장음표시 사용
161쪽
HOROLOG. OSCILLATOR. iis PROPOSITIO XXII. Vomodo, in selidis figuris, oscillationis centra inve-
In solidis porro figuris facile quoque, per ante demonstrata, centrum oscillationis invenire licebit. Si enim sit solidum Anc, suspensum ab axe, qui, per punctum E , intelligitur hujus paginae
plano ad rectos angulos; centrum autem gravitatis sit. F : ductis jam per F planis E FD, G F H, quorum posterius sit horizonti parallelum, alterum vero per axem E transeat; inventis que, per propositionem 1 , summis quadratorum a distantiis particularum solidi ABC a plano CFA, itemque a plano EFD; hoc est, inventis rectangulis utrisque, quae, multiplicia secundum numerum dictarum particularum, aequalia sint dictis quadratorum summis; rectangula haec applicata ad distantiam E p , qua nempe axis suspensionis distat a centro gravitatis, dabunt intervallum F Κ , quo centrum agitationis K inferius est centro gravitatis F. Hoc enim paret ex propositione i8. Dabimus autem & horum exempla aliquot.
Centrum oscillationis in Pyramide.
Sit primum A BC pyramis, verticem habens A , axem AD, basin vero quadratum, cujus latus BC. ponaturque agitari circa axem qui, per verticem Α, sit hujus paginae plano ad angulos rectos. Hic figura plana proportionalis o v v, a latere adponenda, secundum propositionem 14 , constabit ex residuis parabolicis o P v, quae nempe supersunt, cum, a rectangulis Ω Ρ, auferuntur semiparabolae ovΩ, verticem habentes o.
162쪽
Sicut enim inter se sectiones pyramidis B C, N N , Ita quoque re- Ctae v v, R R, ipsis in figura plana respondentes. & sicut centrum gravitatis E distat, avertice pyramidis, tribus quartis axiS A D , ita quoque centrum gravitatis F, figurae o v v, distabit tribus quartis diametri o P a vertice o.
L cIntellecto porro horizontali plano NE, per centrum gravitatis pyramidis A B C, quod idem figuram o v v secet secundum R p. in ventaque subcentrica cunei, super figura o v v abscissi plano peron, quae subcentrica sto G, est autem ' diametri o pὶ erit rectangulum oro, multiplex per numerum particularum figurae olor io huj V V, aequale quadratis distantiarum ab recta R F ac proinde quo que quadratis distantiarum a plano N Ε, particularum solidi A B C. Fit autem rectangulum o F G aequale quadrati O P, vel quadrati' Deinde ad inveniendam summam quadratorum a distantiis a plano AD, noscenda primo subcentrica cunei, super quadrata basi pyramidis B C abscissi, plano per rectam quae in B intelligitur mi Aparallela , quae subcentrica sit B Κ ; estque : B C. Noscenda item distantia centr. gr. dimidiae figurae o P v ab o P ; quae sit Φ p ; estque P v. Inde, divisa bifariam P v in Δ, si fiat ut Δ p ad p ο, hoc est ut 1 ad 3, ita rectangulum B D K, quod est quadrati B c, ad aliud spatium z; erit hoc, multiplex secundum numerum partia piop. s. i. cularum solidi ABC, aequale quadratis distantiarum a plano A D . Apparet autem, fieri spatium et aequale quadrati B C. Itaque,totum spatium applicandum,aequatur hic quadrati A D, cum quadrati B c. Vnde, si suspensio, ut hic, posita fuerit in A, vertice pyramidis, ideoque distantia ad quam applicatio facienda,
163쪽
HOROLOG. OSCILLATOR. 1 rA E aequalis A D; fiet hinc E s, intervallum quo centrum agita
tionis Interius est centro gravitatis, aequale -- AD, atque insuper tertiae proportionalis duabus Α D , B C. sive tota A s aequa
lis ' A D , praeter dictam tertiae proportionalis. Centrum oscitationis Coni. Quod si A B C conus fuerit, omnia eodem modo se habebunt, nisi quod spatium et hic fit aequale rectangulo Δ PO , hoc est Prop.is.lvij. quadrati P v vel B D , sive o quadrati B C. Quare, totum spatium appplicandum, in cono erit quadrati AD, una cum quadratin C. Ac proinde, posita suspensione ex vertice A, fiet E s, qua
centrum agitationis inferius est centro gravitatis, aequalis - - Α D,& tertiae proportionalis duabus A D , B C. sive tota A s aequalis rA D,una cum tertiae proportionalis duabus AD, D B. Atque hinc
manifestum est, si A D, D B aequales sint, hoc est, si conus A s c sit rectangulus, fieri As aequalem axi A D. Sequitur quoque porro, ex propositione io , conum hunc rectangulum, si ex D centro baseos si aspendatur, isochronum fore sibi ipsi ex vertice A suspenso, quemadmodum & de triangulo rectangulo silpra ostensum fuit. Centrum osciliationis Spharae. Si As c sit sphaera, erit figura plana proportionalis, a latere ad
ponenda, o v H, ex parabolis composita, quarum basis communis O H , aequalis sphaerae diametro A D. Secta vero sphera planis per centrum E , quorum B C sit horizonti parallelum, A D vero verti cale : ut inveniatur summa quadratorum a distantiis a plano A D, noscenda est distantia centri gr. parabolae o v H ab o H, quae sit Φ p, estque i vp. Deinde, divisa P v bifariam in Δ, constat rectangu lum ΔPΦ, multiplex per numerum particularum spherae AB C, aequari quadratis distantiarum a plano A D Est autem rectangu- . Pior. istum aequale quadrati P v, vel quadrati B E. M 'Atqui, quadrata distantiarum a plano B c, aequalia esse liquet quadratis distantiarum a plano A D , ac proinde eidem rectangulo Δ P Φ, multiplici per dictum particularum numerum. Ergo sp tium applicandum, in sphera A B c , erit duplum rectanguli a pideoque aequalet quadrati a radio EB.
