Elementa geometriae ad usum collegii imperialis nobilium RR. PP. Teatinorum ab imp. Caesare Carolo 6. Hispaniarum ... opera, & studio Jo. Baptisatae Naeuii Vicentini ..

61쪽

monstrari potest, angulos pentagoni aequIvalere 6 am :gulis rectis; quadrilateri Uem 4. &c. s

- si producantur latera polygoni , anguli exteri res simul liunti aequales sunt rectis angulis; id au- item consequitur quum ex hac, tum ex propositione

XIII. .

PROPOSIΤIO XXXIII.

THEO REM A XXII DUae rectae lineae sunt aequales . & paraIlelae, si duas rectas aequales, & parallelas

simul connectant. Dico , duas ructas AC , BD cing. a. rab. a. 9 esse aequales, & parallelas, si duas AB , CD aequales , Aparallelas contineant. . .

DEMONSTRATIO.

. Ducta recta AD, manifestum est duo triangula ABD , ΑCD eae aequalia cper 4. JOh duo latera AD, nm requalia ex Ο duobus lateribus AD , ΑΒ ἔobque angulum comprehensum ADC aequalem sper 29. angulo alterno DAB , item comprehensio ; Ergo etiam recta AC aequalis erit rectae BD a quod ostendere

. . t. a . . . .. -

62쪽

PROPOSITIO XXXIV.

THEO REM A XXIV.

IN quolibet parallelogrammo quum anguli,

tum latera opposita sunt inter se aequalia. - Dico I. in parallelogrammo ABDC cfg. a. tab. a. bangulos oppositos B , S C , tum BAC , BDC esse .

DEMONSTRATIO.

. Quoniam duae rectae AB, CD sunt parallelae cevhr duo anguli alterni BAD, ADC sunt aequales per a9. haud secus atque duo ADB, DAC, item alterni, ob duas parallelas AC, BD . Quare etiari angulus B aequalis erit angulo C cper 32.9 S c perari. a. θ totus angulus BAC aequalis erit toti angulo BDC ; quod primum Matio gendendum. Dico a. duo latera AB, CD esse aequalia, non χςus ac duo AC, BD.: - . DEMONSTRATIO.. Quoniam duo triangula Α , ADB duos angu-Ios C , ct CDA aequales habent duobus angulis B , RAAD, alterum alteri , ut modo ostendimus , & latus. AD commune , ea sunt aequalia per 26. proindeque etiam duo latera AC, CD erunt aequalia duobus lateribus BD , BA , alterum alteri s hi opposito ; quia undeaduis supererat.

Recta linea, quae per angulos oppositos paralle

63쪽

logrammi tranfit, In duo triangula aequalia ipsum dis vidit ; eaque idcirco 'Diagoualis vocatur.

COROLLARIUM II.

Si per punctum aliquod In Diagonali sumum .ῶucantur duae rectae duobus parallelogrammi lateribus parallelae, hae divident parallelogrammum in 4 parallelogramma, quorum duo, per quae diagonalis non transit, erunt inter se aequalia. Videlicet in parallelogrammo ABCD M. is. tab. a. duo parallelogram maDGEI, EFBH , sunt aequalia. Etenim si a duobus triangulis aequalibus ABC , ADC auferantur duae partes aequales AEH , AEG, tum duae CEF , CEI, item aequales, iam manifestum est, duo parallelogramma DGEI, EFBH esse aequalia sper axi 3. ι

THEO REM A XXV. PArallelogramma sunt aequalia ἰ quae communem habent basim , di intra easdem

parallelas sunt constituta. Dico, duo parallelogramma EHGF , ΕΗΚΙ A.

I. tab. 2. j quae communem habent basim EH , atque intra duas parallelas ΛΒ, CD constituta sunt, esse aequalia. DEMON S T RATIO. Quoniam duo latera FG , IK sunt aequalIa hasi EH L per 34. sunt isqualia Inieci se per axi. r. igitur si utrique addatur recta Gl , habebitur recta FI aequalis metae GK. cper axi. 2. proindeque tri

64쪽

angulum FEI aequale erit c per 8. triangulo GH Κ. ob latus nimirum FI aequale lateri GK , tum ob duo latera EF , EI aequalia duobus lateribus HG , ΗΚ per 34. Quare si ab utraque summa auferas commune triangulum GLI, remanebit trapeκium EFGL aequale per axi. 3. trapeZio HKIL; si vero utrique trapegio addas commune triangulum EHL , habebis parallelograminum EF GF aequale parallelogrammo ΕΗΚΙ per ax. a. a quod os Niriudum susceperamur.

