Elementa geometriae ad usum collegii imperialis nobilium RR. PP. Teatinorum ab imp. Caesare Carolo 6. Hispaniarum ... opera, & studio Jo. Baptisatae Naeuii Vicentini ..

31쪽

Producatur c per post. i. latus ΑΒ in D, iii aliis AC in E , fiatque recta AE aequalis rectae ADt per a. ) denique jungantur duae rectae BE , & CD. DEMONSTRATIO. Duo triangula ΑΒΕ, & ACD sunt inter se aequalia s per ψ. habent enim duo latera duobus laterihus aequalia . latus scilicet ΑΒ trianguli ABE , aequale est lateri ΑC trianguli ACD , t ex Θpoth.

' latus AD aequale est lateri AE per eonfr. & an gulus A inter ea comprehensus est utrique triangulo communis . Ergo hass BE aequalis erit hasi CD, tum angulus ABE aequalis angulo ACD, & angulus D aequa lis angulo Ε . Duo insuper triangula CBD. R ACE sunt item aequalia sper 4. latus enim BD aequale est lateri CE sper constr. latus CD lateri BE, iit modo ostensum est,& angulus comprehensus D angulo E item comis prehenso. Erga etiam anguluS DBC aequalis erit an gulo BCE; quod primo loco erat oseudendum . Dico E. angulos ABC, S ACB, qui super basi BC sunt constituti, esse inter se aequales.

Quoniam duo anguli ΑCD, & ΑBE sunt aequales per superiorem demonstrationem ς si ab iis auferantur duo anguli CBE, BCD , qui sunt item aequatis, ob duci triangula BDC, CEB, quae modo ostensa sunt aequalia ; qui supererunt anguli ABC, ACBerunt aequales sperox. 3. quod demoUrandumsupe

32쪽

in ι

SI in triangulo duo anguli ad basim sint

aequales, latera etiam hisce duobus angulis opposita aequalia erunt. Dico, si duo anguli CAB , CBA trianguli ABC

O'. 2o. tab. I. 3 sint aequales, duo latera etiam AC, BC esse aequalia.

PREPARATIO. In hypothesi quod alterum latus , puta BC ς

majus sit, inscindatur ab eo sper 3. pars BD aeqli Iis lateri AC 3 jungaturque recta AD ,squae neces serio cadet intra triangulum.

Quoniam duo triangula ABC, ABD habent duo atera ΑΒ , BD aequalia duobus lateribus ΑΒ , AC s per eonfr. Sc angulus comprehensus B aequalis est angulo comprehensio BAC l ex Θpoth. sunt inter se aequalia sper ψ. proinde angulus B AD aequalis erit angulo B, atque adeo angulo BAC I per axi. I. J Atqui hoc absurdum est i per axi. Ergo linea AD dehet cadere super lineam AC , & p mim D in punctum C, quo fiet ut latus BC aequale sit lateri ΛC; quod demonfra um susceperamur.

33쪽

Ex duabus lii e propositionibus sequitur, omne triangulum aequi laterum esse etiam aequiangultimo s& vicissim . Anguli enim bini, & bini, non secus ac latera, semper inveni rintur aequaleS. Graium septima Enclidis Frν uio ad octav am δε- mons xdum dantaxat inserviat , quae quidem sine ea optime osteNdi potes, ne quid Mivus utile hic pona mus , omitteπdam censuimus.

THEO REMA U. SI duo triangula tria latera tribus lateribus

aequalia habuerint, alterum alteri, ea erunt Omnino aequalia. Dico, si duo triangula ABC, ACD sM. ai. tab.ὶ habeant singula latera singulis lateribus aequalia,

ea ulli omnino aequalia.

Quoniam duo triangula propofita hases aequales habent l ex poth. si bases statuantur contiguae , eaesbi mutuo congruent sper axi. S. erit igitur ΑΒ latus commune utriusque trianguli a hoc posito iii gatur recta CD, quae cadat intra duo trian uia.

