장음표시 사용
151쪽
HOROLOG. OSCILLATOR. us Centrum oscitationis Rectanguli. o
In rectangulo omni, ut C B , spatium applicandum, sive rectangulum ol illationis , invenitur aequale tertiae parti quadrati a semidiagonio A C. Vnde sequitur, si rectangulum ab aliquo angulorum suspendatur, motuque hoc laterali agitetur, pendulum illii sochronum esse diagonii totius.
Centrum oscitationis Trianguli se celis.
In triangulo isos cole, cujusmodi CBD, spatium applicandum aquatur parti decimae octavae quadrati a diametro B E, & vigesin quartae quadrati bascos C D.Vnde,si ab angulo baseos ducatur D G, perpendicularis super latus D B , quae occurrat productae diametro B E in C; sitque A centrum gravitatis trianguli; divisoque interia Vallo C A in quatuor partes aequales, una earum Α Κ apponatur ipsi B Α : erit B Κ longitudo penduli is chroni, si triangulum suspendatur ex vertice B. Cum autem ex puncto mediae basis A siuspenditatur, longitudo penduli is chroni E K aequabitur dimidiae B G.
Atque hinc liquet, triangulum iso sceles rectangulum, si ex puncto mediae basis suspendatur, isochronum esse pendulo longitudinem diametro suae aequalem habenti. Similiterque, si suspendatur ab angulo suo recto, eidem pendulo isochronum esse. Centrum oscidationis Parabola. In parabolae portione recta, spatium applicandum aequatur quadrati axis, una cum quinta parte quadrati dimidiae balis. Cum-
152쪽
in ciητηο que parabola ex verticis puncto suspensa est, invenitur penduli Vii. ilochroni longitudo axis,atque insuper - lateris recti. Cum vero ex puncto mediae basis suspenditur,erit ca longitudo axis,& insuper: lateris recti.
Centrum oscitationu Sectoris circuli. In circuli sectore nco, si radius B c vocetur r: semi arcus CP, pi semisubtensia C E, b: fit spatium applicandum aequale rr- , hoc est, dimidio quadrati B c, minus quadrato B A; ponendo
A esse centrum gravitatis sectoris. Tunc enim B A ru si autem suspendatur sector ex B , centro circuli sui, fit pendulum ipsi ista chronum , hoc est,trium quartarum rectae,quae sit ad radium B put arcus C p D ad subtensam C D. Haec autem inveniuntur cognitis subcentricis cuneorum; tum illius qui super sectore toto abscindi tur, plano ducto per B κ parallelam subtensae CD, cujus cunei sub centricam super B K invenimus esse . r -l a se vocando asinum versum E p ; tum illius qui super dimidio sectore B r c ab scinditur plano per B F , cujus nempe cunei subcentricam super B p invenimus b - α l . Sed & alia via, sectoris centrum oscillationis, facilius invenitur, quae est hujusmodi. Intelligatur sectoris BCD pars minima sicctor B C p,qui trianguli loco haberi potest. Quadrata autem,a distantiis particularum ejus a puncto B , aequalia sunt quadratis distantiarum ab recta n R , bifariam sectorem dividente, una cum quadratis distantiarum ab recta B Q, quae ipsi B R est ad angulos rectos. Sed, horum quadratorum ad illa, ratio quavis data est major, quoniam angulus C s P minimus; ideoque illa pro nullis habenda sunt.
