장음표시 사용
141쪽
per numcrum particularum segmenti BNND, aequatur quadratis distantiarum particularum eiusdem segmenti a plano E C . Ergo &tertia primae aequabitur; nempe planum Z,multiplex per numerum particularum solidi AB C D, summae quadratorum, a distantiis particularum solidi quidem A B C D a plano E C quod erat demonia strandum. Notandum vero, quando solidum A n D rotundum est circa axem A C , fieri semper rectangulum B C K aequale quartae parti quadrati BC. quoniam subcentrica cunei, abscissi super circulo BD, plano per tangentem in B , nempe recta B Κ, aequatur radii B c. Unde,si p v aequalis posita sit B c,sequitur,faciendo ut Ρ Δ ad P ο ita rectangulum B C K,hoc est, quadrati B C, hoc est, qu. P Δ ad planum aliud et, re hoc rectangulo Δ P φ aequale. Ac proinde tunc ipsum rectangulum A P Φ, multiplex secundum numerum particula. rum solidi A BD, aequari summae quaesitae quadratorum a perpendicularibus omnibus, quae a particulis iisdem cadunt in planum E c
PROPOSITIO XVI. FI ra quavis, sive linea fuerit, sive superficies, sive
solidum , si aliter atque aliter sustendatur, agiteturque super axibus inter se parallelis , quique a centro gravitatis
figura aqualiter dissent, sibi ipsi jochromi est.
Protonatur magnitudo quaevis,cujus centrum graVitatis E punctum, sitque primo suspensa ab axe, qui pers intelligitur hujus paginae plano ad angulos rectos. Itaque idem planum erit & planum oscillationis. In quo si centro E, radio E p,describatur circumferentia F H G, sumptoque in illa puncto quovis, ut H , magnitudo secundo suspendi intelligatur ab axe in hoc puncto Infixo, atque agitari, manente eodem oscillationis plano. Dico isochronam fore si si ipsi agitatae circa axem in F.
142쪽
latelligatur enim dividi magnitudo propossita in particulas mi. nimas aequales. Itaque, quia in utraque illa suspensione idem manet oscillationis planum, respectu partium magnitudinis; manifestium est, si ab omnibus particulis , inquas divisa est magnitudo, per. pendiculares cadere concipiantur in dictum oscillationis planum, illas utraque suspensione occurrere ipsi in punctis iisdem. Sint au tem haec puncta ea quae apparent in spatio ABCD. Quum igitur B sit centrum gravitatis magnitudinis propositae, ipsaque proinde circa axem, qui per E punctum erectus est ad pia num A B C D, quovis situ aequilibrium servet; facile perspicitur, quod si punctis omnibus ante dictis, quae in spatio A B C D signan
tur , aequalis gravitaS tribuatur, eorum quoque omnium centrum
gravitatis futurum est punctum E. Quod si vero, ut fieri potest, in puncta aliqua plures perpendiculares coincidant,illa puncta quasi toties geminata intelligenda sunt, gravitatesque toties multiplices accipiendae. Atque ita consideratorum, patet rursus centrum
gravitatis esse E punctum Porro summam quadratorum ab rectis, quae ducuntur a dictis punctis omnibus ad punctum F , eandem esse patet cum sum ma quadratorum ab iis rectis, quae a singulis particulis magni tudinis propositae ducuntur perpendiculares in axem oscillationis per p transeuntem I quippe cum lineae ipsae, quarum quadrata intelliguntur, utrobique eandem habeant longitudinem. Similiter etiam,cum suspensio est ex axe per Η, patet summam quadratorum ab rectis, quae ab omnibus punctis, in spatio A B C D lignatis, du cuntur ad punctum H , eandem esse cum summa quadratorum, ab iis quae, a particulis omnibus magnitudinis propositae, ducuntur perpendiculares in axem oscillationis per H transeuntem. Ergo utroque casse, si summa quadratorum an rectis quae, a punctis omnibus praedictis,ducuntur ad puncta F vel H,dividatur per rectas E pvel E H , multiplices secundum numerum particularum in 'uas magnitudo proposita divisa intelligitur, orietur ex applicatione
hac longitudo penduli simplicis, quod magnitudini suspensae ex rvel A uochronum sit. Est autem summa quadratorum utroque casu aequalis'; &rectae quoque E F, E H, inter se aequales; & particularum idem numerus. Ergo, quum& applicatae quantitates, de quibus illae applicantur, utrobique aequales sint, etiam longitu dines ex applicatione ortae aequales crunt, hoc est, longitudines pendulorum isochronorum magnitudini propositae suspensae ex puel ex H. Quare constat propositum.