Quoniam duo latera AC , AD sunt aequesta . non secus ac duo BC , BD sex hyp. angulus ACD aequalis erit angulo ADC ; & instiper angulus BCu

34쪽

aequalis erit angulo BDC c per D F proindeque iovi

angulus ACB aequalis erit K per i oxi. toti angula ADB: atque adeo per ψ.3 totum triangulum ABD aequale erit toti triangulo ABC 3 quod operaeprGinm

Ut dividatur hilariam Q hoc est it duas' passos aequales, angulus ACB I p. 23. tui . i. describatur a puncto C ad quodquumque intervallum arcus FGE, iunctaque recta FE , super ipsa constituatur per i. triangulum aequilatexum DEF ἔde Iqtie jungatur recta , quae angulum ACB bifariam dividet. D. M. I I, a ors 'o os αDEMDNSTRATIO.

Quoniam Iatus CE trianguli CDE aequale est Iais eri CF trianguli Cm per axi f i g. ) & latus DEIateri DF per comβr. latus denique CD est utrique triangulo commune , iam evidens esti per 8; haec duo reiangula CDE , CDF esse inter se aequalia , latqueis adeo anguIum ΑCD aequalem esse angulo BCD; quod sum facere , tum demonserare oportebat. . i

n Atam rectam line*m fipi tam . bifariana

35쪽

t Ixngulum laquilaterum ABC per i , tum dividatur. bifariam ira 9. angulus ACB per rectam CDό quae Iineam ΑΒ etiam bifariam secabit in puncto D.

DEMONSTRATIO.

Quoniam latus' AC trianguli ADC aequale est lateri CB trianguli CDB sper constr. latus vero CD utrique triangulo est commune , & angulus comprehensus ΑCD aequalis est item per coa pr. angulo comprehenso BCD ; haec dito triangula erunt aequa

A Puncio dato rectae lineae rectam ipsi peris

pendicularem excitare . . Ut a puncto C dato super recta. ΑΒ trii. δ*tab. X. excitetur: recta linea , qtae e taetri ad rectos. ngu 4os insistat, sumantur superil ipsa duae paelestaeqnals lCD, CE sper io. J & supe recta DE duseribatur po .i triangulum aequi laterum DEF, ut habeatur punctum p , a quo si ducatiir ad punctum datum C lioea CF, haec erit rediae AB perpendiculariS . . i. .. .

Quoniam tria astra trianguli CDF aeqnalia sunt tribus lateri hus trianguli C EF ; nimirum latus CD aequale est lateri . tum latus DF aterium ico str. latus vero CF commune δ iam, livinens. est ea triangula esset aequalia i per 3. a P inisqu* ai

36쪽

.inluni DCP aequalem esse angulo ECF τ . tque, adeo c. per desis.) lineam FC essis lipeae AB, perpentdieularem; quod tum Iacore, tum dem mare Uρr

rectam perpendicularem ad eandem e

It a puis o C cxtra lineam AB dato D. a , .rah. n. 3 ducatur ad Ipsam recta perpendicularis ; deis scribatur a puncto C arcus quiquumque DFE , qui re Sam AB secet in punctis D , S E ; divisaque hi fariam sper io. resia DE in Puncto Fiungatur rectia,CF , quae rectae ΑΒ perPendicularia erit.

DEMONSTRAT O. Si iungantur duae rectae CD , CE , appareb Ieouo triangula CDF, CEF esse aequalia cper 8. latuuenim CD aequale est lateri CE per axi. i 3, ) latus vero DF lateri EF c per conser. latus denique CSutrique triangulo commune ; Ergo angulus CFD aequalis erit angulo CFE; proindeque linea CF erit rectae

ΑΒ perpendicularis c per des. ι o. θ quod ficere , cer

ostendere opstriebat . . . '

Usus linearum perpendicularium maximus es, , quum in omni Geometraa , tum iu P fico-matbematica a nihil enim tam frequenter commemoratur ubi de motus corporum refractione agitur, ct luminis praese sim , qstam huiusmodi reus perpedidicularer, ad quas radii rorarii propius accedunt , cuι ab ru recedunt ii D et ubi

37쪽

38 ubi a m dio uvius rationsi tu aliud oblique morant, Ni ab aera tu aquam , aut vidissim . diuocirca quam au gulos refractionsem metiri volumus, eos semper comparate ad perpendiculares liuear cousideramus. Verum

de Boe alibi nonnihil dicendum erit , ubi scilibet liseis circulos tangentibus sermo erit Libro 3.

