장음표시 사용
51쪽
SI bina triangula duos angulos duobus anguώlis aequales habuerint, alterum alteri , &latus imius aequale si Iateri alterius ; ea erunt
omnino aequalia. a. Dico, si in duobus triangulis ABC, DEF M. rab. I. angulus Α, v.g. sit aequalis angulo D, anga-lus B angulo DEF, & latus ΑΒ lateri DE zequale , ambo e me omnino aequalia.
nime aequale sit latori ΑC trianguli ABC , fiat latus DG aequale eidem lateri ΛC , quoquumque incidat punctum G, quod sand in punctum F cadere demon' lirabimus; jungatur insuper recta EG.
Quoniam latus DE trianguli DEG aequale est ex votis. θ lateri ΑΒ trianguli ABC; latus vero DG laturi AC cper eonseri θ angulus denique comprehen i iis D aequalis item est angulo comprehenm Λ , duo: triangula ABC, DEG aequalia sint per 4. Protindeque angulus B aequalis erit angulo DEG ; atqui idem angulus B aequalis est angulo DEF c ex bdis ergo angulus DFG aequalis erit angulo DEF sper xi. 1. Ex quo colligitur, lineam EG debere cadere sit per lineam ΕΡ per axi. 8. proindeque lineam DF aequalem esse lineae AC, & cper 4. totum triangulum DEF aequale esse triangulo ABC ; quod ostem devotum susceperamur. Haec
52쪽
Haee demonstratio tu eo easu procedit, quo poni ,ν anguIas DEF ouabs uetuis E . diuod si laco, hujus , ponatur an uiuo F αqualis angulo G , edi latui 'DE aequale sit lateri e S , moueΠ:e eudem praeparatione, evideus es aetatum 'DSE aequalem es e per . augulo C, er prolude avuls F, angulas u im ruis exterior luteriori opposito I quod quum sit abfιν-dtiis c per i 6. hinc is , quod livea EG cum liuea EF coue enire debeat ,s ue totum iret avulvis D EF aeqώule erit toti triau D ANC; quod erat ostende naunia
SI recta linea in binas rectas incidens angu
los intra eas contentOS alternatim oppositos aequales secerit, binae rectar erunt paralle-Iae a Dico , si linea GH G. 36. rab. r. θ in duas rectas ΑΒ , CD incidens angulum interiorem AEFaequalem ossiciat alteri angulo interiori EFD sibi alternatim opposito , binas rectas AB , CD este paralle las, sive aequidistantes.
DEMONSTRATIO. In hypothesi, quod duae rectae AB, CD mi nime
Iint parallelae, seu aequidi intes , jam altera ad alicram inclinahItur , adeoque fi producantur, in aliquo puncto tandem sibῆ occurrent , ex. g. cin Puncto Iaproindeque cum recta EF triangulum EFI constituent , in quo angulus exterior AEF erit aequalis angula interiori opposito EFI, siquidem hi anguli sunt aequales
ex Θpoth. Atqui hoc absurdum cli per i6.3 Ergo F a duae
53쪽
duae rectae AB, CD nunquam sibi occurrere possunt, atque adeo sunt parallelae perdes s s. J quod demon-Fraudum susceperamus.
SI recta sit per binas rectas incidens anguis
tum exteriorem aequalem faciat interioriopnosito ad easdem Partes vel si duo anguli interiores ad easdem partes simul sumti aequales sint duobus rectis, duae rectae erunt parallelec a Dico i .s linea GH Gg.36.rah. r. incidens In hinas r 'ctas AB, CD, angulum exteriorem GEB aequalem faciat angulo interiori EFD ipsi ad easdem partes op- polito, duas rectas AB, CD esse parallelas.
. Quoniam angulus EFD aequalis est ex hypoth. Jangulo GEB, qui aequalis est per i s. angulo AEFsbi ad verticem opposito ς sequitur per axi. l.) an aulum EF D mualem esse eidem angulo AEF ; proindeque duas rectas ΑΒ , CD esse parallelas cper a . quod strimam erat ostendendum . . Dico a. si duo anguli BEF , EFD interiores ad easdem partes si naui sumti sint atauales duobus rectis angulis , binas rectas AB, CD esse parallelas. DE
54쪽
Quoniam duo anguli BEF , EFD smul su nati su nisequales duobus reciis c ex hypoth. & vicissim duo anguli BFE,AEF sunt item aequales duobus rectist per i 3.) si ab utraque sumnia auseratur communis angulus BEF, remanebit angulus EFD aequalis per axi 3. ) angulo alternatim opposito AEF ; proinaeque duae rectae ΑΒ , CD erunt parallelae per 27. quod ostendetidum supererat.