143쪽
Dino plano , cujus multiplex per numerum particularum , in quassu pensa figura divisa intelligitur, aquetur quadratis omnium distantiarum ab axe osciliationis , si illud applicetur ad rectam , aqualem dictantia inter axem illationis sue centrum gravitatis sustensa magnitudinis, orietur longitudo penduli simplicis ipsi se noni.
Sit figura ABC p cujus centrum gravitatis E , suspensa ab axe qui, per F punctiam ad planum quod conspicitur, erectas sit. Ponenao- . que divisim figuram in particulas minimas aequales, a quibus Omnibus,in dictum axem,perpendiculares cadere intelligantur: esto, per superius ostensa,inventum planum H , cujus multiplex per numerum dictarum particularum , aequetur quadratis omnibus dictarum perpendicularium. Applicatoque plano H ad rectam F E, fiat longitudo p C. Dico hanc esse longitudinem penduli simplicis , isochronas oscillationes habentis magnitudini ABC, agi -
Quia enim summa quadratorum,a distantiis ab axe p,applicata ad distantiam F E, multiplicem secundum partium numerum , facit longitudinem penduli simplicis is chroni . Isti vero quadratorum ' Prop summae aequale ponitur planum H, multiplex per eundem particularum numerum. Ergo & planum H, multiplex per eundem particularum numerum, uapp licetur ad distantiam p E, multiplicem
144쪽
secundum Particularum numerum; sive, omissa communi multi plicitate , si planum H applicetur ad distantiam F E ; orietur quoque longitudo penduli simplicis isochroni. Quam proinde ipsam longitudinem p cesse constat. quod erat demonstrandum.
Si patium planum, cujus multiplex secundum numerum particularum suspensa magnitudinis, aequetur quadratis disiantiarum ab axerravitatis , axi sistationis parasie- is , id, inquam. spatium si applicetur ad rectam, aequalem distantia inter uirumque dictorum axium, orietur recta aqualis intervasio, quo centrum os stationis inferius est centro gravitatis ejusdem mainitudinis.
Esto magnitudo ABCD, cujus centrum gravitatis E ; quaeque suspensa ab axe, qui per punctum p ad planum hujus paginae erectus intelligitur, habeat centrum oscillationis c. Porro axi per Fintelligatur axis alius, per centrum gravitatis E transiens, parallelus. Divisaque magnitudine cogitatu in particulas minimas aequales , sit quadratis distantiarum, ab axe dicto per E , aequale planum I, multiplex nempe secundum numerum dictarum particularum; applicatoque plano I ad distantiam P Ε , fiat recta quaedam. Dico cana aequalem esse intervallo E c, quo centrum oscillationis inferius est centro gravitatis magnitudinis ABCD. Vtcnim universali demonstratione quod propositum est comprehcndamus : intelligatur plana figura, magnitudini ABCD an toga, ad latus adposita, o Q p; quae nempe, secta planis horizont libus aisdem cum magnitudine Anco, habeat segmenta interi
145쪽
cepta inter bina quaeque plana, in eadem inter se ratione cum seg Da mentis dictae magnitudinis, quae ipsis respondent ,sintque segmen- ii . M.ta singula figurae o Q p, divisa in tot particulas aequales,quot continentur segmentis ipsis respondentibus in figura ABCD. Haec autem intelligi possunt fieri, qualiscunque fuerit magnitudo ABCD, sive linea, sive su perficies, sive solidum. Semper Vero centrum gravitatis figurae o Q p , quod sit T , cadem altitudine esse manifestum est cum centro gravitatis magnitudinis ABCD; ideoque,si planum horizontale, per F ductum, secet lineam centri figurae o Q P , velut hic in f, aequales este distantias sΤ, FE. Porro autem constat quadrata distantiarum, ab axe oscillationis F, applicata ad distantiam F E , multiplicem secundum numerum particularum,Hiscere longitudinem penduli isochroni '; quae lon- Prop. .h4gitudo posita fuit F G. Illorum vero quadratorum summam, aequalem esse perspicuum est, quadratis distantiarum a plano horizontali per p , una cum quadratis distantiarum a plano verticali pE, per axem F & centrum gravitatis E ducto . Atqui quadrata distan- mi; r. Erutiarum magnitudinis a B C D a plano horizontali per F , aequantur quadratis distantiarum figurae o QP ab rectas p .Quae quadrata si otii punctum supremum figurae o Q P, & H centrum gravitatis cunei
