장음표시 사용
321쪽
Dico I , Si duae pyramides aequales sint , hasi unius erIt ad hasim alterius, ut hujus altitudo est alaltitudinum prioris. DEMONSTRATIO. Si stiper duarum pyramidum aequalium basibus comcipiantur duo prismata Musdem ait Itudinis , haec erum aequalia cperax. 6. I. quum ambo sint tripla duorum Pyramidum aequalium speν 7-i Atqui haec habebent basses ,& altitudines recipmeas sper 3 . 7. Ergo ba
ses, ct altῖtudines pyramidum aequalium sunt reciprocae, sint enim eaedem, ac prismatum ἔ qvod Frmam Dir ostendendum. Dico et, si hasis unius pyramidis sit ad hasim . alterius , ut huius altitudo est ad altitudinem prioris, ambae pyramides erunt aequales.
SI super hases duarum pyramidum propositarum concipiantur duo pri mala eiusde m altitudinis , naee erunt aequalia per 34. . Ergo etiam eorum trientes ἴ quod supererat o tendendum. PRO
322쪽
Coeus est triens cylindri eandem hasim, 2
eandem altitudinem habentis. DEMONSTRATIO.
Sicut circulus concipitur, ut poIygonum infinitorum laterum, ita cylii rus concipi P teit, ut priέ-ma infinitorum laterum , & eadem de caussa conus,lit pyramis infinitorum laterum . Quum igitur sper . pyramis polygona sit triens' pri malis eanderer .hasim, & eandem, altitudinem habentis; id etiam de cano comparate ad cylindram dici debet; quod δε-m irandi βsceperamus.
inter se, quemadmodum eorum hasta . Propositio evidens est ἔ quidemst ad cylindros quod spectat, quum ii spedientur, ut prismata infiniintorum. laterum , si sint ejusdem Mihudinis eκ erunt inter se, ut eorum bases , ut notavimus ad pro positionem XXXI. Libri VII. Quod vero ad conos attinet , ii pariter , si sint ejusilem altitudines , erunt in ter se, sicut bases c peν 6. quum sint pyramides infinitorum laterum.
Hisc colligi potes, olindror eavdem basim , ve
323쪽
aequutem, eandemque altitudinem habenter, esse ister D aequales ἔ quocirca ut co/ si luctari olindrus rectus aequalis Olindro rocliuato , Nihil ialiud requiritur , nisint f per bissim culindri incliAaIi elevetur Olivarus re eius ad eaudem astitudinem , qua ιγώNdro anclinato erita qualis , ut notavimus ad I roposuionem XXV L Mi VII.
CYlindri, di coni similes sunt in ratione tri
plicata rationis diametrorum suarum ha- sium circularium . Prima pars propositionis evidens est per 33. .
quum cylindri similes sint totidem prismata similia infinitorum laterum; ex quo concluditur , cylindros esse in ratione triplicata rationis suorum diametruum, quae sunt, ut latera homo laga tylinc porum s milium. Secunda etiam pars evidens est c per a. J Nam coni sunt pyramides infinitorum laterum , quae sunt in ratione triplicata rationis suorum laterum homo logorum I diametri enim conorum similium stini inter
ut eorundem latera homologa. . . ,
Coni similes sunt Inter se ni eubi suorum atriuml' nam axes in conis similIbBsl sunt in eadem ratione , ae diamatri basium , ob angulas aequales , quos axes cum diametris in conis similibus effieiunt per des
324쪽
Coni similes sunt inter se, ut cubi suorum laterum basinus inclinatorum I nam haec larera sunt proportionalia diametris hasmm ob angulos aequales, quos una cum diametris constituum . Ex quo sequitur, cylindros , Sc conos similes esse pariter in ratione tripli-oata rationis suarum altitudinum . Nam si cylindri, ct coni recti sint, eorum altitudines cum ipsorum axi-hus convenient; si vero fini simi fiter triglinati, tr an nota aequiangula cum eorum axibus , de diametris ister6. 6. constituent, ' proinde Per 4. 6. erunt diametris ,& a κῆhus proportionales .
