장음표시 사용
301쪽
SI solidum parallelepipedum plano secetur oppositis planis parallelo . duo Qlida, quae
inde consurgent, erunt inter se, ut eorum bases o Dico, si tolidum AD Ag aa. tab. S. incetuo plano HI Parallelo duob iis Pimis opposi is AE, BD, solidum AI esse ad solidum H D , in hasis AF ad ba
Si per singula puncta lineae in M, quae est altitudo communis duorum solidorum AI, H D , quae sunt duo parallelepipeda sper 24. lucamur per cogitationem totidem plana basibus AF , HL parallela , fac erunt in Utroque parallelepIpedo , Si numero ae qualia, re basibus similia I nempe parallelogramma aequ/lia basibus AF , HL cper a . Itaque unumquodque Planum parallel pipedi AI erit ad ii numquodque Planum parallepipe
di BD , ut basis AF est a d baim HL ς & proinde . p γ a . s. ) omnia sapa simul sumta parallelepi- Dedi ΛI, erunt ad omnia plana parallelepipedi H b, 1eu ad parallepipedum ΗD, ut basis Λ F, ad basim HL; COROLLARIUM.
Hinc colligere . licet, omnia parallelepIpeda eius dem altitudinis esse inter se , sicut eorum hases . Qua re si duo parallelepipeda eandem habeant basim , S at titudinem , erunt inter se aequalia . Ter .ane demonstratiouem, quae per methodum squa
302쪽
.isa ἐψdivit ilium dicitur, furia es, Deliis est eonsruriis
parallelepipedi rectavali aequalis dato parallelepipedo obliquangulo. O evim ab omuibus avulis basis parallelepipedi obliquan uis exciteπtur rectae lineae eidem hostperpendiculares ad eaudem altitudinem dati parallele pipedi , hae eonsitueνι parallelepipedum rectangulum dato parallelepipedo αquole. Etenim si per 'gula altitudinis utrire ue parallelepipedi puncta ducantur tο- tidem plana , haec omυia eruut basi commaui aequalia, ct in utroque parallelessedo itidem Numexo aequalia , at patet. Hac de causa , ubi de parallelepipedis iti ρο- Rerum agemus , ea semper po emus, claritatis gratia, ese ref3angula ἔ nam obliquaraula hac methodo facile in rectangula reduci possunt -
Propositiones XXVI, O XXVII, sunt naIlias
SI stlidum parallelepipedum secetur PIano
ducto per diagonales oppositorum planorum, in duo Prismata aequalia secabitur. Dieo, si solidum AD M. tab. s. J secetur plano ALDM ducto per diagonales ΛL, MD duorum planorum oppositorum CE, BK , illud sectum iri in duo prismata aequalia. DEMONSTRATIO Si per singula lineae AM punm , quae est altitudo solidi AD. ducantur totidem plana hasi AL parallela , universa haec plana divident solidum AD in toti-Mm de m
303쪽
z . quae omnia per planum AMDL bifariam dividentur, non minus, quam basis ΒΚ t per 34. i. Ex quo insertur , duo prisnata triangularia BCDLMA , AMEΚLD esse aequalia a utrumque enim planis , &Numero, & magnitudine aequalibus constat ; quod erat Uendendum. Propositio XYIx superflua es , quum in duabur sequentibus, ex quibus unicam facimus , comprehen
THEOREMA XXV, R XXVI. ΡArallelepipeda ejusdem altitudinis, quae eandem habent basim , vel bases aequales,
Haec propositio est corollarium propositionis XXVἔquum enim parallelepipeda eiusdem altitudinis sint inter se , sicut eorum bases, si hases sint oequales, ea quoque erunt aequalia 3 quod demostrandam susceperamus .
COROLLARIUM.prismata eiusdem hasis , & ejusdem altitudinis sunt inter se aequalia; quum enim sint dimidia parallelepipedorum ejusdem basis , & ejusdem altitudinis per a8. sunt cum ipsis in eadem ratione c per i s. S. Quocirca quidquid de parallelepipedis imposterum Uicetur, id de prismatis etiam dicendum esse constat. Propositio XXXII Eue Bris est eorollarium propositionis XXV; quore, ejuι loco, base aliam, Maei similis es, oppo ems . . .
