장음표시 사용
311쪽
Solidis superficiei planae, cuiusmodi sunt prismata,& parallelepipeda , ad solida curvae superficiei , a lacilioribus nempe & simplicioribus ad dissiciliora , & magis composita sprogredimur. De Sphaera igitur, de Cono , R de Cylindro, deque aliis ejusmodi solidis in hoc postremo libro agendum est , quibus adjicitur Pyramis , cuius natura, quod ea supersciebus planis quidem , sed mi ni me parallelis , constet, paulsos obscurior , quam sit prismatis , Vel parallelepipedi natura , Videtur .
I. D Tramis est solidum pluribus planis triangulari L hus, quorum vertices in idem punctum desiis nunt , terminatum , S in alio Plano , tanquam in has,
Solidum igitur e N fig. s. tab. s. mramis vacatur , eaque triaMalaris dicitur , quod basim babeat triaugularem a NU . Siquidem Dramis a basis Agara appellationem habet; hine cujus basis es triangularis, dicitur triaugularis, cujus vero es polnova, ροθ
312쪽
283 II. Si concipiatur semicirculus ABC c M.tob 6. circa suam diametrum AC immobilem ita moveri ut integram circum Volutionem perficiat, hoc motu solidum ABCD unica sit perficie contentum de-1 cribet, in quo omnia su purficiei puncta aeque distantia puncto F, quod est in media diametro AC positum . . Hujusmodi solidum vocatur Sphaera cujus dimidia pars ABC vocatur Hemisphaerium. iIII. e Gis sphaerae est diameter AC semicirculisphaeram generanti S.
redis lineae omnes ad sphaerae superficiem dudis sunt
V. Sphaerae diameter est recta quaelibet per centrum sphaerae transiens, & ad sphaerae superficiem utrinque Pertingens; ut Λ C.
Nota , axem Rhaerae diametrum etiam cici poste, non Cisi is a in Dbaera evim in vitae, ut ita dicam , diametri concipi possust, quarum semisses semidiametri, seu radii, Non secus, ac tu circulo, uomiuautur; at unicus es in sphaera axis, circa quem femicirculursphaeram generans moveri intelligitur. Suo pudiciam C Oocantur sphaerae Poli. VI. Si ab aliquo puncto C extra circulum A DBF rim .iab. 6.9 ducatur recta linea Cri ad ejusdem circuli circumferentiam , circa quam alterum extremum Α tanditi convertatur, altero lineae eX tremo immobili remanente in C, donec perveniat ad punctum Α, unde moveri coepit, solidum C AB a recta linea descriptum dua hus superficie-hus, altera curva, & in mucronem desinente , altera
plana , ' circulari constans, Conus appellabitur. Si a puncto o C ad centrum G ducta retya linea fit perpendicularis plano M BF, vocabitur conus rectus , in quo latera omnia GAE, CH, aequalia sunt.Si vero resta linea a puncto C ducta sit plano inclinara , ut CD s fig. d. tab. 6. J dicetur conus inclinatus.
313쪽
a84 quae per punctum fixum C, Sc circuli centrum G ducitur. tu punctum illud Mum G vocari verticem coui. VIII. Si duorum circulorum aequalium , & aequi- distantium AB, CD UM. io. tab. 6. diametri AB, CD
circa duo centra H, G semperaret uidi stantes movean. ttir, & una cum ipsis circumferatur recta linea AD diametrorum extrema Λ, D ad easdem partes conjundens , quoad rursus in eum locum rei tituatur, a quo
coepit moveri, solidum ABCD a linea AD , una cum duabus diametris ΕΛ , CD, descriptum Cylindrus vo
IX. a Lxis cylindri est recta linea GH centra circulorum AB, CD conjungens; quae si sit ipsis planis circularibus perpendicularis cylindrus rectus eice intur; si vero sit inclinata oliuisus pariter inclinatus
X. basis coni est circulus ADBF cM- - . VXI. Bases cylindri sunt duo circuli oppositi, Noequi di stantes AB, CD sit. IO. tob. 6.
XII. Coni olindri Diles lunt, quorum 2Xes ad diametros basium eandem rationem habent, N m- iupersunt ad basim similiter Inclinati, si coni , Vs c, lindri non resti , sed inclinati sint . . Praeter has , alias solidas figuras explicat Euclides, quarum haud magnus es usus su GeomeIria ; w- delicet ε. Tutraedrum , quod es solidum quatuor Ira avgulis 'requilateris, O aequalibus cousans ; boc autenm. Lolidum est pyramis trigon , hcsemerHcies fudit triangula aequilatera, ct Oequalia.
libus 4 aequilateris, ct aequiangulis consur . colae drum , quod viginti triangulis aquila-tὸri, aequalibus comprehenditur. Frater bas quatuor 'silidas Muras , quibus addeudus es cubus , - - lam aliud constituinis aquilateris , aequ/avguor , Er αqποι οβ N a te,dit Euclides.
