장음표시 사용
131쪽
HOROLOG. OSCILLA TOR. ios divisa intestigitur, ab recta E D, aqualis rectanguloseli ACH,
multiplici secundum ipsarum panicularum numerum. Hoc enim manifestum est, quum nullum tunc sit quadratum
Positis rursus cateris ut in praecedentium penultima; sDEsit axis Aura plana A B C, in duas aquale milesique portiones eam dividens, sitque insiver v G distantiarem tri gravitatis dimidia figurae D AD ab recta E D, cunei vero, super ipsam abscissi per ipsam E D, μbcentrica G X; erit rectangulum x G v aequale rectangulo A G H. Est enim rectangulum X G v, multiplex secundum numerum particularum figurae DAD, aequale quadratis omnibus perpendicularium a particulis ejusdem figurae dimidiae in rectam E D ca dentium'. Ac proinde idem rectangulum X G v, multiplex secun- Pt ira
dum numerum particularum totius figurae A B C , aequale erit quadratis perpendicularium,ab omnibus particulis sgurae hujus in retactam E D demisiarum; hoc est, rectangulo A o H multiplici secundum eundem particularum numerum, ut constat exprNos praecedenti. Vnde sequitur rectangula X G v, AGH inter se aequalia esita. quod erat demonstrandum.
DAtii in plano punctis quotlibet, si ex centro gravitatis eorum circulus quilibet deseribatur, ducantur autem ab omnibus datis punctis, ad punctum aliquod in circuli illius
132쪽
is ' circumferentia linea recta; erit summa quadratorum ab om-τ - nibus semper eidem plano aequalis.
Sint data puncta A B C D : centrumque gravitatis eorum, sive magnitudinum aequalium ab ipsis suspensarum, sit E ; & centro Edescribatur circulus quilibet ps, in cujus circumferentia sumpto puncto aliquo, ut 3 , ducantur ad id, a datis punctis, rectae A F, B F, C F , D F. Dico earum omnium quadrata, simul sumpta, aequalia esse plano cuidam dato, semperque ei aem, ubicunque in circumferentia punctum E sumptum fuerit. Ducantur enim rectae GH, GK, angulum rectum constituentes,& quarum unicuique omnia data puncta sint posita ad eandem partem. Et a singulis in utramque harum perpendiculares aganturAL, Α Κ; B M, B O; C N, C P; D H, D RA centro autem gravitatis E,& a puncto F, in alterutram duarum, G H vel G Κ, perpendiculares E R , F s. Et item, a datis punctis, in ipsam p s perpendiculares A v, B X, C Y, D E. Et F T perpendicularis in ipsam ER. Porro sit jam
addantur in unum perpendicularcs AL, BM, CN, D H, compositaque ex omnibus dividatur in tot partes, quot sunt data puncta; Piop x. lini. earum partium uni aequalis Crit ER . Similiterque, divisa in toti-
133쪽
dem partes summa perpendicularium ΑΚ, ΒΟ, CP, DR, Carum D βοητ . uni aequalis erit Perpendicularis, ducta ex E in rectam G Κ, sive ipsa et i o u O. RG . Itaque, i summa omnium AL, BM, CN, D H, sive a -b 'i' QP - c -- dvocetur l : summa vero Omnium, A Κ, Bo, C P, D Q, sive e -f-g -- b, voceturm: & numerus, datorum punctorum multitudinem exprimens, dicatur θ; erit E R , t ;&RC is CumqueCs sit x, erit Rssiive FT , x- ; Vel P-x, si G R major quam G s;&semper quadratum FT , x x - α - quo ablato ab quadrato FE Μ qq, relinquetur quadratum T E P. Et proinde TE, V F - ακ-LErat autem E R , '. Ita que T Rru: vel- v et x-xae quae TR, brevitatis gratia,dicatur γ. Colligamus jam porro summam quadratorum ona. nium FA, FB, FC, FD. Quadratum A F aequatur quadrati S A V, v p. Est autem A v aequalis differentiae duarum v K, A K , sive duarum
e e. v F vero aequalis est differentiae duarum F s, vis sive duarum p s,AL; ac proinde v F Μ I- a Vel a I; & qu. U F M. I-χυ - a a. Additisque quadratis A v, v F, fit quadratum F A m xx-2 ex e e -υ - 2 v -Φ a a. Eodemque modo invenientur quadrata re liquarum F B, F C, F D ; atque omnia ordine disposita crunt haec ,
Ac proinde utroque case,probra i l γ habebitur - ' - θ θ xx xm- P. Quo appositis reliquis quantitatibus, summa praedi-
134쪽
paret esse planum datum, cum hae quantitates omnes datae lint; temperque idem reperiri, ubicunque in circunferentia sumptum fuerit punctum F. quod erat demonstrandum. Quod si puncta data diversas gravitates habere ponantur, invi cem commensurabiles, ut si punctum A ponderet ut1, But 3, Cut , D ut 7, eorumque reperIO graVitatis centro, circulus rursus de scribatur, ad cujus circumferentiae punctum, a datis punctis rectae ducantur, ac singularum quadrata multiplicia sumantur secundum numerum ponderis puncti sui; ut quadratum A F duplum, B p tria plum , C F quadruplum, D F septuplum; dico rursus lummam om nium aequalem Dre spatio dato, semperque eidem, ubicunque in circumferentia punctum sumptum fuerit. Patet enim hoc ex prae cedenti demonstratione, si imaginemur puncta ipsa multiplicia secundum numeros attributae cuique gravitatis; quasi nempe in A duo puncta conjuncta sint, in B tria, in C quatuor, in D septem, atque illa omnia aequaliter gravia.