PROPOSITIO XIII.

Uvi recta quaepiam in aliam rem ni incsiadit, vel duos.angulos rectos ultra 1 ci

traque efficit, vel duobus rectis aequales - . Dico , si reeta ED M. 26. tab. t. Incidat in

vectam AB, vel duos rectos angulos hinc inde cum Ea efiicere , vel dilos ait los duoBrix rectis angulis stinui aequales. . .

' SI redia ED sit perpendicularis rectae AB , evidens est per def. lo. duos angulos ADE, BDF esse rectos . Quod si minime perpendicularis sit, ut linea CD, excitetur c per ra. a pundto D perpendicularis DE, quae binos rectos angulos EDA, EDB, una cumreeta ΑΒ , constituat per def. io. θ quibus quum Congruant duo anguli obliqui ADC, BDC, hi erunt duobus rectis aequales c per axi. 8. quod osevdendam susceperamus. COROLLARIUM I. Hinc sequitur , quod si angulus CDB sit acuα iis, alter erit necessario obtusus ; si vero alter rectus

sit Distrigod by Coral

38쪽

gnitus 3 aloer quoque erit cognitus . Ut eognoscatur avuli Salor , utuntur Geometra Ireulo a venire avuli descripto ς circulum autem ivi ut m 36o partes , quas gradus vo aut Tit

angulum, una cum augulo isDC, duobus restis angulis aequivalere . RNum autem horum an sisertim AEDG.

ADG mensura H semisirculus et L , hiso sequitur circust circumferentiam, nimiνum zo ργα 'cus Uye mensuram duorum augulorum rectorum

esset, uousquisque esset 9o graduum, atque adeo eius Uura esset quo rons , seu quarta pars circuli. δε-

ἡ DRM- Πη intersecantes, ut AB . Cric g. 27 tab. IV vel quatuor rectos angulos eme ---hVς 'δ'xuor aequivolentestis Eorum enim mensiira est integra circuli peripheria. Ex quo insem 2 , in R: omne. , quam ιSinfinitae sint numero, in puncto sest' intςrsecantes , angulos semper emcere qu tuor rectis aequales t wPyr Omcerciis

39쪽

SI ad aliquod recte lineae puniyiam binae

rectar lineae occurrentes duos angulos du Bus rectis.aequales cum Priore consti tuant, hari uetit lineae in directum erunt oppositae.

Dico, si duae rectae AD, BD i I l. 26. tab. I. concurrentes in punctum D linea: DE, constituanc cun hac eadem linea DE duos angulos duobus rectis a qua les , eas esse in dired tum oppositas , sive unicam re etam lineam ΑΒ constituere.

In hypothesi , quod dum eoAM An , BD sim inclinatae , producadiar a itera uarum puta AD, in dire

eium in C sper a. pop.ὶ adeo ut linea ADC recta fingatur, qu trumque Incidat putas lini C. ι

i . Quoniam Α DC est' ev Θpoth. duo anguinu ADE. CDE sinuit sumtie orsine aequales duobus rediis I per i 3. Atqui etiam duo anguli ΑDE , BDE sunt aequales duobus rectis sex Θpoth. Ergo duo anguli ΑDE , CDE sunt a quales s per axi. I. duobus angulis ADE, BDE smul silmtis; proindeque sublato communi angulo. ADE remanebit angulus CDE aequalis angulo BDEs r rixi ., cilicet pars toti, Atqui hoc absurdum est sper axi. 8.ὶ Ergo linea DC debet cadere super lineam DB ; quae idcirco cum recta AD unicam rediam constituet ; quod ostende. dum susceperamus. O .i CΟ-

40쪽

ΗIne sequitur, s ad idem punctum D ducantur hinc rectς AD, BD eidem recta: DE perpendiculares, has unicam lineam rectam constituere.

SI; duae t iaperet sese invicem Anteriec .

que enim summa angulorum aequa Ualet duobus angulis

i Si blatos tur Inmuni angulo CEB, re manebiti angulus ABC Uustis angulo BED per axi 3. Eadem ratione, demonstrari potest angulus CEB aequalia ei' angulo REP, ad verucem sibi opposito t