si per ipsa abscissi, plano per rectam o v , parallelam s Fὶ aequaliasiant rcctangulo o T H & quadrato s T , multiplicibus secundum numerum particularum dictae figurae , sive magnitudinis Anco. 'P p r.vη Quadrata vero distantiarum magnitudinis A B C D a plano F E , quantumcumque axis oscillationis F distet a centro graVitatis Ε, semper cadem sunt: quae proinde putemus aequari spatio Z, multiplici secundum numerum particularum magnitudinis A B CD.l taque quoniam quadrata distantiarum magnitudinis ABCD, ab axe oscillationis F,aequantur istis,quadrato nimirum s Τ, rectangulo o T H , & plano et , multiplicibus per numerum particularum ejusdem magnitudinis; si applicentur haec omnia ad distantiam F E sive s T, orietur longitudo p G penduli isochroni magnitudini
ABCD . Sed ex applicatione quadrati s T ad latus suum s T , orie- 'Prop. Lbri tur ipsa sT, sive F E. Ergo reliqua E c est ea quae oritur ex applicatione rectanguli OTH , & plani et, ad eandem sT vel FE. Quare supcrest ut demonstremus rectangulum o T Η , cum plano Z, aequari plano I. Tunc enim constabit, etiam planum I, applicatum ad distantiam p E, essicere longitudinem ipsi E ci aequalem. Illud autem sic ostendetur. Rectangulum OTH, multiplex secundum numerum particularum figurae o Q p, sive magnitudinis A a
146쪽
v, eis, o C D, aequatur quadratis distantiarum figurae ab recta quae per
. . . .' . Centrum gaaVitari S T ducitur ipsi S F parallela; ac proinde etiam 'Prop. io .itui. quadratis distantiarum magnitudinis A B C D, a plano horizontali
Κ Κ, ducto per centrum gravitatis E ; cum distantiae utrobique sint eaedem. At vero planum Z, similiter multiplex , aequale positum fuit quadratis distantiarum magnitudinis ΑΒ C Da plano verticali 3 Ε. Ac patet quidem quadrata naec distantiarum a plano F E , una
eum dictis quadratis distantiarum a plano horizontali per E , aequalia esse quadratis distantiarum ab axe gravitatis per E , qui sit axi p. Prop. .lib. parallelus . Itaque rectangulum o TH una cum plano 2, multi- x M plicia secundum numerum particularum magni rudinis A B C D,
aequalia erunt quadratis distantiarum ejusdem magnitudinis a dicto axe per E. Sed & planum I, multiplex secundum eundem particularum numerum, aequale positum fuit iisdem distantiarum quadratis. Ergo planum I aequale est rectangulo OT H& plano κsimul sumptis. quod ostendendum supererat. Hinc rursus manifestum fit, quod propositione is demonstra tum fuit; nempe magnitudinem quam liset, si aliter atque aliter suspendatur atque agitetur, ab axibus parallelis, qui a centro gra vitatis suae aequaliter distent, sibi ipsi is chronam esse. sive enim magnitudo AB CD suspendatur ab axe p, sive ab axex illi parallelo patet eadem utrobique esse quadrata distantiarum ab axe per E, qui sit axibus P vel L parallelus. Vnde & planum I,
cujus multiplex, secundum numerum particularum, aequatur quadratorum summae, utroque casu idem erit. Hoc vero planum, applicatum ad distantiam centri gravitatis ab axe oscillationis, quae utroque casu eadem ponitur, cffcit distantiam qua centrum oscillationis inferius est centro gravitatis; Ergo ctiam haec distantia utroque casu eadem erit. Velut si, facta suspensione ex L , fuerit dicta distantia Ε Y , erit ipsa aequalis E G ; & tota Y L aequalis G F ;adeoque,in suspensione utraque, idem pendulum simplex is ochronum fit magnitudini A B C D.