PROPOSITIO XIII. SI figura plana, vel linea in plano existens, aliter atque
aliter sustendatura punctis, qua, in eodem plano accepta, aqualiter a centro gravitatis seu a distenti agitata motu in
latus, sibi ipsi i ochrona est.
Sit figura plana, vel linea in plano existens A B C , cujus centrum gravitatis D. quo eodem centro, circumferentia circuli in eodem plano describatur, E C F. Dico, si a quovis in illa puncto, ut E, C,
vel o , suspensa figura agitetur in latus; sibi ipsi, sive cidem penadulo simplici, is chronam esse. Sit prima suspensio ex E puncto, quando autem est extra figuram , ut hic, putandum est lineam E H , ex qua figura pendet, rigidam esse, atque immobiliter ipsi assixam. Intelligatur figura A B c divisa in particulas minimas aequales, aquarum omnium centris gravitatis, ad punctum E , rectae ductae sint; quas quidem manifestium est, quum moveatur figura motu in latus, esse ad axem agitationis perpendiculares. Harum igitur omnium perpendicularium quadrata, divisa per rectam E D, multiplicem secundum numerum particularum in quas figura divisa. Lisi. est, effciunt longitudinem penduli simplicis, figurae isochroni ',
135쪽
quae sit Κ L. Suspensa autem figura ex puncto C, rursus longitudo penduli simplicis isochroni invenitur, dividendo quadrata omnia linearum, quae a partFulis figurae ducuntur ad punctum G, perrectam o D,mu)tiplicem secundum earundem particularum numerum Quum igitur puncta a & E sint in circunferentia descripta centro D, quod est centrum gravitatis figurae A BC, sive centrum
gravitatis punctorum omnium, quae centra sunt particularum figurae aequalium; erit proinde summa quadratorum a lineis, quae a dictis particulis ad punctum C ducuntur, aequalis summae quadratorum a lineis quae ab iisdem particulis ducuntur ad punctum E Hae vero quadratorum summae, utraque suspensione,applicantur ad magnitudines aequales: qGppe, in suspensione ex E , ad rectam E D , multiplicem secundum numerum omnium particularum : in suspensione autem ex G , ad rectam D C , multiplicem secundum earundem particularum numerum. Ergo patet, ex applicatione hac posteriori, quum nempe suspensio est ex C, fieri lon iatudinem penduli isochroni candem atque ex applicatione priori hoc est, eandem ipsi K L. Eodem modo,si ex C,vel alio quovis puncto circunferentiae E e F, figura suspendatur, eidem pendulo K L isochrona esse probabitur. Itaque constat propositum.
PROPOSITIO XIV. D At figura solida, s linea secta interminata, qtra vel
extra figuram cadat, vesper eam transeat , divisάque P
136쪽
Hura cogitatu in particulas minimas aequales, a quibus --τ . ndiu ad datam rectam perpendiculares ducta intestigantur, rariverine summam omnium qua ab 'sis fiunt quadratorum, e planum, cujur multiplex secundum particularum num rum, dicta quadratorum summa aequale sit.