153쪽
Posita vero B o duarum tertiarum B R , hoc est, posito o centro Da e gravitatis trianguli BC P ; & A N trium quartarum B R ; ut nempe Nili centrum gravitatis cunei,super triangulo B C Pabscissi plano per B Q. His positis, constat quadrata, a distantiis particularum trianguli B C P ab recta B Q, aequari rcctangulo N B o multiplici secui dum particularum ejusdem trianguli numerum. Itaque rectangu lum N B o, ita multiplex, aequale censendum quadratis distantiarum a puncto B particularum trianguli B C P. Sunt autem quadrata distantiarum harum, ad quadrata distantiarum totius sectoris sco, sicut sector B C P ad sectorem BCD, hoc est, sicut numerus particularum sectoris B C P . ad numerum particularum sectoris BCD; hoc enim facile intelligitur, eo quod sector BCD dividatur in sectores qualis A C p. Ergo rectangulum N B o , multiplex secundum numerum particul rum sectoris BCD, aequale erit quadratis distantiarum particularum ejus a puncto B. Ideoque rectangulum N B o, applicatum ad Η Α , distantiam inter suspensionem & cen trum gravitatis sectoris , dabit longitudinem penduli is chroni, cum sector ex n suspenditur '. Est autem rectangulum N B o ω ' Pri p. 7 hvj rr: distantia autem B A, ut jam ante diximus, Μ Vnde, facta applicatione , oritur , longitudo penduli isochroni, ut ante quoque inventa fuit.
Centrum oscillationis Circuli, aliter quam supra.
Eodem modo etiam simplicissime, in circulo, centrum oscillationis invenire licet. Sit enim circulus GCF, cujus centrum B ; scictorque in eo minimus intelligatur B C p , sicut ante in sectore
154쪽
D , e,,-o Cum igitur, secundum modo exposita, quadrata, a distantiis particularum i ctoris B C P ad centrum B, aequentur rectangulo uno, hoc est, dimidio quadrato radii, multiplici secundum se istoris ipsius particularum numerum; circulus autem ex ejusmodi sectoribus componatur; erunt proinde quadrata, a distantiis particularum circuli totius ad centrum B , aequalia dimidio quadrato radii, multiplici secundum numerum earundcm circuli particu
Est autem A centrum gravitatis circuli. Ergo dictum dimidium quadratum radii, hic erit spatium applicandum distantiae inter suspensionem & centrum n,ut habeatur intervallum,quo centrum riop. . h.j. oscillationis inferius est ipso centro a '. quod & sipra ita se habere ostendimuS. Centrum oscitationu Peripheria circuli. . pacilius etiam, centrum oscillationis circumferentiae circuli. hoe
155쪽
pacto reperitur. Esto enim circumferentia descripta centro B, r - 'ν dio B R. Quadratum igitur n R, multiplex fecundum numerum Oos . particularum in quas circumferentia divisa intelligitur, aequatur quadratis a distantiis omnium earum particularum ad centrum B. Quare quadratum B Rerit hic spatium applicandum '. Patetque η νων. .huj.
hinc, si suspensio sit ex C, puncto circumferentiae, penduli isochroni longitudinem aequari diametro G F. Centrum oscit attonu Poluonorum ordinatorum. Haud absimiliter& polygono cuivis ordinato, ut AB C, pendulum isochronum invenitur.Fit enim,spatium applicandum, aequalesse missi quadrati perpendicularis ex centro in latus polygoni, una vigesima quarta parte quadrati lateris. At, si perimetro poli. pendulum isochronum quaeratur, fit spatium applicandum aequale quadrato perpendicularis a centro in latus, cum duodecima parte quadrati lateris.
Loci plani es solidi usus in hac Theoria.
Est praeterea & Locorum contemplatio in his non injucunda.
Vt si propositum sit, dato puncto suspensionis A, & longitudine
A B, invenire locum duorum ponderum aequalium C, D , aequali ter ab A M a perpendiculari A B distantium, suae agitata circa axem in A, perpendicularem plano per A C D, isochrona sint pendulo simplici longitudinis A B. Ponatur A B , a, ductaque C D, quae secet A s ad angulos rectos in E , sit A E indeterminata is x: E C vel E D , I. Ergo quadratum AC γ xx - I. Hoc vero multiplex secundum numerum particularum ponderum C, D , quae hic minima intelliguntur, aequatur quadratis distantiarum earundem particularum ab axς
156쪽
κα suspensionis A. Ergo quadratum A C, sive se applicatum ad distantiam A E , quae nempe est inter axem suspensionis & cen trum gravitatis ponderum C, D , essiciet F, longitudinem pen-huj duli is ochroni ; quam propterea oportet aequalem esse A B sive a.