314쪽
ter te, ut quadrata diametrorum. Dico, duo potvgona AGBFE , CKDIH fg. Is .
tab. 6. si sint similia , esse inter se, ut quadrata diametrorum FN , IO duorum circulorum, quibus sunt inscripta. ΡRAEPARATIO. Ducantur a duobus angulis aequalibus F , R I per centra L , & M binae diametri FN , Io ; itemque a duobus angulis aequalibus Α, & C duae rectae
AF , CI ; denique iungantur duae reeiae EN , ΗΟ . DEMONSTRATIO. Quoniam angulus AEF aequalis est angulo CFII,3c quatuor latera EA , EF , ΗC , HI, clitae aequales
anguloS Comprehendunt, sunt proportionalia ex p. Iduo triangula AEF , CHI crunt aequiangulat per 6. 6. & angulus E AF aequalis erit angulo HCI, qui quum snt aequales duobus EN F, HOI cper at. 3. hi pariter ambo erunt inter se aequales. Quare duo triangula EFN, ΗΙΟ, quae I 3 i. Sta sunt rectangula, erunt aequiangula per Sa. i. Ex quibus colligitur, sper A. 6.)quatuor lineas EF, HI, FN , IO esse proportionales. Quare polygonum ACBFE su per primam EF descriptum erit spἰ r 22. 6. ad polygonum simile CKUI Hdescriptum super alteram HI, ut quadratum tertiae FN ad quadratum quartae IO a quod oper retium erat δε- monstrare.
315쪽
THEO REMA II. PLana sed areae circulorum sunt inter se,
ut quadrata suarum diametrorum. Dico, areas duorum circulorum AB , CD t A I r. ias. D.) esse in eadem ratione , ac sunt quadrat duarum diametrorum FN, IO. DEMONSTRATIO. Quoniam polygonum circulo AB inscriptum est ad polygonum simile in seriptum circulo CD, ut quis ratus a diametri FN est ad quadratum diametri Io sper I atque id verum est de omnibus polygonis similibus,
quM , quo Pluribus constant lateribus, eo ad circulos magi S accedunt , adeo ut si infinitis lateribus constare ponantur, in circulos tandem degenerare intelligeri tur ἔ etenim circuli ut totidem polygona regularia si milia infinitis lateribus constantia concipi s olent a Geometris o jam manifestum est , aream circuli Λ Belle ad aream circuli CD- ut quadratum diametri FN ad quadratum diametri Io; quod erat ostendendMn.
Circuli sunt in ratione duplicata rationis suorum radiorum , vel diametrorum .
... Circui, simi in eadem ratione, ac pol 'gona si nulla ipsis inscripta. Haec Disiti reo by Coosl
316쪽
287 Haec propositio ut lusima es ξ γ mometria, ubi
agitur de quadratura cirentiis Eleuim circulus es aequalis triangulo, cujus altitudo aequutissit ejusdem circuli radio, hasis vero toti circumferenti e ; id vero ope dit e re hi ne des ex eo, quod pol Zouum regulare cir
pentagoni circumfureotiae, ultitudo vero aequalis perpendiculari F, a ceutro circuli F ad latus AH da
oubet ad ipsum petat ouum , ut 1 ad s. a equi i eis triangulum se habet ad triumulum eiu eis altitudiuis, cujus basis sit quiutuplo major, iccm , ut 1 ad s. t per I. 6. Ergo sper 9. s. peutagouum si T C DE aequule est tria ulo , cujus altitudo sit Fra, basis vero aequalis sit toti ejusdem ρeutagoui circuissureutiae . a tque eodem modo demo trari potest, peutagouum regulare GHIL Ic circulo circumscriptum esse aequale triumulo , cujus altitudo sit radius , lovitudo vero toti peutotovi circumferentiae sit aequalis . Ex hoc autem tufert Ochimedes , circulum ese
aequalem triareulo' euor altitudo si radius ctrcuic, hasis vero iutegra circuli circumferesutiae sit aequalis ,
quum circuli coNcipi postat , ut pol gona regularia iu- itis lateribus con flautia . Major autem difficultas es tu iuvenienda perges metricam methodum recta siuea aequali circumferentiae cireuli, seu is inveuieNda ratione, quae inter diametruin, G circumfereΠtiam iUtercedit. Σua in re sic procedit Ochimedes. OsDudit primo, po0gonum 96 Iatera L
eirculo circumscriptum cautinere diumetrum ter , uua cum - , qaare circuli circumfereulia couliuebit di
317쪽
238 I-wctrum mi r , quam rer, cum ' ; item osendit dem
pol ποππw 96 laterum circulo ivscriptum continere dia-
tyentur termini harum rationum, ope poluovorum pluri um adhuc laterum, magis , ct magis ad rationem, quGes inter diametrum, er circumferentiam, accedere sto
Id autem prasiterunt quamplures aeeuratissimi Geometrae, xnter quos Metius, qui varionem diametri ad circumfereΠtiam posuit, ut Met, ad 3sscirciter. litati as etiam exactiores invenerunt; quas tamen Omittimus , quum instituti nostri ratio id minimesto clare videatur. Haec eadem propositio utilis es pariter in a ironomia, ubi areae circulares, quas corpora coelesia suis revolutionibus destribuut, inter se comparantur ἔ eae enino sunt interfeβre,ut quadrata discutiarum corporum cae estum a centro eorum motus.