sit data figura solida ABCD,& linea recta quae, per punctum Etransiens,ad planum hujus paginae erecta intelligatur: quaeque vel secet figuram, vel tota extra cadat. Intellectoque, a singulis particulis minimis aequalibus, solidum ABCD constituentious velut F, rectas duci perpendiculares in datam rectam per E, quemadmodum hic FE, Oporteat omnium quadratorum s E summam
Secetur figura plano EA C, per dictam datam lineam & percentrum gravitatis figurae ducto. Item aliud planum intelligatur per eandem lineam datam, perqI E C, quae ipsi est ad angulos rectos. Constat iam, quadratum rectae cujusque, quae a particula di-
137쪽
ctarum aliqua, ad lineam datam per E perpendicularis ducitur, D μη οscu FE, aequari quadratis duarum p G , quae, ab eadem par et ' '' ticula,in plana per E G α E C ante dicta,perpendiculares aguntur . Quare, si cognoscere possinatis seminam quadratorum, quae fiunt ab omnibus perpendicularibus, quae a particulis univcrsis cadunt
in plana dicta per E G & per E C; habebimus etiam huic aequalem summam quadratorum a perpendicularibus, quae ab universis iisdem particulis cadunt in rectam datam per E punctum. illa vero prior quadratorum summa colligetur hoc modo. Pota natur primo figuram planam dari oup, adlatus figurae solidae Aa C D , ejusdem cum ipla altitudinis, quaeque sit ejusmodi, ut secta lineis rectis. R R, quae respondeant planis figuram solidam ABCD secantibus MM, NH, α his parallelis; eadem sit dictarum linearum inter se, quae & planorum horum ratio, si nempe sumantur utrinque quae in ordine sibi respondent. vi s linea st x sit ad quemadmodum planum N N ad M M. Quod si igitur figura planao RP, in totidem particulas minimas aequales divisa intelligatur, quot intelliguntur in solido AB C D, erunt etiam in unoquoque segmento figurae planae, velut QSR R, tot numero particulae, quot
sunt in figurae solidae segmento M M N N , isti segmento respondente; ac proinde & summa quadratorum, a perpendicularibus om nium particularum figurae o Q P in planum E G, aequabitur summae uadratorum, a perpendicularibus omnium particularum figurae olidae, in idem planum E G productis. Illa autem quadratorum summa data erit, si dentur in figura o Q P, cuneoque illius, quae propos s. huj. requiri diximus. Ergo his datis, dabitur quoque
summa quadratorum, a perpendicularibus quae, a particais omnibus solidi A BCD , ducuntur in planum E G. Ponatur nunc alia item figura planas YT Z, ejusdem cum solido A B C D latitudinis, hoc est, quam includant plana BY, Det solidum contingentia, ac parallela plano E A C, quaeque sit ejusmodi, ut, secta lineis rectis v v, X X &c. quae respondeant planis figuram A B C D secantibus, Κ Κ ,L L,& his parallelis,faciat candem inter se rationem linearum harum atque illorum planorum, si sumantur quae sibi mutuo respondent. Itaque rursus quadrata simul omnia perpendicularium, a particulis figurae sYTZ in rectam S T cadentium, aequalia erunt quadratis omnibus perpendicularium quae, a particulis solidi AB c D, ducuntur in planum A C. illorum autem summa quadratorum data erit, si detur distantia centri gravitatis figuraes Y Τ Σ ab recta B Y vel D E ; nec non distantia indidem centri gra-
138쪽
D . Ei, k. vitatis cunei sui abscissi plano per eandem rectam '. Vel, figura s v i ζώει Τ Σ ordinata existente, vis T sit axis ejus, eadem quadratorum Prop. s. hiij, summa dabitur, si detur distantia centri gravitatis figurae dimidiae s et T ab axe S T , item centri gravitatis cunei, super eadem dimidia pio=. n.hui. figura,abscissi plano per axem ducto ' Ergo,his datis,dabitur quo que summa quadratorum a perpendicularibus quae, a particulis omnibus solidi ABCo, ductae intelliguntur in planum E A C. Inv nimus autem & summam quadrarorum, a perpendicularibus omnibus in planum per E G auctis. Ergo & aggregatum utriusque summae habebitur, hoc est, per superius ostensa, summa quadratorum perpendicularium quae, a particulis omnibus solidi Anc D, cadunt in rectam datam per E transeuntem, & ad paginae hujus planum erectam. quod erat faciendum.
PROPOSITIO XV. IIJem positis,solidum Anco sit ejusmodi, ut figura pli
na sY T et, ipsi proportionalis, non habeat notam distantiam centri gravitatis a tangentibuι B Y vel DZ, vel, uisub-
centrica cunei super ipsa abscissi,plano per easdem B Y mel D et, ignoremn infigura tamen proportionali, qua a latere est, o mudetur distantia o P , qua centrum gravitatis figurae dimidia o p v abest ab axe o pue licebit hinc invenire summam quadratorum a distantiis particularum holidi A B C D a plano
EC. Oportet autem ut sectiones omnes, N N, Μ Μ ,sntplana similia; utqueper omnium centra gravitatis transeat planum
E C; quemadmodum in pri ate, pyramide, cono, comidibus, multisque aliis figuris contingit. Atque eorum planorum distantias centri gravitatis, super tangentibus axi ossi a-tionis parastelis, datas esse necesse est; uti is subcentricas emneorum , qui super Usis abscinduntur, ductis planis per easdem tangentes.