REcta linea , quae uni ex dVabus para telis es perpendicutaris, es etiam per
pendicularis auers . Dico, lineam EF fig. 37. tab. io esperpendicularis, alteri etiam e m , quae priori GDes parallela , esse pariser perpetidicularem . PRAEPARATIO. Suintis super recta CD duabtis partihres in alibus FG, FH, exciteNtur per ii. a punctis G, O H duae rectae GI, HK eidem CS perpeu loculares; ta, juvantur duae rediae FI, FK . DEMONSTRΛΤΙΟ.2uoniam latus FG trianguli ret3arauli FGI es aequale per constr. luteri FH trianguli rectangu-B F- , latus vero GI aequale lateri HK per axi. Ir. haec duo triangula rectangula FGI, FHR eruestaequalia pur 4. pro viso ue b H FI aequalis erit
basi ra, ct duo anguli GH, H erunt si iliter
55쪽
aequales; qui idcirco , si auferantur a duolus aut ιρω , EFD re Iis ex hypoth. adeoque aequalibuic per def. io. resabuut duo anguli EFI, EPK aequa ιs c per axi. 3.) quamobrem etiam duo trianguli EFI, EFK eruot aequalia per ψ. ob latas FI aequale luteri FK , ct latus EF commune , atque ob angu lus E FI, FFK comprebensos aequales, ut modo osen dimus . aeviare duo auguli FEI , FER erunt pariter aequales , ct prolude recti per def. Io. atque adeo refla FE erit lineae sera perpendicularis ; quod de
THEO REM Λ XX. REcta linea in binas rectas parallelas inci
dens angulos internos alternatim oppo- suos aequales CScit, tum angulum exteriorem
aequalem interiori ad easdem partes opposito; duos angulos denique interiores, item ad easdem partes , simul aequales duobus angulis
rectis. Dico l. rectain GH c g. 78. tab. I. quae in duas parallelas AB , CD incidit , angulos alteri OS AEF, EFD aequales essicere. PRAEPARATIO. Excitetur a puneto F recta FI perpendicularis rediae CD ter ii. o quae rectae etiam ΑΒ perpendi cularis erit c per Lemma praecedevs item a puncto E excitetur recta ΕΚ perpendicularis ructae AB, quae alteri etiam CD perpendicularis erit. DE.
56쪽
4 Quoniam duae rectae FI, ΚΕ sunt perpendiculares duabus parallelis ΛΒ , CD per eo se . o sunt aequales c per axi. ii. ) S insuper duo anguli IF Κ , ΕΚ F recti per def. io. θ proindeque aequales duo hus rectis. Ergo per ab . b duae rectae FI, ΚΕ sunt
parallelae ; quibus quum duae rectae IE, F Κ sint perpendiculares erunt interiis aequales c per uxi. m. θQuare duo triangula EFI, EF Κ per d. erunt inter se aequalia ob duo latera KF , ΚΕ aequalia duobus lateribus I S, I F, ohque latus EF commune. Itaque angulus FE I aequalis erit angulo EF Κ alternatim sibi opposito quibus aequalia litera FI, KE subtenduntur; quod primo loco erat ostredendum. Dico a. angulum cxteriorem GEB aequalem esse angulo interiori ad easdem partes sibi opposito EFΚ.
Quoniam angulus EFD ostensum eli aequale angulo AEF , cui sane aequalis est angulus GEB ad verti cem si hi oppositus cper i s. o evidens est duos angu los GEB, EFD esse aequales c per axi. I. quod δε-
eundo loco erat ostendendum. Dico . duos angulos BEF , EFD internos ad easdem partes esse simul duobus rectis aequales.
DEMONSTRΛTIO. Quoniam duo anguli BEF, ΑΕ F sunt simul aequales duobus rectis c per tr. si loco anguli AEF sumatur angulus EF D ipsi aequalis sper primam demou- strationem manifestum erit sper axi. a. er 3. idu angulos BEF, EFD esse simul aequales duobus rectis; quod poseremo erat Osevdendum.
57쪽
OMnes rectae lineae , quae alteri rectae sunt parallelae , sunt inter se parallelae .
Dieo, duas rectas AB, CD l. esse sibi Invicem parallelas , si sint alteri rectae EF paral
PRAEPARATIO. Ducatur quaelibet recta , GΗ , quae secet tres propositas rectas AB , EF , CD , in tribus punctis I, Κ , H . PDEMONSTRATIO.