Itaque, si sphera suspensa sit expuncto insuperficie sua A, erit
164쪽
Dη c ητκo E s. a centro spherae E ad centrum agitationis s, aequalis- semidia-
vi oti . metri Α Ε. Totaque A s aequalis - diametri A D. Si vero ex pun
cto alio, ut L, sphera suspensa sit; erit E s aequalis tertiae proportionalis duabus L E I E B. ,
In cylindro,invenimus spatium applicandum aequari quadrati altitudinis, una cum quadrati a semidiametro basis. Vnde si cylindrus a centro basis superioris suspendatur, fit longitudo penduli is chroni aequalis . altitudinis, una cum semisse ejus , quae sit ad semidiametrum basis ut haec ad altitudinem. Centrum oscillationis Conridis Parabolici. In conoide parabolico, rectangulum oscillationis est quadrati altitudinis, cum: quadrati a semidiametro basis. Vnde, si a puncto verticis fuerit suspensum , fit longitudo penduli isochroni - axis, cum ejus quae si ad semidiametrum basis, sicut haec ad axem, id est, una cum : lateris recti parabolae genitricis.
Centrum oscillationis Conoidis Hyperbolici.
In conoide quoque hyperbolico centrum oscillationis inveniri potest. Si enim, exempli gratia, sit conoides cujus sectio per axem, hyperbola B A B ; axem habens A D , latus transversum A F : erit figura plana ipsi proportionalis B K A K E , contenta basi B s ,
165쪽
HOROLOG. OSCILLATOR. 1 3& parabolicae lineae portionibus similibus AK B , quae parabolae per D verticem A transeunt, axemque habent G Ε, dividentem bifariam se latus transversum AP, ac parallelum basin n. Et hujus quidem figua 'rae B Κ Α Κ Β , centrum gravitatis L , tantum distat a vertice A , quantum centrum gravitatis conoidis estque axis A D ad
A L , sicut tripla 3 A cum dupla A D , ad duplam 3 A cum sesquialia tera A D. Deinde & distantia centri gr. figurae dimidiae A D B κ, ab AD, inveniri potest, atque etiam subcentrica cunei super figura B Κ A R B , abscissi plano per A P, parallelam B B ; hujus inquam cunei subcentrica, super ipsa AP, inveniri quoque potest; atque ex his consequenter centrum agitationis conoidis, in quavis suspensione; dummodo axis, circa quem movetur, sit basi conoidis parallelus. Atque invenio quidem, si axis A D lateri transverso A Faequalis ponatur, spatium applicandum aequari Δ quadrati A D, eum B quadrati D B. Tunc autem A st A D. Vnde, si conoides hujusinodi ex vertice A suspendatur, invenitur longitudo penduli isochroni,As,aequalis AD, cum EF tertiae proportionalis duabus AD, D B.
