장음표시 사용
41쪽
IN quolibet triangulo , producto uno latere
qua liquuinque , Magulus exteriωr major est quolibet interiore opposito seorsum sumto. Dico , in triangulo ABC c Ag. 28. tab. I. an gulum cXtriorem CBD , qui fit produeho latere ΑΒ in D, majorem esse angulo interiore Α , vel tosti
Quoniam duo latera AE ; csi trianguli ACE aequalia sunt dubhus lateribue EF, EB trianguli BEF pet Ur.) & angulus comprenetisus' ΑEC aequalis ere gulo Nomprehenso' BEF sibi ad verticem opposito per i s. haec duo et Antilla ACE, BEF sunt aequar ita cper 4. proindeque aflgulus ACE aequalis est angulo EB F, atquo a eL mli or angulo CBD ; quo
primo loco erat ostende/Idum . . .
42쪽
triangula sit ni Inter se aequalia iter 4- ideoque angulus GAC aequalis erit angulo GBH, adeoque minor angu Io GBΙ; qui quum fit aequalis angulo CBD sper i s. sequi inr angulum C AG minorem est e anguinto CBD ; quod demonserandum supererat .
IN quolibet triangulo duo anguli quiquum
que simul sumti duobus rectis sunt minores Dico, in triangulo AB Q. 28. tab. i. in duos angulos BAC , S ABC simul sumtos . vel si mavis , duos angulos ABC , BCA item simul sumtos, esse
minores summa duorrim angulorum rectorum.
Producto uno latere, quoquumquα, ut AB inta, D , manifestum est per t6.3 angulum CBD maiorem esse angulo interiore sibi opposito BAS, vel ACB. Atqui angulus eXterior CBD una cum angulo ABC aequivalet summae duorum angulorum rechorum t per 3. Ergo si loco anguli exterioris CBD addatur angulo ABC angulus interior CΑΒ , qui minor eli angulo CBD , summa duorum angulorum CAB, CBA minor erit summa duorum angulorum rectorum . idem die, si angulo ABC addatur angulus ACB , qui item minor est angulo exteriori QBD . Muod ostendendum susceperomm.
43쪽
Ex hac propositione sequitur , non posse ab eodem puncto extra lineam sumto binas redias duci eidem rectae perpendiculares; alias enim hae lineae efficerent cum ea triangulum , in quo duo anguli simul sumti essent aequales duobuS reetis, quod abs urdum
IN omni triangulo angulus major est , qui
Dico , in triangulo ABC tri Σ9. tab. I. angulum C AB, qui lateri maiori CB opponitur , maiorem Esse angulo B, qui Opponitur rateri AC minori. PR.,EPARATIO. Abscindatur a latere maiori CB portio CD aequalis lateri minori ΛC , jungaturque recta AD , quae necessario cadet intra triangulum .
DEMONSTRATIO. Quoniam duo latera CA , CD irIanguli ACD sunt aequalia i per eonfri duo anguli CAD , CD A
44쪽
THEO REM A XII. 33 IN quolibet trianguIo latus maius id est, quod maiori angulo Opponitur.
Dico, in triangulo ABC sing. 29. tab. 1. Iatuae BC , quod opponitur angulo BAC maiori, majus effulatere AC, quod Opponit ut minori angulo B.
Posito, quod angulus CAR major sit angulo B, Iatus BC non erit aequale lateri AC, quia angulus Re let aequalis angulo BAC per S. quum sit minori ex Θp. Sed neque erit minus latere ΑC , nam angulus B esset major angulo A t per I 8. in ergo neces sario majus esse debet latere ΑC ; quod oseudeiadum susceperamur.
Ex duabus hisce propositionibus sequitur , Irta triangulo scaleno omnes angulos esse inaequales . Id etiam consequitur ex propositione VI ; nam si scalenum duos haberet angulos aequales , etiam duci latera aequalia haberet.
In triangulo rectangulo majus latus est hypotem fa, seu subtensa recto angulo . Item cin am h ligonici majus latus est, quod opponitur angulo obtuso. E a PRO
45쪽
IN omni triangulo duo latera, quaequum
producatur latus CA in D , ct fiat recta AD aequa fis latcri AB, jungaturque recta BD. DEMONSTRΛΤΙΟ.
Quoniam draci latera AR Ao trianguli ABD sint i aequalia sper con r. 3 angulus D aequalis erit an- Rulo DBA t per s. J proindeque minor an eulo DBC; Ergo per i 9.ὶ latus CD,sive duo latera AB, AC ipsi aequalia , majora erunt latere BC ; quod erat ineuisudum
Ex hac propositione sequitur, rectam lineam essellare Vistima in omnium linearum , quae ab uno puncto ad aliud duci possunt et haecque prapositio idcirca. tanquam axioma ab Archimede proponitur
46쪽
SI a puncto aliquo intra triangulum sumto
ducantur duae redis ad extrema unius laturis, illae quidem erunt simul minores: reli quis duobus trianguli laeteribus ,' at angulumessicient maJorem . Dico primo , in triangulo ABC rab. a. duas rectas DA, DB a putarto D ait duo extrema A,S B lateris AB ductas, esse minores duobus lateribus
In etriangulo ACE, quod fit producia linea AD in Ε, duo latera. CA, CE simul simiae majora sit ni per et O. J tertio latere AE . Ergo si duabus hisce magnitudinibus inaequalibus addatur linea EL , duo latera CA , CB crunt majora duobus ΕΛ , EB έρer. axi. 4.ὶ Similiter in triangulo BDE duo latera ED, EB sunt maiora tertio DA per a o. ) Ergo addit utrique magnitudini revia AD ς duae rectae DA, DR simul sumtae minores erunt duabus rectis Eq, EB aΛtqui duae rectae EA, EB ostensae stitit minores dua-hus CA, CB; ergo potiori iure duae rectae D L , D Scrunt duabus C A ,.CB minores a quod pri.ns loco opus
Dico secunio, angulum ADB majorem esse ai gulo C.