SI cylindrus per planum basibus paralleIum
1ezemr , axis partes erimζ m eadem ratio ne, a 'partes cylindri. Dico, si cylindrus ABCD crig. io. tab. 6.) plaη EF lassibus AB, CD parallelci sectus sit, partem Cy lindri AF esse ad partem EC, ut pars avis H, est Ra
ΡR AER ARATIO Secentur bifariam ambae parrex Hr, I G in punctis K, P per qua ducantur duo plana LV, No hasibus pa- allela ; quae duo dilana bifariam divident duos cylindros AF , EC; scilicet ambo cylindri AM , LF V non Iecus ac duo Eo, NC erunt ejusdem altitudinis, Subasis, & proinde aequales spe r.
325쪽
Oniam cier ises 3 eylindrus AF est ad sui di dium AM, ut cylindrus EC est ad sui dimidium Eo a & similitet axis HI est ad dimidium ΗΚ, ut axis lG est ad siti dimidium I P, proportio, quae intercindit inter quatuor cylindros AF, AM, EC, EO , similis est ei, quae interest inter quatuor lineas ΗΙ, ΗΚ, IC, rP. Quare alternando sper I 6. S. proportio, quae inter cedit inter quatuor cylindros AF , EC , ΛM , m smili, erit proportioni, quae intercedit inter quatuor lineas HI, IG, ΗΚ, I P a & proinde eadem erit ratio Cylindri AF ad cylindrum EC , ac axis HI ad axem IG δ quod operaenetiam erat demonserare.
CYlindri, di coni, qui bases aequales hahent
sunt inter se, quemadmodum eorum altitudines . Dico I, cylindros aequales bases habentes esse i ter se , ut eorum stltitudines . Quod quidem evidens est, nam quemadmodum prismata ejusdem hasis sunt inter se, sicut eorum altitudines spor ga. . idipsum dicem dum est de cylindris, qui spectari possunt, ut Prisma ta infinitorum laterum. Dicoa, conos qui hases aequalas habent, esse i ter se , ficut eorum altitudines. Quod pariter evide est. Etenim coni sunt tertia pars cylindri eandem hasim, S altitudinem habentis sper io. proindeque quod de cylindris ostensum est, id utiam conis Gon venire debet sper I S. s. rmis
326쪽
CYlindri. & coni aequales , habent altitudi
nes , di bases reciprocas , & quorum bases , & altitudines sunt reciprocae, ii sunt aequales. Propositio evidens est sper 3 .ὶ in eo quod spectat ad cylindros ς ad conOS Vero quod attinet , item evidens est sper9 ὶ . . .. myromittimus hie Fropositiones XVI, ct XVII, tuo quod paullo difficiliores sivi, tum etiam , quod siue ipsis Propositio XVIII optime demonstrari possit, ut suo Dos
De olindris , ct eouis ultersus nos agit Eu. clides , eorum tamen tractatiovem persequuti sunt alii celeberrimi Geometrae, quos luter et rchimedes , vollonius Pergaeus, Sereπur se uti ensis, ct alii. Et quidem ad et pollonium quod spectat , is otio libros councorum edidit, ex quibus quHtuor taurum ad uos pervenerunt , in quibus de sectionibus couicis agit. Serenus itidem duos libros eidit , quorum alterumsde sectione coni , alterum vero de sectione cylindri inscripsit . Q tque id, quod pertinet ad veteres. e G recentiores ciero Geometras quod attinet, hi non sequuti sunt veteres modo ,sed post fe eos longe reliquerunt , haocque Geometriae partem, quae de sectionibus conicis es, adeo illustrarunt, ut dissicillima quaenae theoremata , atque ex iis nonuultu , quae a Veteribus insolubilia credebantur, facili negotio , ope Nova anal eor, explicaverivi . Celeberrimus inter alios ex .