Parallelogramma , quae aequalem habent basim , ,& intra casdem parallelas sunt constituta , sitnt aequalia . Videlicet duo parallelogramma EHGF , IMLΚ A. s. rab. a. quae aequales hahent bases EF , ΙΛΙsunt inter se aequalia c per axi. t.) quum sint aequalia eidem parallelogrammo EHIΚ ; qucd sane ostendit Euclides Propositione XXXVI, quam idcirco O mi I

THEO REM A XXVII. . TR iangula sunt aequaIia, quae communem habent basim , di intra easdem parallelas sunt constituta. Dico , duo triangula EFG , EFH A. 6. tab. a.

quae communem habent basim EF, dc intra duas parallelas AB, CD sunt constituta, esse inter se aequa . lia.

PRAEPARATIO.

sumantur super linea AB duae partea AG, & ΗΒ

65쪽

aquales hasi FE , jungaturque recta EΑ , quae erit i. rarallela, & aequalis rediae FG sper 33. in item jungatur recta FB , quae rectae EΗ erit item parallela, &aequalis a ex quo fit, ut duo quadrilatera EFG R, EFBH sint parallelogramma sper 34. ' :

Quoniam latus EG trianguli EFG est diagonalis bparallelogrammi EFGA , triangulum EFG erit ejus dimidium sper 34.ὶ Obque eandem rationem triangulum EFH erit dimidium parallelogrammi EFBH . Atqui duo parallelogramma EFGA , EFBH sint aequalia per 3 s. in ergo etiam eorum dimidia, nimirum duo triangula EFG, EFΗ , erunt aequalia per axi. 7. quod oper pretium erat demonstrare. COROLLARIUM I. Hinc sequitur, triangula, quae aequales habent binses , ct sitiat intra easdem Parallelas constituta , ut EFG, MIK crig. 8. t.b. a. esse.inter se aequalia ἔambo enim sunt dimidia duorum parallelogrammorum EFGA, HIBK, quae sunt aequalia sper 3 s. quod qui dem demonstratur ab Euclide Propositione XXXVIII, quae idcirco omittitur.

COROLLARIUM IL' Parallelogrammilm est duplum trianguli, si ambo eandem habeant has m , & intra easdem parallelas constituta sint. Sic parallelogrammum EFGH ing. ro. tab. a. est duplum trianguJi EU ; siquidem triangulum EFI est aeqnale triangulo FFo, quod per 34. est dsintdium parallelogrammi EFGH; id quod osten' dit Euclides Prop. XXXXI, quam idcirco omittemus. PRO

66쪽

Τ. H EOR E M A. XXIX. Riangula aequalia, quae eandem habent basim . intra easdem Parallelas sunt c*nsti

Dieo, si duo triangula ABC , ABD A.9. laeto eandem hasim ΑΒ habentia sint a qualia , rectam CD ductam per eorum verticem, Parallelam essu hasi AB. PRAEPARATI O .'

In hypothesi , quod linea CD non sit parallela hasi ΑΒ , ducatur a puncto C recta CE eidem AB parallela , I per 3 . quoquumQue incidat haec linea, quam is ne supra lineam CD cadero Ostendemus . Jungatur in

Quoniam duo triangula ABC , ΑΒΕ eandem habent basim ΑΒ , ct sunt intra easdem parallelas ΑΒ , CE per eousnj ea sunt inter se aequalia e per 37. Hinc triangulum ABE aequale erit triangulo ABD cper axi. I. ex quo manifestum cst rectam CE comvenirc debere sper axi. 8.ὶ cum recta CD, quae pro inde has ΑΒ erit parallela ; quod ostendendum suscepe

Eodem modo demonserari potes 'Prop. XL , qua dicitur , trian uia aequalia , quae aequales habent bases, esse intra easdem parallelas consituta; si quidem idem omnino es habere bases aequales , ac basim habere com

67쪽

PROPOSITIO' XLII.

PROBLEMA XI.