Centrum oscillationis dimidii Coni. Denique & in solidis dimidiatis quibusdam, quae fiunt sectione
per axem, centrum agitationis invenire licebit. Vt si sit conus dimidiatus Λ B C , verticem habens A , diametrum semicirculi b
166쪽
b seos B C: ejus quidem centrum gravitatis D notum est, quoniami, ouis. A D sunt rectae A E, ita dividentis B C in Ε, ut, sicut quadrans cir cumferentiae circuli ad radium, ita sint C B ad B E. Tunccnim E cst centrum gravitatis semicirculi baseos, ideoque in A E centra gravitatis omnium segmentorum semiconi AB D, basi parallelorum. Et figura quidem porro proportionalis a latere ponenda, o v v, eadem est quae in cono toto supra descripta fuit: per quam nempe invenietur summa quadratorum, a distantiis particularum semi coni a plano horizontali N D, per centrum gravitatis ducto. Veiarum quadrata distantiarum, a plano verticali M D Ο, ut colligantur, altera quoque figura proportionalis s Y Z, scut sirpra prop. I . adhibenta est, cujus nempe sectiones verticales, exhibeant lineas
proportionales sectionibus sibi respondentibus in semicono A B c.& hujus figurae cognoscenda est distantia centri gr. F ab s Y , quam aequalem esse constat distantiae D N , centri gr. semiconi a plano trianguli A B. positaque Ho subcentrica cunei abscissi super figuras Z Y, ducto plano per s Y, noscendum est rectangulum G FH, cujus nempe multiplex, secundum numerum particularum semiconi ABC, aequabitur quadratis distantiarum semiconi in planum M D o. Licebit vero cognoscere rectangulum illud G p Η , etiamsi subcentricae v c longitudo ignoretur, hoc modo. - Diximus supra, cum de cono ageremus, quadrata distantiarum
167쪽
a plano per axem ejus, aequari α quadrati a diametro basis, sive
quadrati a semidiametro,multiplicis per numerum particularum coni totius. Vnde & hic, in semicono ABC, quadrata distantiarum a plano A B aequalia erunt L quadrati B C, multiplicis per num rum particularum ipsius semiconi. Sed & rectangulum H G p, inubtiplex per numerum particularum semiconi ABC, aequatur quadratis distantiarum a plano A B, ut patet ex propositione 9. Ergo rectangulum H G F aequale δε quadrati B C. Ponendo autem AB rua; AC ru b; & quadrantem circumferentiae, radio B C descriptae, , di ; fit En , Cujus cum N D tribus quartis aequetur, set proinde N D, sive o F , Cujus quadratum auferendo a rectangulo H G F, quod erat Z quadrati B C , fiet rectangulum C p H , 'b b H . Hoc autem rectangulum, multiplex per numerum particularum semiconi ABC, aequatur quadratis distantiarum a planoMDo. At quadratis dinantiarum a plano MD aequantur, ut incono, A quadrati AB, sive ' aa, multiplices per numerum parti cularum semiconi ABC. Itaque, totum spatium applicandum aequabitur hic La a - - b b - -. Unde 'uidem centrum agitationis invenitur in omni suspen
sione semiconi, dummodo ab axe qui sit parallelus basi trianguli a
sectione A B. Notandum vero, cum figura s et Y sit ignotae prorsus naturae, subcentricam tamen C H, cunei super ipsa abscissi plano per s Y, hinc inveniri. Nam, quia rectangulum H G F aequale eratb b, sive quadrati B C , & G F aequalis , fit inde C H aequalis Porro, etiam semicylindri, & semiconoidis parabolici, centra agitationis inveniri possitiit, atque aliorum insuper semisolido rum; quae aliis investiganda relinquimus. Quemadmodum autem in figuris planis, ita & hic in solidis figuaris locum habet, quod de obliquarum centris agitationis illic di
ximus , quae veluti luxatione rectarum constituuntur, quarum centra oscillationis non differunt a centris oscillationis rectarum.
Sic, si coni duo fuerint A B C, A F G , alter rectus, alter scatenus; uorum & diametri & bases aequales; hi ex vertice suspensi, vel a quibuscunque axibus, aequaliter a centris eorum gravitatis distantibus, is chroni erunt; dummodo axis, unde conus scalenus
suspensus est, rectus sit ad planum trianguli per diametrum, quod planum basi est ad angulos rectos.
168쪽
Horologismm motum temperare, addito pondere exiguo secundario, quod super virga penduli, certa ratione divi , sursym deorsumque moveri possP.