327쪽
nis de ' Hospital gallice conscriptu , quo pati .num, ututatur maloeseos studiosi . . Vobis , Qui G metriae
Elementa Gutaxat tradere statuimus, uouuultu ex iis,
quae ab Moosiouis pertractata Iuut, debbasse fatis erit
ad aliqualem intelligentiam eorum, quae δε corporum proiectorum ,mplianetarum motihus, nec usu de vari
ir eous cillorum generibus in f holasticis 'mio phila institutionibus tradi Iolent. Non ad amula, quae . nobis asserentar, demonstrariones adbibe Mus ; sed ad ea duutaxat, quae peν propositioves tu Geometriae Ue-meutis explicatas ostendimount. t. aeuinque modissecari potest contis. Frimum eπim secatur plano per axem ducto , vimirum plana, quod incipiens a vertice coni C cfig. v. tis. 6. straraxe, CG transeat , quae femo triangulum ae aeterureo F C hie sequidem coni rectissolummodo fectionem β' Hamus ) exhibet. a. Deinde feari pote' conur plano bas para telo , quae fectio ciretitum dahit. r. Item secari potes conus plana alicui IctericoNi parallelo, puta plano DEF , eQas diameter Esparallela sit lateri BC; quae finis .ctoarur Parabola. . aeuarto secettur cosus reuus plauo, quia utrum que coni latus utrimque disidat, sed Sasi minime fit parallelum , ut HI; hujusmodi autem sectio voearur Ellipsis. s.
s. Ruinto denique fetari potest eo s plano HIN. ποπ quidem is oertice C. fig lue'. lah. 6. ducto, quod basi ΘΗΗΚ ita in at , ut fictionis diameter Li producta eam coni latere e CC ultra coni .erticem pro- durio in F concurrat . Haec autem sectio vociatur Hyperbola. a d duas priorer eoui factiones quod at tinet, triangratum nimirum, O circulum, de iis Dias superque diffum es in Geometriae elementis ς fueres , ut de reliquis tribus aliquid dicamus. Et primo quidem, ut a parabola incipiamur , ut ejus natura clarius per cipia-
328쪽
ripiatur, omnim suae vel parabolam eonstituunt, .e7ad eam quoquo modo pertiNent seorsum Dut explicanda . 6 Primum ocearrit axis , qui extam diameter dicitur ; axis parabole est recta lis , quae a vertie plani parabolici daeia , planum /psum bifamam secat, ut AB fig. i . tab. 6O cium puAcium eis dicitar
perpendiculares vocantur ordinat , leuordinatim apis. plicatae ad axem. 8. Uractae E vocarur Parameter , qua pu ea ratione es caem Oxdivatis qu obet ordinata , semedia proportionalis inter re iam SAEE , , eam axis Partem . oua ab ordiusta lutercipitur; hine recta mes media proportionalis lucer e , O a- ; ct mister e , em, Oe. 9. Focus ,seu umbilicus parabota es pandrum dissans ab axis origine ein quarιώ parametri parte, v. g. punctam F; quocirca rrcta, E erri qua rupti reetae et F. Dicitur focus, quouiam radii axi paron Ii is vitrum parabolicum inciderexer, circa aliud pus-Ham F eolligantur . Veliquae liuere a quovis. parabolae. pM D diactae axi aequιῶφωιes vocamur diametri ρο- rabolae, ut linea IF. io mne colligi potes, is stino sito sit parabolae. natura, es enim parabola ut Naa CurVa , in qua quadrata ordinatarum sunt inter se, ut. Partes axis ab ordinatis Interceptae; quou quidem sic inevditur . iatiari enim dierum sit, ut 8. quamliber ordinatam esse medium 'oportionalem luter parametrum, cy' axis partem ab ordinata interceptam , jam quadratum ordinatae FG erit aequale retraetulo sub E, e per i . 6. quadratum vero ordiuata HI aequale rectavula sub Am
329쪽