omittimus hic Fropositioves III, In qua juxta noseram methodum sevi superfluae . . PRO
318쪽
PYramides eiusdem altitudinis sunt inter
quemadmodum earum bases. Dico, binas pyramides ABC , BED tA. 9. tab.6. eiusdem altitudinis esse inter st , ut earum hases AB, BE; sive hases sint triangulares, ut habet propositio V, sive polygonae, ut statuit propositio VI. DEMONSTRATIO.
Si in duabus pyramidibus ABC, BED per singula altitudinis earum puncta ducantur Per cogitatio nem totidem plana hasbus parallela , ea erunt in utraque pyramide, & numero aequalia,& basibus similia, quum eadem sit utriusque pyramidis altitudo ex Θρ. Quare singula plana , unius pyramidis seorsum sumta erunt ad suam hasim , ut singula plana iis respondentiae , item seorsum sumta alterius pyramidis erunt ad suam ha- sim s per a2. 6. quum plana similia latera habeant pro portionalia . Ergo omnia etiam plana unius pyramidisimul sumta , seu tota Pyramis ABC, erit ad suam hasim ρ B, ut omnia Plana alteriuS , sive tota pyramis BED, est ad suam basim e per 24. s. J atque alternando per I 6. s. ) pyramis ABC erit ad pyrc. midem BED , ut hasis AB ad hasm DE a quod era3 eadendam.
319쪽
THEOREM A VII. ΡΥ ramis est triens , seu tertia pars FCnatis, ejusdem ba altitudiim .
Dico i, pyramulem, quae biam habet triangula rem H EF g. ra. ιas. 6a vel BCD, esse tertiam Paer tem Prismatis ABCDEF eandem basim AEF , ean dem altitudinem habentis.
Duciis tribus diagonalibus ΛC. AD, CE , qua reia parallelogramma bifariam divident per ὀ - manifestum est, prisma ABCDLF compositum elie exrribus pyramidibus triangularibus. ABCD, ACEF , A DC, Quas omnes aequales egoe sic ineu litur. Quoni/m duae pyramides AdCD,. ADEChaten
eundem verticem C, Se proicido riusdem sunt Militi
lare ABCDEF constat ,. est imi se aequiaea , quprimum erat Oseeudeudum . . Dico a. pyramidem , cinus basis est polygona, ello ter iam Partem prismatis eandem basim, eandemquα, altitudinem habentis. Id autem pre se manifestum est, nam ut basis polumna in plura triangula , it Ppol'gonum in plura prismata triangularia dividi Potest, ductis per quamlibet hasis sectionem plani
320쪽
dem basi perpendicularibus. Quod libet autem horum prismatum tres PyramideS aequaleS continebit, per pra: cedentem demonstrationem , ex quo sequitur sper. ia. s. J pyramidem Polygonam esse trientem prismatis ejusdem hasis , & Musdem altitudinis ἔ quod supererat desis
Hujus propositionis bene is , mramidis soli eν-tem , eujus vota fit bosis, O aftitrio , invenire focile es. Si enim multiplices altitudinem per basem, habeb ssoliditatem prismatis , cujus triens erit mramidis propositae soliditas. Id sum proaris, si basim per trientem altitudinis , vel altitudium per basi; trieutem multiplices a
: ΤΗΕΟREMA VIII. ΡYramides similes sunt in ratione triplicata
rationis suorum laterum homologorum. Propositio haec evidens est per 33. 7. J pyramides