304쪽
THEOREM A XXVII. PArallelepipeda eandem basim . aut aequales hases habentia , sunt inter se, sicut eorum altitudines. Dico, duo parallelepipeda DF . OM A. t. tab. 6. quae habent basim communem COEF, esse inter se, ut eorum altitudines OD, ON. DEMONSTRATIO. si hasis OF utriusque solidi vocetur ab , altitu do vero OD Parallelepipedi DF e , & altitudo Ο- parallelepipedi OM d, jam habebitur abc, pro parallelepipedo DF, abi vero, pro parallelepipedo OM; mani se stum est autem c per 3 s. s. esse abc , abd: ete, ri quod erat ostendendum. Hie pariter , quod de parallelepipedis dityum es, . de promotis etiam es intelligendum .
Solida parallelepipeda similia sunt in rati si
ne triplicata rationis suorum laterum holmologorum. Dico, si duo solida ΑΒ , DF ing. i. tab. s. sint similia , adeo ut singula unius plana singulis alterius planis similia sint, & aequiangula , ita ut in recta a lineam eonstitui possint, ea esse in fatione triplicata rationis suorum laterum homologorum, puta AC, CF.Mm a Quam
305쪽
2 6 Quamobrem si hisee uuabus lineis tertia, Sc qttaria proporticanalis inveniatur, ratio solidi AB ad 1blidum DF aequalis erit rationi lineae ΛC ad quartam propor-ilonalem, ut constat est iis, quae diximus ad definitionem X Libri V.
DEMONSTRATIO. Si describantur duo parallelepipeda CG , OM ; id
quod fit producendo latera utriusque parallelepipedi AD , DF quatenus sibi occurrant, manifestum erit c perga. , Blidum ΑΒ esse ad solidum CG eiusdem hasis CB, ut altitudo CA est ad altitudinem CF; item sOlicium CG esse ad solidum OM ejusdem basis C M, ut altitudo CH est ad altitudinem Co; solidum denique OM esse ad solidum DF ejusdem basis OF , ut altitudo ON est ad altitudinem OD. Quum igitur tres rationes AC ad CF; CH ad Co ; ON , seu CL ad OD snt similes c ex Θp. posuimus enim solida parallele P peda esse similia, evidens est , rationem solidi AB ad
solidum DF, quae est composta ex hisce tribus ration bus similibus, esse triplicatam cper des ro. s. rationis lateris AC ad latus CF; quod erat os eudendum .
Parallelepipeda similia sunt inter se , ut cubi suorum laterum homologorum; quandoquidem cubi sunt totidem parallelepipeda similia.
Datis quatuor lineis continue proportionalibus, parallelepipedum , quod fit sub prima , est ad parallelepipedum simile, quod fit sub secunda, ut prima est ad quartam. Co
306쪽
Ptismata triangularia similia sunt in ratione tri- .plicata suorum laterum homologorum, sunt enim dimidia similium parallelepipedorum Husdem hasis , Saltitudinis ; proindeque sunt in eadem ratione, ac ipsa parallelepipeda sper I S. S. Idipstim dici potest de .prismatis polygonis, quoru in nimirum plana parallela opposita , vel pentagona sunt, vel e Xagona , &c. Siqui-clem hases polygonae similes in totidem triangula similia dividi possunt c per go. 6. Sc proinde ipsa etiam Prismata polygona in totidem prismata triangula, duetis per singulas basis sectiones planis hasi perpendiculariebus, secari poterunt. Usus hujus propositionis maximus es, ubi de amgendis , vel minuendis fotidis similibus agitur. Si enim quis melit cabam OHuplum alterius dati , duplicar debet hujus latus , ct flet latur cubi Osrupli alteriur. Nam ratio triplicata rationis i ad aes ratio i ad 8. Iuod si quis vellet cubum duplam alterius, inveniendae essent duae mediae coutinue proportionales inter latus cubi δε-ti , di eis em lateris duplam, quarum prior esset laxus cubi , qui inquiritur, ut ex eorollario fecundo coAligi potes . Verum quum hae duae media proportisΠa les geometrica metbori iuveniri BAEHenus minime po
307쪽
altitudines reciprocas ς & quorum bases, altitudines sunt reciprocae, ea sunt a qualia. Dico i, si duo parallelepipeda AD , FI cra. a. tab. 6. sint aequalia, ea habere bales, & altitudines reciprocas ; proindeque basis Λ C erit ad hasim FH , ut altitudo HI est ad altitudinem CD . PRAEPΛRATIO.