In triangulo BPE angulus exterior ADB maior
47쪽
est interiore sibi opposito Dra sper i 6.ὶ quIquum sit exterior comparate ad triangulum ACE, est etiam major interiore opposito C per 36. J Ergo potiori jure angulus etiam ADB major erit ipso angulo C ; quod os eudeadum sepererat d
PROBLEMA VIII. TR ianguluin describere habens. tria latera tribus datis rectis lineis, quarum Una reliquis duabus simul sumtis minor sit, aequalia.
Sint datae tres rectae AB, AD , AC s A. Sa. Iab. r. Igitur, si placet, sumatur probasi trianguli, quod describi oportet, linea AC ; interim a puncto A describatur arcus ad intervallum longuitudinis alterius latae , ut ΑΒ, & a Puncto C describatur alter arcus ad intervallum longitudinis lineae AD , qui secet priorem arcum in puncto E, a quo dueiae duae rediae ad duo extrema Α, & C lineae AC dabunt triangulum, quod requisitum ruit . . .
DEMONSTRATIO. Quoniam latus ΑΕ aequale est lineae AB t reostr. J S latus C E aequale est item sper confr.) alteri. lineae AD ; jam tria latera trianguli ΛCE tribus datis rectis lineis aequalia erunt Ξ quod faciendum , erjemonstraudum jusceperiamur .PRO-
48쪽
PROBLEMA IX. IN puncto dato. rectar lineae angulum essice
re aequalem alteri angulo dato. Ut in puncto D rectae DE s G. 33. tab. r. 'fiat angulus ae qualis angulo B dato , ducatur a puncto F , sumto ad libitum super lineam ΑΒ , ad punctum G ad libitum item sumturin , recta FG ; tu , per a a. J super rediam DE describatur triangulumia D IH latera habens aequalia tribus lineis BF, BG, FG, ita ut DI aequale sit rectae BG , DH rectae BI , denique Hl, reeiae FG; quocirca etiam angulus D aequalis erit angulo Proposito ABC .
D E M O N S T R ΑΤΙ o . . Qitoniam tria ilatera trianguli DHI aequalia sunti per conser tribus lateribus trianguli BGF s haec duo triangula erunt etiam aequiangula sper ου. in proindeque angulus D aequalis erit angulo B , quibus aequaliae . latera FG, IH subtenduntur; quod facere, O viri
49쪽
SΙ bina triangula duo latera duobus late
ribus aequalia habuerint alterum alteri. at angulus a duobus lateribus unius trianguli comprehensus major sit angulo ab alterius lateribus aequalibus comprehenQ , basis quoque majori angulo subtensa major erit basi minori angulo subtensa. ' i Dico, in duobus triangulis ABC, DEF si .ῖ .
Isib. I.)duo latera CA, CB , duobus lateribus ID, FE aequalia habentibus , si angulus C ComprehensuSin triangulo ABC , major sit angulo DFE trianguli DEF, basim ΑΒ etiam majorem esse basi DE . PRAEP ΛR ATIO. Fiat in puncto F trianguli DEF angulus DFG aequalis angulo C s per a 3. per lineam FG aequalem lateri CB , quae necessario cadet extra triangulum DLF; quum angulus DFG major sit angulo DFE em p.) denique jungatur recta DG.
DEMONSTRATIO. Quoniam recta DF aequalis est rectae AC c ex hyp.
linea autem FG aequalis rectio CB , tum angulus DFG aequalis angulo C sper covsr. duo triangula ABC, DGF aequalia sunt sper Α. proindeque hasia AB aequalis has DG. Quoniam item duo latera FE, FG aequalia sunt cidem lateri CB s per eoabir. erunt inter se aequalia
50쪽
ε cper axi. atque adeo angulus FE G , aequalis erit angulo FGE c per S. proindeque major angulo DGE, qui potiori jure minor erit angulo DFG. Quamobrem linea DG , seu AB ipsi aequalis major erit speri 9. linea DE I g od se deνdum susceperoranus - - :
SI bina triangula duo latera habuerint duo
bus lateribus aequalia, alterum alteri , ha-ss vero unius hasi alterius major sit , anguintus hasi majori oppositus major erit eo , quod
minori opponitur. Di eo in duobus triangulis ABC, DEF γῆ . 34. rah. I angulum C, qui opponitur majori has ΑΒ, maiorein esse angulo DFE, qui minori DE opponi
Primum quidem angulus C nequit esse aequalis angulo DFE, nam basis etiam ΑΒ ae luxtis esset basi DE per η. oh duo latera CA CB aequalia duobus lateribus FD, FEἴ quod sane ex contra hypothesim. Item nequit angulus C minor osse angulo F ; nania, hasis AB minor esser basi DE per et . quod item est contra hypothesim ς ergo angulus C major est angulo F ; qstod ergr ostendendum .