3o quadratum ortuatae FG erit ad quadratum ord uatae HI, ut pars axIs a et F es adpartem axis e TH. Hauc autem propositionem ostendit Apollouius propositione xx Libri l. i i. Si quis igitur, datis diametro, Oparametro quibusquumque, velit lineam parabolicum describere . fac methodo uti poterit . Sumantur fuster axeis a Cnqualibet ρuaiora, v. g. F, H, - Oc. a quibus exoritentur rectae FG, HI, FUL, I IK axi is S perpendiculares , quorum quaelibet si media proportionalis iurer para metrum duram e- , ct partem axis a se interceptam. Geuique secundum pundia G, KL, K ducatur curva AP ILKD,quae erit semissis parabolae, quae inquiratur. a Diapars ε- D describi poteν it, se ducantur totidem ordinatae ex atia parte aequales prioribus s. g. FO, Hυ, c. i f. Parabola ri potes amplior , Uel contractior. pro libito, prout parameter Iovior es, aut brevior δ quoenam Iovior es parameter, eo apertior erit parabola. lῖ 'o modo parabolae constructionem exponit Dei Hospital Libro I Conicorum De uitione I, quae multos licior es, ct facitiora eam tameti brevitatis gratia
omittimus.14. In EII si pariter plura ventuut consideranda , quibus explicatis, ejus natura facile innotescet. Duo te tur funt in emps axes, qui conjugati vocantur, ut sera , CD l fig. tr. tab. 6.) quique bifariam ad avulos rectos sese tutersecavi. 2uocirca quum utrique axi rectae liveae ordinatim ad retios angulor aptari possint, hinc duplicem
parametrum babet eli sis, quarum altera axis maioris , altera axis mitioris dicitur. Punctum medium G centrum
rs. Ut inveniatur parameter axis maioris, invenietida es tertia proportionalis minor duobus axibus AB, CD, v. g. Q TE ; quae erit parameter axis sera. Parameter autem axis minoris CD erit tertia proporti
nolis major duobus axibus GD, -b, nimirum GH
330쪽
' r6. Ut inveniantur elii eos fori Hestribatur ab cxis minoris extremo C, tutervallo vero a CG , et Guarcas Fae qui dabit duo paucia I, F, quae exunt foci ellipsis , a quiPus ducta recta lineae ad quodUis circumfereu-tiae punctum , ut GI,Crivei PH, H ambae semul sum tae aequales eruut toti axi majori e FH. -ti . Si igitur datis duobus axibus quibusquamque, ellipsim describere oporteat , v. g. AN, CD; inveniax turduo soci I, natu. 36. dictum es, delude iumatur Mum IGF aequale toti axi majori e o, cujus Isti extremo I, at uisutur a in focis I, F. Hoc autem illum s circumducatur stylo ex uva parte per puuria e C, H, G, B; ex atra vero per eli sim a C6D describet. 38. Ex quo colligitur, elli esse lineam curvam undique terminatam, in qua singula circumferentiae puncta sic distant a focis , ut ambae dimittiR simul simiae aequales sint toti axi majori ;sequidem ambae diueautiae
i9. Ellipsis potest esse magis, vel minur ob Uga pro libito . Eteaim quo foci proflius ad extrema axis m jorir accedent, eo obsentior futura es elli sit a quo
ero ceutro G propistres erunt, eo crassior Git, adeoups in puuctum G ambo concua rerent,enius in circulum .de generaret .ao. xuod pector ad ordinatas,quae utrique axi a plicantur. 6Jervavit Apollamus Lib. I Conicorum Pr positione XV , ct ex eo SGeuar De semone Cylindri Propositione x 's squide. elis sis inovitam fecit eooica, quam olivdrica dici potes j observavit 4 inquam, quadrata ordinatarum deficere a re Malo, quod AtD- parametro , ct axis portione ab ordinata intercepxa, δε- cere , inqπam, rigura simili et , quod sub toto axe , O'.
. a I. xuadratum igitur ordinatae HI deficit a re- Uangula sub is, E comprehenso, de cit inquam, re