Sumta super altitudine HI parte HL aequali altitudini CD ducatur per punium L planum KL pa rallelum basi FH . DEMONSTRATIO. Quoniam cper as. mlidum RD est ad solidum FI. Huldem altitudinis sper eonfr. sicut basis AC est ad basim FH,sblidum FI, quod est aequa te ex p. solido AD , erit ad solidum in , ut basis AC est ad
basim FH t per ' . s. Et quoniam c pera, b solidum
FI est ad solidum FL ejusdem basis FH , ut altitudo inest ad altitudinem HL , aut CD ipsi aequalem per eoustr. evidens est per ii. s.) basim AC esse ad hasmFH , ut altitudo HI est ad altitudinem CD ; quos primum erat ostenden . . . Dico et, si has s ΛC solidi AD si ad hasm FH lolidi FI, ut altitudo HI est ad altitudinem CD, duo solida ΛD, FI esse inrer se aequalia. DE
308쪽
Mane lue eadem praeparatione ς quoniam basis Acest ad basim FH c ex Θρ. 3 ut altitudo HI ad altitudinem CD, vel HL,& insuper c per as. basis AC ei ad basim FH , ut solidum AD est ad soIidum F Iejusdem altitudinis c per conser. jam solidum Λ D erit ad solidum FL, ut altitudo HI est ad altitudinem HL, atque adeo per 3 a. ) ut solidum FI est ad solidum FL ejusdem basis FH ;:proindeque e per 9. s. duo solida ΑD, FI erunt aequalia ; quod demoχ frandunt
Ambae hae demonstrationes parallelepipeda rectan gula esse postulant, ut latera CD, ΗΙ pro altitudine duo rum solidorum AD; FI sumi possint, quo i si minime sinrectangu la, poterunt fieri rectangula eo pacto, quo aipropositionem XXV dictum est , ut demonstratio locus habeat. Fropositis XY- inutilis videtur. ν ,
SI tres rectae sint continue proportionales: quod sub omnibus fit , parallelepipedunaequale est ei, quod sub media fit.
Dico , si tres lineae AB , AC , AD A. 3. tab. 6.
sint continue proportionales , parallelepiPedum rectangulum , quod sub iis sit, cujus scilicet tres dimensiones tribus lineis propositis sunt aequales, esse aequ-le cubo , quod fit rub media AC.
309쪽
Si ex tribus propositis lineis, ΑΒ vocetur a , AC rero δε; AD denique o ; Quoniam sunt a, b, c, c ex hyp. erit ac bb. Quod si utrumque productum per mediam b multiplicetur , eriti abe α bbb; videlicet parallelepipedum sub tribus AH , AC , AD ae litate cubo mediae ΛC; quod erat Oseudendum
PArallelepipeda similia super quatuor rectis
proportionalibus descripta sunt proportionalia . Si vero quatuor parallelepipeda similia sint proportionalia , eorum latera homologa erunt Proportionalia.
Veritas hujus propositionis facile innotescet, si advertatur, rationes triplatas plurium rationum smplicium esse similes, si rationes simplices ipsae sint si miles ;& vicissim plures rationes simplices similes esse, fi earum triplatae sint similes, ut clarissime constat ex
iis , quae diximus ad definitionem X Libri V. Propositio XoVIII est corollariam proositionis XIII. Imorositio XoIX nauius videtis esse utal, PRO
310쪽
ΤΗΕOREM A XXXV. ΡRisma , cuius basis parallelogramma dupla est hasis triangularis alterius Prismatis ejus clem altitudinis , est huic aequale .
Dico , prisma, cunis has S YH s .. . tab. 6. dupla est hasis ABF alterius Prismatis edulciem altit inlinis , esse huic aequale . PRAEPARATIO. Posito. Quod altitudo F Κ prismatis FGHI K aequalis sit altitudini AE prismatis ABCDE, t osten latur, ambo esse aequalia , complendum est parallemrritimum ABLF. ductis BL,LF parallelis duobus laterihus AF AB ; duod parallelogrammtim crit dMplum trianguli ABF t per 34. i. in atque adeo Squale parallelogrammo
Si super duabus basibus aequalihus AL , FH excitentur duo parallelepipeda similia ΑΜ, FN ejusdemia, altitudinis, haec erunt aequalia per 31. quumque duo orismata similia ABCDE, FGHIΚ sint eorum dimidia per a8. erunt item inter 2 aequassa persim. 7. . . quod erat osteνδεν um. . l .