SI magnitudo eadem, nunc brevius nunc longius susten
sa, agitetur ue erunt, sicut distantia arium oscillationis a centra iravitatis inter se, ira contraria ratione distantiae
centrorum oscillationis ab eodem iramisatis centro. Sie magnitudo, cujus centrum gravitatis A, suspensa primum a que agitata ab axe in a , deinde vero ab axe in C ; sitque in prima
147쪽
HOROLOG. os C ILLATOR. rassuspensione centrum oscillationis D , in posteriori vero centrum oscillationis E. Dico esse ut B A ad C A ita E A ad D A. , I,
. Quum enim, in suspensione ex B , essiciatur distantia A D , qua nempe centrum oscillationis inferius est centro gravitatis, applicando ad distantiam n A spatium quoddam,cujus multiplex secundum numerum particularum minimarum aequalium, in quas magnitudo divisa intelligitur, aequatur quadratis distantiarum ab axe per A, parallelo axi in B '; erit proinde rectangulum B A D dicto spa- pioν ν ὰ tio aequale. Item, in suspensione ex c, quum fiat distantia A Ε, ap ' plicando idem dictum spatium ad distantiam C A erit & rectangulum C A E eidem spatio aequale. Itaque aequalia inter se rectangula B A D , C A E; ac proinde ratio B A ad C A eadem quae A E ad A D. quod erat demonstrandum. Hinc patet,dato pendulo simplici, quod magnitudini suspensimi sochronum sit in una suspensione, datoque ejus centro gravitatis; etiam in alia omni suspensione, longiori vel breviori, dummodo idem maneat planum oscillationis, longitudinem penduli is ochro ni datam esse.
PROPOSITIO XX. Critrum Oscillationis s punctum suspensionis inter se
In figura superiori, quia, posita suspensione ex B , centrum OL cillationis est D ; etiam invertendo omnia, ponendoque suspenή
148쪽
Da exurao sionem ex D , erit tunc centrum oscillationis B. Hoc enim ex ipsa
'I :: propositione praecedenti manifestum est.
PROPOSIΤIO XXI. O modo in figuris planis centra osciliationis inve
Intellectis quae hactenus demonstrata sunt, facile jam erit in plerisque figuris, quae in Geometria considerari consueverunt, do finire oscillationis centra. Atque ut de planis figuris primum dicamus ; duplicem in iis oscillationis motum supra definivimus , nempe, vel circa axem in eodem cum figura plano jacentem, vel circa eum qui ad figurae planum erectus sit. Quorum priorem vocavimus agitationem in planum, alterum agitationem in latus. Quod si priore modo agitetur, nempe circa axem in eodem plano jacentem, sicut figura B C D circa axem E p ; hic, si cuneus sit per figura intelligatur abscissus , plano quod ita secet planum figurae, ut intersectio , quae hic est D D , sit parallela oscillationis axi; deturque distantia centri gravitatis figurae ab hac intersecti
ne, ut hic A D ; itemque subcentrica cunei dicti super eadem intersectione, quae hic sit D M. Habebitur centrum oscillationis Κ, figurae B D C, applicando rectangulum D A H ad distantiam p A ; quoniam ex applicatione hac orietur distantia Α ς , qua centrum osciulationis inferius est centro gravitatis. Est enim rectangulum D AH, multiplex secundum numerum particularum figurae B C D , aequale quadratis distantiarum ab recta B A C , quae per centrum gravi
149쪽
tatis A parallela ducitur axi oscillationis EF . Quare, applicando Da eista oidem rectangulum ad distantiam F A, orietur distantia A Κ, qua centrum Oscillationis inferius est centro gravitatis A . 'Hinc manifestum est, si axis oscillationis ci DD, fieri centrum oscillationis M punctum; adeoque longitudinem Dis, penduli sim plicis istoclironi figurae BCo, esse tunc ipsam subcentricam cunei,
abscissi plano per D D, super ipsam DD. Quod unum ab aliis ante
animadversum fuit, non tamen demonstratum.
