Elementa geometriae ad usum collegii imperialis nobilium RR. PP. Teatinorum ab imp. Caesare Carolo 6. Hispaniarum ... opera, & studio Jo. Baptisatae Naeuii Vicentini ..

291쪽

asta

PROPOSITIO X: THEOREM A X. SI duae rectae lineae sese tangentes duabus

rediis lineis sese item tangentibus, non quidem in eodem plano, sint parallela aequales an gulos continebunt. ΠDico, si diue rectae AB, BC s . 33. rob. s. se

Da tangentes In puncto B sint parallelae duabus lineis BF , FD sese contingentibus in puncto F , ct in alio plano constitutis, angulum ABC aequalem futurum

angulo LFD. - . .

Fiat linea EF aequalis rectae AB , S linea FD lineae BC , Iunganturquo rectae AC, ED, ΛΕ, CD, B F.

Qyoniam duae rectae AB, EF sunt parallelae sex sep. , Sc aequales c per co D. ) Wliquae duae ΑΕ, BFerunt aequales, & parallelae L per 33. i. J S ob ean dem rationem duae BF, CD erunt item parallelae, R

292쪽

a 63 aequales, i proindeque duae RE , CD. erunt aequales per axi.9. ti) parallelae sper 9. per 33. i. duae AC , ED erunt aequales , & parallelae . Ex quo sequitur, duo triangula ABC, D FE esse aequiangula per i. quod erat spe mons α - . -

A Dato extra planum puncto ad ipsam pla

num perpendicularem lineam ducere.

Ut a dato puncto E M. 2 i. tub.S. extra planum ABCD ducatur recta eidem perpendicularis , ducatur in data vilano A SCD quaequumque redia FH , ad quaina dato punM E ducatur c per sa. l. perpendicularis EG. Ducatur etiam, a puncto G per tr. r.) in eodem plano ABCD recta GI perpendicularis rectae ΕΗ ε doniqive sper i . r. , a puncto E ducatur adre'am G1 perpendicularis EI, quae erit etiam Plano INCD perpendicularis DEMONSTRATI O. Quoniam recta FG perpendicularis est duabus re -ctis GE, GI per coUr. erit etiam perperidicularis earum plano EGI Oer Quare si per punctum I ducatur res in IΚ parallela rectae FG, haec eri r pei S. b c idem plano EGI perpendicularis 3 Proindeque lineae EI per def. 3. ) Quoniam igitur recta Es est perpendicularis duabus rectis IG, IK, erit i ver 4. etiam earum plano ABCD perpendicularis ; quod fa cere, di demonstrare oportebat. PRO

293쪽

PROPOSITIO XII.

PROBLEMA II.

A D to puncto dati plani reclam ipsi pla

no. Perpendicularem excitare. Sit datum punctum B c Q. ao. tab. s. 9 in pla no EFGH : ut ab co excitetur recta eidem plan. per pendicularis , ducatur per II. 9 a puncto C eXtra planum recta CD eidem plano perpendiculariis ,& ἄ--

puncto B s per 3 o. i. recta BΛ parasse la ipsi CD , quae per b. erit eidem plano EFGH perpendici' laris a quod facere, er demonstrare oportebat.

A D to puncto in aliquo plano nequeunt

duci ad easilem partes cluar rectae eidem plano Perpendiculares.

Haec propositio evidens est ; nam si possent duciduae rectae eidem Plano perpendiculares , hae essent parallelae sper 6. quare quum ab eodem puneto prindeam , necessario una coibunt.

COROLLARIUM. Hinc deduci potest a quod Propositione XXXVIII

ostendit Euclides , nimirum, si duo plana ABCD, EF GH sing. ii. tab. S. sint sibi mutuo perpendicularia, rectam IK , quae in plano EFGH perpendiculariter dia citur ad p anum ABCD , incidere in communem se

294쪽

S I recta linea duobus Planis sit perpendicu

laris, haec duo plana erunt Parallela . . , Dico si recta AB sM. .aa. rab. S. si perpen3lcularis duobus planis AKEM, BL haec duo plana esse inter se parallela . .

Quoniam recta AB est perpendicularis plano BL-DC, erit perpendicularis rectae BC per def. 3. Se ob eandem rationem erit perpendicularis etiam rectae ΛM; quare qtia uor anguli figurae ABCM erunt recti, &proinde ea erit Parallelog ammiam. Ex quo efficitur, duas rectas ΛΒ , CM esse aequales t per 34, lia Idipsum eodem modo ostendi potest de duahus rectis AB, KL. Ex quo insertur , duo plana ΑΚEM , BCDL esse . aequiclinancta a quos δε- rare oportebar . .

Conversa huius propositionis aeque vera est, R

eadem ratione Ostenditur.

Per hane proposisionem ostendi potor, omnes spΘ me circulos , qui eosdem polos habent, quemadmodum Maator , duo Tropici , ct duo Folares tu Sphaera armillari, esse parallelos ; quoniam eorum axis comm uis eoruudem Grau Iomm planis es perpeudicularis.

295쪽

THEO RENA AULSI duae rediis lineae test tangentes in uno stano fini parallelae duabus rectis sese tangen tibus in alio plano, haec erunt inter se parallela.

Dico, si duae reeiae AB, BC R. I 3. rab. S. sint Parallelae duabus rectis EF, FD in alio plano existen. tibus, duo plana ABC, EFDesse parallela. Id quod se me evidens est. Nam si ducatur rect M perpendicula ria duabus rectis AB, BC, luee erit etiam perpendicula ri duabus FE , FD spera9. i. S proinde per Α- erit earum planis perpendicularis, & per 3 G haec duo Plana erunt parallela; quod erat Uindendum.

