Q R' ,subduc Ordinatas & areas priores de area &. Ordinata posteriori, Sc manebiti'. ia in 'RU Ordinata nova Curvae, &

area et Rh-ae 3IB-λ. B. Divide utramq; per g - ληί , Sc arcam prodeuntem dic C, 3c assumpta utcunq; r, erit rC area Curvae cujus ordinata estri Fam Rin . Et qua ratione ex areis pA Sc qua ream 1 C Ordinatae ret' in ' congruentem invenimus, licebit ex areis qB Sc ro aream quartam Puta s D,ordinatae sis D.

RA' congruentem invenire,ia sic deinceps in infinitum. Et par est ratio progressionis ab areis B Sc A in partem contrariam pergentis. Si terminorum a , a Sc ι' A. aliquis deficit &seriem abrumpit, assumatur area pAin principio progressionis unius Sc area qB in principio alterius, Sc ex his duabus areis dabuntur areae omnes in progressione utraque. Et contra, ex aliis duabus areis assumptis fit regressus per analysin ad areas ASc B, adeo ut ex duabus datis caeterae omnes dentur. Q. E. O. Hic est casus Curvarum ubi ipsus Cindex a augetur vel diminuitur perpetua additione vel subductione quantitatis . . Casus alter est Curvarum ubi index x augetur vel diminuitur unitatibus. N n n

440쪽

t te Si terminus primus tertius & quartus ponantur se- ortam aequales nihilo, per primum fiet εae- -pe o

tertium eliminando p&q) γ b. Unde secundusi sedeoq; summa quatuor ordinatarum est summa totidem respondentium arearum est et 'R QB. Divi