DAto triangulo aequale Parallelogramm uni

describere habens angulum aequalem anisulo rectilineo dato. . - Ut fiat parallelogrammum aequale triangulo ABCt . tr. tob. 2. habens angulum aequalem dato angulo D , ducatur a puncto C recta CG parat ela hali ΑΒ sper 31. divisaque hasii ΑΒ bifariam in E l perio. t fiat in puncto E angulus BEF aequalis angulo D dato per rectam EF per a 3. Denique a puncto B ducatur recta BG parallela rectae EF sper gi . qu barallelogrammum EBGF constituet aequale triangui ABC. DEMONSTRATIS. : Si iungatur rem CE , uianifestum est, duo triangula ACE. BC E esse aequalia sper 37.ὶ proindeque tri ' angulum ABC esse duplum trianguli BCE. Atqu, etiam parallelogrammum P BGF duplum est trianguli BCE iter 27. ergo erit aequale triangulo AB M P 'axi. 6. J quod faciendum, oe demonstrandum suscepe

68쪽

ΡROBLEMA XIII. ΡArallelogrammum describere aequale rectilineo dato angulum habzns φqualem Mi

Ut describatur parallelogrammim aequale rectilineo ABCD M. 7. cab. a. idebet Prius triangulum ipsi aequale, nititui. Ducia itaq'e diagonali DB , ducatur a puncto C . recta CE parallula eidem DBil per 3 i. productoque latere ΑΒ in E iungatur recta DE, quae .triangulum ADE constituet aequale rectilineo, seu trapeZio ABCD.

i. i DEMONSTRATIO. . . .

Quoniam duo triangula BDC, BDE habent his fim communem BD, S sunt intra duas parallelas DB, CE , sunt aequalia toer g . Si igitur ab iis auferatur commune triangulum BDF . remanebit per axi. 3. .eriangulum BFE aequale triangulo DFC. Ergo si a tra pegio ABCD auferatur Purti . DFC. cujus loco ad-djiciatur portio eidem aequalis BFEi, manifestum est, triangulum ADE futurum aequale trapeais ABCD . Huic porro triangulo ADE ssivit euigrit aequa te parallelogrammum sper a. l habens angulum aequalem. cu libet angulo dato ; 2uod facere , ct ostendere opus

erat.

Si quis parasielegram I rectauulum rhomboidi E HKI c fig. 3. tab a. aequale consituere velit , ex critatis a pundyis E, di H perpendicularibus EF, GH, dabant rectangulum , quod itiquiritur . Η a PROM

69쪽

PROPOSITIO XLVI

PROBLEMA XIV. Uper datam rectam Iineam quadratum de

Ut describatur quadratum super datam recta tria AB A. ra. tab. a. ducantur sper M. ah extremis Α, & B duae rectae AD, BC rectae AB perpendieulares , & aequales , jungaturque recta CD ; quo facto figura ΛBCD erit quadratum.

am sunt perpendiculares eidem AB erunt parallelae

sper 28. Ergo etiam duae rectae ΑΒ , ct CD eruntaeqnales, ' parallelae sper 33. proindeque quatuor latera ΑΒ , BC , CD, DA erunt aequalia . i. . .' Quoniam igitur figura ABCD h parallelogram- mum angulus D aequalis erit angulo B sibi opposito, & angulus BCD aequalis angulo BAD item sibi O positos per 3 . quumque duo anguli B, &BADre

70쪽

PROPOSITIO XLVII.

THEO REM A XXXIII. IN triangulis rectangulis quadratum hypo tenuis, seu subtensae angulo recto , aequa- Ie est duobus quadratis, quae fiunt sub lateribus rectum angulum continentibus , simul

Dico, quadratum quod fit sub linea AB R. 13. tab. 2.3 quae nihtenditur angulo recto ACB , nimirum quadratum ABDH , aequale esse duobus quadratis BCFG , AC PE, quae fiunt sub lateribus ΑC , BC rectum

angulum continentibus.

Ducatur ab angulo recto C recta CL perpendicularis hypotenuis ΑΒ ipsam intersecans in puncto Κ, junganturque rectae CH , CD, AG, BE . DEMONSTRΛΤΙΟ. . Quoniam diis triangula ABG , BDC habent duo latera AB, BG aequalia duabus lateribus BD , BC, &angulus ABG comprehensus ih triangulo ACB aequa- lis est angulo CBD item comprehensio in triangulo BDC sper axi. IO. OE. uterque enim Constat ex angulo recto , ct communi acuto ABC , haec duo tr angula erunt aequalia sper 4. Atqui triangulum ABGest dimidium parallelogrammi BGFC ejusdem Basis BG, α inrra easdem parallelas EG, AF eonstituit 37. Ec vicissim triangulum BDC est dimidium parallelo-rrammi BDLΚ ejusdem basis BD, & intra easdem