THEOREM A XIV. iCommunes sectiones unius plani cum duo bu s planis parallelis sunt inter se parallelae.

Evidens est, communex seditones AM 1 BC M. 22. tab. S. plani ABCM cum duobus planis ΑMEΚ, BCDL esse parallelas; cum enim ambae sint . in ipsis . planiS , quae sunt parallela sex Θρ. fieri nequit ut iupra ea attollantui l per I. Proindeque musquam sibi

296쪽

THEO REM A XV.

SI tuae rectae a parallelis secentur planis, in

casdem proportiones secabuntur Dico, si duae rectae AB, KL M. za. tisi staa tribus planis parallelis AE, HI, BD secentur, ear. dem esse rationem duarum partium AH , ΗΒ , ac dii rum Κp, FL. -

Ducta recta AL, quae occurret plano HI in .ptm-Ro o , manisti um est, duas communes sectiones ΗΟ, BL plani triangularis ABL cum duobus planis parat

THEOREM A XVI.

SI recta plano cuipiam sit ad re Elos anguIos .

omnia, quae per ipsam transeunt , plana erunt eidem plano ad angulos rectos. Dico, si re ta IK tri. o. tab. y. si perpendi

eularis plano ABCD, in quoquumque plano ea rePe xiatur, V. g. In plano EFGH, cujus communis sectio , est recta Lis, hoc esse eidem plano ABCD perpendi .

297쪽

268:I DEMONSTR ARAO. - .. Ducta in plano EFGH linea quaquumque GH, quae communi sectibni EH sit ad rectos angulos, eadem erit sper.a9. r. lineae IK parallela; Atqui recta IK est perpendicularis plano ABCD s Fae Argo ster 8.ὶ etiam GH eidem plano Perpendicularis erit,& perides. 4. , planum EFGH erit perpendiculare plano ABCD; quod operaepretium erat demon are.

S I duo plana stse mutuo intersecantia alicui

pi ano sint perpendicularia , eorum commuinnis sectio exit eidem Plano perPendicularis e

Dico, rectam HM A. S. quae est com munis sectio duorum planorum ABCD , EFGH Per Pendiculatium plano IKL P, esse perpendicularem uim dem plano IKLP.

Excitetur a puncto H in plano ABCD recta ΗN perpendicularis communi sectioni DC; & in plano EFGH recta HO perpendicularis communi semoni

Quoniam duae lineae NN, Ho sunt perpendiculares duabus communibus sectionibus D H , GH , duo rum planorum ABCD , EF GH eum plano IKLP t perco in erunt perpendiculares eidem plano IKLP per

298쪽

SI solidus angulus tribus angulis planis contineatur, duo anguli quiquumque simul

sumti tertio majores erunt: Dico, in angulo solido Α sim t6. tab. qui constat tribus angulis planis BAC, CAD, DAB, hi- nos angulos quosquΠmque V. g. BAD , CAD , esse simul maiores tertio BAC, quem Ponimus esse ceteria duobus seorsum sit ses madorem. f PRAEPARATIO. y

Quoniam posuimus angulum BAC omnium ma ximum esse in angulo solido Α, licet ab eo secare an tum BAE aequalem angulo BAD per rectam AE , quaest aequalis rectae AD. Hoc posito, iungantur reciae lineae

Quoniam angulus B ΑΕ aequalis est angulo BAD, se Iatus A E lateri AD , latus vero AB communis, duo tri angula BAE, BAD erunt aequalia . ρυ 4. i. & hasis BD aequalis erit has BE . Et quoniam duo latera DB, DC trianguli plani BCD sunt majora tertio CB stergo. r.) sublatis aequalibus lineis BD, BE, remanebit recta. CD major recta CE; atque adeo angulus C AD major erit angulo CAE. s per a s. i. ergo si duobus

299쪽

27o angulis amae ibus CAD, CAE addantur duo anguisti aequales B AE, BAD, alter alteri, manifestum erut

CAE ἀ quod oseucendum fuerat.

O N nis stliqus angulus angulis Nanis mino.

radus, quam quatuo. rectis, constat: Dico, summam trium angulorum BAC, CAD, DABI6. xav. S. quibus constat angulus Q lidus A, minorem eile summa quatuor angulorum rectorum.

plano BCD, essent simul aequales quatuor rectis, quo niam integra cireuli circumferentia a centro A de- . scripti esset eorum mensura. At quoniam hi tres an guli elavati sum GPm Planum BCD, necesse est eciis

rum latera AB , AC , AD longiora esse , ct proinde

per Ei. r. Jangulos emcere minoreΚ quatuor rectis quod erat os den m.

opstiones XXII, ct XXIII sunt inutiles .

300쪽

SI solidum quatuor parallelis planis contineatur, opposita. iplius plana , ae similia , di

aequalia erunt: Dido , si solidum ABCD A. 2 a. ecb. s. I quatuor planis oppositis A MEΚ , BCDL, ABCM, DEKL parallelis constet , oppostaS superficies esse fim les , Raequales. Vocetur autem hujusmi solidum Parallelepis pedum

S per, planum AB Ciri secantur, communes stetiones ΛM, BC erunt parallelae per i 6. Similiter, quoniam duo plana ABCM , DPKL sunt parallela , atque a Pla . CDEM thcantur. eoimmineri sectiones CM, DE erunt Parallelae. Eodem.modo ostendi potest, commu*eS se .mones AB, KL , non secus ac duas Ms, CD, & ΑΚ, BL, esse ParallelaSδ eκ quo insertur , singula plana soli. di ABCD esse parallelogr mma , quorum opposit . omnia hina , & bina, erunt aequiangula s per re. insuper aequalia L per 3 . I. o quod eratosendendum