Ouoniam duae rectae AB , EF sunt parallelae cθωhVpotha angulus GIB aequalis erit angulo ΙΚF s pereto.) Similiter, quoniam duae rectae CD, EF sunt parallelae ex Θpoth. angulus IKF aequalis item erit angulo KF D s per 29. Ergo angulus ΚHD aequalis erit angulo GlB per axi. i. JProindeque per 23. linea AB erit lineae CD parallela; quod ostendendum. susceperamus.
A D to puncto rectam lineam ducere pa
rallelam alteri lineae dat ae .
Ut a dato puncto C s M.4O rab. l. docet tur recta linea arallela datae ΑΒ, ducatur ab eodem puncto C re-
58쪽
sed , quaequumque , CD cAns datam rei lam AB in M, quo pundio, V. g. in D ; fiatque in puncto C s peνa3. angulus DCE aequalis angulo ΛDC perrectam CC, quae datae AB parallela erit. IO DEMONSTRATIO iQuoniam duo anguli alternatim Oppositi A DC, DCE aequales sunt sper eonfr. duae rectae'AB, C Ε sunt parallelae sper 27. quod iacere , θ' demouserare
opus fuerat. . . Linearum parolularum usus, sive eae curvae sui, seve rectae , Nora minor ese, quam perpendicularium in F ficis. Etenim praeter ea, quae de circulis parali Iis , me aequiuisantibus , p. m memorantur in Hor somia, qui nempe vel axem communem hirhent, veι
Iahem axes inv cem petranetis'; in Optico, Dioptrica, ct Caroptrica ,semper ac de radiis ab objectis emissis agitat , ii fere , ut paralleli inter se , considerantur , Otque sub hac ratioNe , quα , θ' quavia si eoruam refractio, vel reflexio, quae varia est pro earietate δε- per ciri, νη quam mei πν , iuvestigatur e
IN quolibet triangulo. uno latere producto,
i angulus exterior aequalis est duobus interioribus oppositis simul sumtis . Anguli vero omnes interiores aequales sunt duobus rectis
59쪽
exteriorem CBD aequalem esse duobus Interioribus oppositis A, S C simul sumtis .
Fiat sper a 3. in puncto B angulus DBE aequa lis angulo Λοῦ per lineam ΒΕ , quae per 28. lateri Λ C erit parallela a 3 per 29. angulus CBL aequa iis erit angulo C alternatim sibi opposito . DEMON STRATI Οἀ.' Quoniam angulus CBE aequalis est angulo Calternatim sibi opposito per a9. o, lineam CB , quae in duas parallelas AC, BE incidit; & insuper angulus EBD aequalis est per conser. ὶ angulo A 2 evi dens est, duos angulos ΕBC, EBD simul sumtos, leu
totum angulum exteriorem CBD aequalem elle
bus ititerioribus oppositis A, & C a quod pramum
Dico et, tres angulos A, C, & Λ BC simul sumtos esse aequalea duobus angulill rectis.
Duci anguli CBA Interior, & CBD exterior sunt simul aequales duobus angulis rectis sper : 3 Atqxii angulus exterior CBD Oihensus eth aequalis duobus. Interioribus angulis Α, & C; ergo tres anguli A, C, & ABC simul sumti duobus rectis sum aequales . quod demonstrandum supererat .
COROLLARIUM LTres anguli cuiusquumque triangui simul sumi tribus angulis alterius trianguli , item simul sum V,
60쪽
aequales sunt 3: utraque Onim summa seorsum sumta duobus rectis angulis aequi let.
si duo anguli unius trianguli duobus angulis al- erius trianguli, alter alteri, aequaleS sint, tertius angulus quoque unius terIio angulo abierius aequalia ςrita
In triangulo rectangulo duo acuti anguli simul sumti aequales sunt uni redi . .
Quilibet angultis trianguli aequIIateri est triens summae duorum angulorum rectorum ; proindequi . ejus mensura erit arcus 6o graduum , seu sextans circuli . .
. omnes anguli cuiuslibet polygoni simul sumtiaequivalent his tot angulis metis , qu sunt later a. polygoni , demtis quatuor rectis angum . Anguli igitur exagoni ABCDEF cIl. 4. tob. a. 9 aequivalent laangulis rectis , demtis q. Etenim a quolibet angulo duci post uni ad pun uim G, quod est centrum exagoni , rectae lineae, quae exagonum divident in 6 triangula , quorum singulorum anguli duobus rectis aequales erunt. Itaque in polygono ΛBCDEF duodecim sunt anguli recti, ex quibus si 4 demas, qui ad centrum sunt , angulos, reliqui ad circumferentiam po siti erunt 8 rectis angulis aequales. Eodem modo de