Itaque -- ω a. Et I , ax-xx. Unde patet, locum punctorum C & D, esse circumferentiam circuli, cujus centrum P, ubi An bifariam dividitur , radius autem , a, sive F A. Ergo,ubicunque in circumferentia A C B D duo pondera aequalia, aequaliter ab A di stantia,ponentur,ea, ex A agitata, isochrona erunt pendulo longitudinem habenti aequalem diametro A B. Atque hinc manifestum quoque, & circumferentiam A C B D, si gravitas ei tribuatur, & quamlibet ejus portionem, aequaliter in.
A vel B divisam, & ab axe pcr A suspensam, eidem pendulo A nisochronam csse. Loci vero solidi exemplum esto hujusmodi. Sit A N linea instexilis sine pondere.Propositumque sit,ad punctum in ea acceDtum,ut M, assigere ipsi ad angulos rectos lineam, seu virgam, pondere praeditam o ML, ad M bifariam divisam, cujus in latus agitatae oscillationes, ex suspensione A, i chronae sint pendulo simplici longitudinis A N.
Ducatur o H parallela A N , & A A parallela o M , & sit o R aequalis ' o L. Itaque cunei su per recta OL, abscisi plano per o H ducto, subcentrica erit o R. Sed cunei alterius super eadem o L , abscissi plano per rectam Aia, est autem cuneus hic nihil aliud quam retae angulum) subcentrica erit ipsa A M. Quare rectangulum illud, quoa supra oscillationis vocavimus , erit solum rectangulum o M R. quod nempe applicatum ad longitudinem A M,dabit distan tiam centri oscillationis lineae o L, ex A suspensae, infra punctum M.
157쪽
sit jam AN ru a: AM , x: M o vel M L , Est ergo rectan gulum o MR M VI . quo applicato ad A M , fit quae longitudo itaque ipsit M N aequalis esse debebit, cum velimus centrum oscillationis virgaeo Lesse in N. Fit ergo aequatio α - x ω a. Vnde
I , v 3 a x - 3 x x . Quod significat puncta o & L esse ad Ellipsin, cujus axis minor A N ; latus rectum vero, secundum quod possunt ordinatim ad axem hunc applicatae, ipsius AN triplum. Hinc vero manifestiam fit, cum omnis virga ipsi o L parallela, &ad Ellipsin hanc terminata, oscillationes isochronas habeat pendulo simplici Α Η, etiam totum Ellipseos planum, ex A suspensum & in latus agitatum, ipsi A N pendulo isochronum fore. Sed α partem Ellipseos quamlibet, quae lineis una vel duabus, ad A Nperpendicularibus, abscindetur. Caeterum adscribemus & aliud loci plani exemplum,in quo nonnulla notatu digna occurrunt. Sit virga A B ponderis expers, suspensa ex Α; oporteatque, ad da-
158쪽
A D, ad illius circumferentiam. Cum igitur quaelibet duo triangula acu t istima, quae ex A ad circumferentiam A CND constituuntur, magnitudine & situ sibi respondentia, centrum oscillationis lia beant punctum L , posita AL , - diametri A N ; cumque circulus totus ex ejusmodi triangulorum paribus componatur; uti & portio ejus quaelibet, ut A C N D , latera A C , A D aequalia habens, m nifestum est, tum circuli totius, tum portionis qualem diximus, centrum oscillationis cisse in L. Rursus, si in aequatione inventa ponatur a χ b, seu 2 a m b; hoc est, si triangula assigi intelligantur in B, quod longitudinem A L secet bifariam, erita ru ULaa-xx. quae aequatio docet,quod si centro B , radio qui possit duplum B A, circumferentia descri- locus basium triangulorum acutissimorum B C, B D, quorum