Vt hoc expediamus, primo penduli ipsius, ex virga gravitate praedira , & appenso parte ima Pondere , compositi, centrum oscillationis inveniendum est. Sit Virga, cum appenso pondere,A C, cujus longitudo dicatur a. n λ' , I ntelligantur autem , tum Virga ipsa, tum pondus appensum C, in particulas minimas aequales divi sa, earumque particularum virga habeat numerum b, pondus vero C numerum c , ponendo nempe b ad e, sicut gravitas virgae ad gravitatem appensi ponderis. Longitudo igitur penduli simplicis, dato isochroni, habebitur, si summa quadratorum a distantiis particularum omnium a puncto suspensionis A , dividatur per summam earundem distantiarum Secetur A C bifariam in M ; tum vero in T, ut A T sit dupla T C. Quia ergo M est centrum gravitatis lineae A C , & A Τ subcentrica cunei super ipsa absciss plano per A D, perpendiu larem ad A C; qui cuneus hic revera triangulum est; erit summa quadratorum, a distantiis particularum virgae a puncto A ,
169쪽
aequalis rectangulo A M T,una cum quadrato A M ; hoc est,rectangulo TAM, multiplici secundum numerum particularum s ; hoc est, a a b; quia M A est a, de T A a, ac proinde rectangulum TA M , a a. Summa vero quadratorum, a distantiis particularum ponderis C ab eodem puncto Α, aequabitur quadrato A C, multiplici secundum numerum particularum ipsius ponderis; hoc est, a a c. Adeoque summa quadratorum omnium, tam a distantiis particularum virgae, quam ponderis C, erit la ab is a ae. Porro, distantiae omnes particularum Virgae A C a puncto A , aequantur iba; longitudini scilicet virgae ipsius , quae csta, multiplici secundum semissem numeri particularum quas continet. Et distantiae omnes particularum ponderis C, ab eodem puncto A,sunta c. Ita ut summa utrarumque distantiarum sit lab se a c. Perquam dividendo summam quadratorum prius inventam, qaa,
sive - , longitudo penduli isochroni. Quae itaque habebitur, si fiat, ut dimidia gravitas virgae, una cum gravitate appensi ponderis, ad trientem gravitatis Virgae . una cum gravitate ejusdem appensi ponderis, ita longitudo A c ad aliam. Oportet autem sumere longitudinem A C, a puncto suspen-
. sonis A aὰ centrum gravitatis ponderis C; cum magnitudinis ejus ratio hic non habeatur, ac veluti minimum consideretur. Quod si jam, praeter pondus C, alterum insuper D virgae inhaerere intelligatur, cujus gravitas, seu particularum numerus sit d: distantia vero A D sitf Vt pendulum simplex huic ita compositoisochronum inveniatur, addenda si intad summam superiorem quadratorum , quadrata distantiarum particularum ponderis D a puncto A , quae quadrata apparet este d f. Adeo ut summa omnium jam sit futura a ab se a ae d. Item,ad summam distantiarum, addendae distantiae particularum ponderis D, quae faciunt V. Ac summa proinde distantiarum omnium crit b a -- c a -- V; per quam dividenda est ista quadrato-
rum summa, & fit - , longitudo penduli dochroni.
Quod si vero, haec longitudo penduli is chroni, datae aequalis postuletur, quae stp, &reliqua omnia quae prius data sint, praeter
170쪽
distantiam A D seu f, quae determinat locum ponderis D : sitque invenienda haec distantia, id fiet hoc modo. Nempe, cum polluletur aequale p, orietur ex hac aequatione II, of
animadvertendum, duas esse veras radices, sit: ab p - cap minus sit quam a ab se a ac; hoc est, si longitudo p minor si quam
. - , quae antea inventa fuit longitudo penduli is ochroni, sive distantia centri oscillationis a suspensione, in pendulo composio ex virga A C & pondere C. Vnde patet, si velimus cffcere, ut, applicato pondere D , acceleretur penduli motus; posse duobus locis, inter A & c, illud dis poni , quorum utrolibet eadem celeritas pendulo concilietur velut in D vel E. Quae loca aequaliter distabunt a puncto N, quod abest ab A, semisse Iongitudinis p , hoc est, semisse penduli sim plicis, cui compositum hoc istoclironum postulabatur. Apparet autem, quando haec longitudo p tantum exiguo minor ponitur quam A C , ctiam punctum N exiguo superius esse puncto medio
habetur determinatio longitudinis p. Pater enim, pp non minus esse debere quam 22 . Unde non debebit esse minor quam v bd -- cd -- ιι - bc aec Quod si ρ aequetur huic quantitati, hoc est, si p p - fuerit aequale D, erit jam, in eadem superiori aequatione, f , ' ρ, hoc est, ': v bd -- c d bb b c - cc . Qio determinatur distantia ponderis D a puncto A, ex qua maxime omnium acceleret motum penduli.
Atque haec ad horologiorum usum sic porro adhibentur. Sit, exempli gratia, pendulum horologii, quod singulis oscillationi bus scrupula secunda notet. Virgae autem gravitas sit ξ gravitatis appensi ponderis in imo pendulo: &, praeter hoc, sit aliud exiguum pondus mobile secundum virgae longitudinem, cujus gravitas ea-