Veluti, si maxima dictarum sectionum sit B D , & in B intelligatur recta parallela axi E , hoc est, erecta ad planum quod hic conspicitur, oportet datam esse distantiam centri P. sectionis a D a dicta linea in s , quae sit A c ; itemque subcentricam cunei, super sectione B D abscissi, plano ducto per eandem lineam in B , quae subcentrica sit B K.
Etenim his datis, divisaque y v bifariam in Δ, si fiat sicut A p ad
139쪽
ν Φ. ita rectangulum B c K ad spatium quoddam E; dico hoc ipsum, Di e inrao multiplex per numerum particularum loussi ABCD, aequari lum- Howas. mae quaesitae quadratorum, a distantiis earundem plano E C. Quadrata enim a distantiis particularum planae sectionis BD, 1ylano E C, quod per centrum gravitatis suae transit; sive quadrata a distantiis particularum solidarum segmenti B N N D a plano eodem, aequari constat rectangulo Bcκ, multiplici per numerum dictarum particularum . Similiter, si planae sectionis N N distantia Propi huj. centri gravitatis, ab recta quae ins intelligitur axi E parallela, sit N X; subcentrica vero cunei super ipsa abscisis, plano per eandem rectam, sit N p; erunt quadrata a distantiis particularum planarum sectionis N N a plano Ec, sive quadrata a distantiis particularum solidarum segmenti N M M N , a plano eodem, aequalia rectangulo N X F,mul tiplici per numerum particularum ipsartim sectionis N N, vel segmenti N M M N. Est autem a D divisa similiter in C & Κ, at que N N in x & F. Ergo rectangulum B C K ad rectangulum N x pucut quadratum B D ad quadratum N N. Est autem & numerus particularum sectionis B D, ad numerum particularum sectionis N N, sicut sectiones ipsae . hoc est, sicut quadratum B D ad quadratum N N. Itaque rectangulum B C Κ, multiplex per numerum particularum sectionis B D , ad rectangulum N X F, multiplex per numerum particularum sectionis N N , dupli-
140쪽
catam habebit rationem quadrati B D ad quadratum N N ; hoc est, eam quam quadratum v v ad quadratum R R, in fiora proporti nati. Erit igitur & dicta prior summa quadratorum, a distantiis particularum segmenti B N N D a plano EC, ad summam alteram quadratorum, a distantiis particularum segmenti NMM N,ut P. v v ad qu. R R. Eademque ratione ostendetur, summas quadratorum adistantiis particularum in reliquis segmentis solidi A B C D , esse i ter se in ratione quadratorum quae fiunt a rectis in figura o v v , quae basii cujusque segmenti respondent. Quare summa quadratorum,a distantiis particularum omnium segmentorum solidi AB C Da plano Ec, crit ad summam quadratorum, a distantiis particularum segmentorum totidem, maximo segmento aequalium, hoc est, cylindri vel prismatis B D s s , eandem cum solido A B c o basin altitudinemque habentis, sicut quadrata omnia rectarum V v, R R, Q o, &c. ad quadrata totidem maximo v v aequalia, hoc est, sicut solidum rotundum o v v circa axem o P, ad cylindrum V v Ω Ω, qui basin & altitudinem habeat eandem. Hanc vero rationem solidi o v v ad cylindrum v v Ω Ω, componi constat ex ratione Dianorum quorum conversione generantur, hoc est, ex ratione planio P v, ad rectangulum P Ω, &ex ratione distantiarum quibus horum planorum centra gravitatis absunt ab axe o P; hoc est, & ex
ratione P . ad P Δ. Et prior quidem harum rationum, nempe planio P v ad rectangulum P n, eadem est quae solidi A B C D ad cylin drum vel prisina BDss, hoc est, eadem quae numeri part icularum solidi A B C D, ad numerum particularum cylindri vel prismatis B pS S. Altera vero ratio, nempe P ο ad P Δ , est eadem, ex constructione,quae spatii 2 ad rectangulum B C R. Habebit itaque dicta summa quadratorum, a distantiis omnium particularum solidi Anc Datano E c, ad summam quadratorum, a distantiis omnium particu-brum cylindri vel prismatis B D s s ab eodem plano, rationem eam quae componitur ex ratione numeri particularum solidi A B C D , adnumerum particularum cylindri vel prismatis BD s s, &ex ratione spatii et ad rectangulum B C x : hoc est, rationem quam habet rectangulum Ζ, multiplex per numerum particularum solidi A B c D, ad rectangulum B C Κ,multiplex per numerum particularum cylindri vel 'rismatis B D ss. Atqui quarta harum magnitudinum aequalis est secundae; nempe rectangulum B CK,multiplex per numerum particularum cylindri vel prismatis B D s s , aequale luminae quadratorum, a distantiis particularum ejusdem prismatis vel cylindri B D s s a plano E C ; siquidem rectangulum idem B c x , multiplex