o . e. 9Vxo tum in ea punctum B , assigere triangula duo paria, & paribus an- gulis ab axe A B recedentia, quorum anguli ad n minimi, sive infi nite parvi existimandi, quaeque, ita sui pensa ab A , oscillationesis chronas faciant pendulo simplici datae longitudinis A L. Hic,ducta C C perpendiculari in B G,α ponendo AB dia; AL , b ,
ex qua patet, bases triangulorum C, & D , quae bases hic ut puncta considerantur, esse ad circuli circumsercntiam; quia nempe habetur terminus simplex - xx. Licet autem hic animadvertere, quod si a sit nihilo ae talis, hoc est, si punctum, ubi assiguntur trianguli B C , B D, sit idem cum puncto A ; tum futura sit aequatio ν Μ έ ' Ix-xx. Ac proinde, hoc casu, si sumatur AD, b, hoc est, Μ - AL, centroque oper A circulus describatur A D N ; erunt bases triangulorum A C , A
159쪽
quorum nempe, ex A suspensorum, centrum oscillationis erit L Opunctum. Cumque & circulus totus ,§or ejus quilibet, axem 'nabens in recta A L , ex hujusmodi triangulorum paribus componatur, manifestum est& horum, ex A suspensorum, centrum os.cillationis esse punctum L. Adeoque quilibet circuli sector, siuspensus a puncto quod diu stet, a centro circuli sui, seniisse lateris quadrati circulo inscripti, pendulum isochronum habebit toti eidem lateri aequale. Atque ita, hoc uno casu, absque posita dimensitone arcus , pendulum
sectori isochronum invenitur. Porro, ad universalem constructionem aequationis primae, ruab-2aa- fax tbx-xx, dividatur A L bifariam in g, α adponatur ad B E pars sui tertia Ε F; eritquep centrum describendi circuli; radius autem p o aequalis sumendus ei, quae potest duplum differentiae quadratorum A E , E F.
. a ex puncto B, ad descriptam circumferentiam trianula duo paria acutissima constituantur, ut B C , B D; illorum, ex A
160쪽
suspensorum, centrum oscillationis erit L. Quare & portionis cujuslibet descripti circuli, cujus portionis vertex sit in B, axis vcro in recta AL, quales sunt utraque CBD; posita suspensione ex Α, centrum oscillationis idem punctum L esse constat. Atque adeo etiam circuli segmentorum K o N , Κ M N , quae facit recta Κ B Nperpendicularis ad A B. L t haec quidem de motu laterali planorum,ac linearum,animad vertisse sussciat. Quibus hoc tantum addimus ; inventis centris oscillationis figurarum rectarum , seu quae aequaliter ad axem utrinque constitutae sunt; ut trianguli is oscelis , vel parabolicae sectionis rectae; etiam obliquarum, quae velut luxatione illarumessiciuntur, ut trianguli scaleni, & parabolae non rectae, centra
oscillationis haberi. Vt si, exempli gratia, triangulum BAC isos.celes, cujus axis A D , a puncto B suspensium intelligatur; sit vero& aliud triangulum scalenum F A G , axem eundem habens A D , &basin p c aequalem basi B C ; etiam hoc triangulum, ex E suspensum, priori BAc isochronum esse dico. Quia enim virga, seu linea gravis, F G , assixa virgae sine pondere E D in D , situ obliquo, suspensaque ex Ε , isochrona est virgae B C, similiter in D affxae', idemque evenit in virgis caeteris trianguli utriusque , quae axem A D secant in iisdem punctis, atque inter se aequales sunt: necesse est tota triangula, quae ex lineis, seu virgis iisdem composita intelligi possint, istichrona esse. In aliis liguris similis est demonstratio.