Quomodo autem centra gravitatis cuneorum super figuris planis inveniantur, persequi non est instituti nostri, & jam in multis nota sunt. Velut, quod si figura B C D sit circulus, erit D H aequalis P diametri. Si rectangulum, erit D H χ diametri. Vnde & ratio apparet cur virga, seu linea gravitate praedita, altero capite sus pensia, isochrona sit pendulo longitudinis subsesquialterae. Consi derando nempe lineam ejusmodi, ac si esset rectangulum minimae latitudini S. Quod si figura triangulum fuerit, vertice sursum converso, fit DA diametri. Si deorsum, . diametri. Quod autem propositione 16 demonstratum fuit, id ad hujus modi figurae planae motum ita pertinere sciendum Nempe, si aliam atque aliam positionem demus figurae BCD, invertendo eam circa axem B A C , ut vel horizonti parallela jaceat, vel oblique inclinetur, manente eodem agitationis axe FE, ctiam longitudo penduli is chroni su eadem manebit. Hoc enim ex propositione illa manifestum est. Porro quando figura plana, ciri a axem ad planum figurae erectiun, agitatur; quam vocavimus agitationcm in latus.velut si sim ra B C D movcatur circa axem, qui per punctum E intelligitur ad planum D B C crectus ; hic jam praeter cuneum super figura, qui abscinditur plano ducto per D D, tangentem figuram in puncto summo, alter quoque considerandus cuneus, qui abscinditur plano per B D , tangentem figuram in latere, quaeque tangenti o D sit ad rectos angulos. Oportetque dari, praeter figurae centrum gravitatis A , subcentricamque H D cunei prioris, etiam subcentricam
L B cunei posterioris. Ita enim nlita erunt rectangula DA H, BAL,
quae sinaul suinpta faciunt hic spatium applicandum, quod deinceps etiam Rectangulum oscillationis vocabitur. Quod nempe, 'applicatum ad distantiam p A , dabit distantiam A K , qua centrum oscillationis x inferius est centro gravitatis Α. Si veros A sit axis figurae a C D, potest, pro cuneo abscisso per
150쪽
D . .,,ου, o B D super figura tota, adhiberi cuneus super figura dimidia os ur . ' abscissilis plano per D M. Nam, si cunei hujus subcentrica super D M sit O A, distantia vero centri gr. figurae planae D B M ab eadem D M sit N A , aequale esse constat rectangulum o A N rectangulo piisti hui. B AL . Itaque rectangulum Ο Α N, additum rectangulo D A A, constituet quoque planum applicandum ad distantiam p A, ut fiatd istantia A Κ. Et horum quidem manifesta est demonstratio ex praecedentibus, quippe cum rectangula D AH, BAL, vel DAH, O AN, mututiplicia fecundum numerum particularum figurae, aequalia sint quadratis distantiarum a cenim gravitatis A; sive, quoa idem hic est, ab axe gravitatis axi oscillationis parallelo; ac proinde rectan gula dicta, ad distantiam P A applicata, essiciant longitudinem
Et in circulo quidem rectangula D A H , BAL, inter se aequalia esse liquet, simulque essicere semissem quadrati a semidiametro. Vnde, si fiat uis A ad semidiametrum AB, ita haec ad aliam, ejus dimidium erit distantia A K , aceutro gravitatis ad centrum oscillationis. Si igitur circulus ab axe D, in circumferentia sumpto, agitetur, erit D κ aequalis tribus quartis diametri D M. Ad hunc modum & in sequentibus figuris planis centra oscill xionis quaesivimus, quae simpliciter adscripsisse suffciet. Nempe,