2: Renati Des-Cartes Geometriae pars secunda. Cuius contenta sequens pagina exibebit

161쪽

i AEQUATIO Nu M. 33tet, si xx aequatur pilis in hoc est X , Candem fore aequalem ipsi ac per consequens, si fuerint ei inini hi ma S aequa les, erit una radicum aequationis proposita aequalis singulis ipsorum S si inaequales fiserint, neutra duarum radicum ae cluati ni propositae poterit ese inter illos duos ni R S. Eodem modo

per transpositionem est,' 'xim in xx-p'. Unde si in iliter discimus , si x aequatur ipsi mi, hoc est, x a n, Ore etiam

x x hoc est, x M' l. Ideoque si hi termini, suerint

aequales , una ex radicibus aequationis propositae aequabitur sinculis eorundem terminorum; sin vero inaequales hierint nulsa radicum aequationis propositae inter illos duos constituta erit. Praeterea per transpositionem elix'--p'rum in x x n x, ideoque m xx se nyx majus quana ' ωm in x in majus quam x'. Porro si proposita aequatio est realis erit x realis, aequalis, vel major, vel minor quam . Si fuerit aequalis vel major erit mm --nnx majus quam x', in m -- nn majus quam xx, hoc cst, minor erit quam V m n n. Si uerit, minor quam n , nainor etiam erit quam, ni vi H-nn. Quare patet, quamlibet radicum aequationis propositae necessario minoi cm is quam, iii in inmin. Denique existente x'--p' in xx--nyx, crit similiter mxx- - nyx majus quam p'. Et quia inventa est Umm--nn major quam x erit consequenterim vim unmajus quam mm xx, ideoque nix, tum n n, sent majus

quam pri m-jor qu-m: ἡ . Quare inventus est terminus unus majora alter minor quam quaelibet duarum radicum aequationis propositae. Atque ita ni odo sequeriti capite observato propositione septima demonstrari potest , quod x major est quam minor horum teriannorum

162쪽

PT transpositionem est, lxymp - mxx. Unde constat, si est aequalis ipsa etiam x x aequari hoc est,

xm- , ideoque si liqualis est ipsi g, hoc est, litto p p, erit radix aequationis propositae aequalis singulis terminorum lsi fuerint inaequales, unaquaeque radicum aequationis propositae, sive unam, sive tres habuerit, semper erit inter hos terminos; sed si fuerint aequales, hoc est in opp, lim mpe substitutolim in loco p in aequatione proposita, eaque divisa per x - .c gnoscemus in hoc casu non haberi aliam radicem veram praetera. Prop. a. ' lxΤ-mm xx -s Mo. Per transpositionem est , - mxxmp - lx L Unde conastat, si fuerit a min, etiam, C. aequari ipsi x ideoque si duo termini u&U C. sint aequales, erit radix aequationis aequalis

singulis horum terminorum , sin vero inaequales suerint, erit illa necessario inter duos. Similiter per transpositionem est a. o p mmm xx lae'. Unde discimus, quis asia: aequalis est ipsi, fore quoque eam aequalem ipsi ' ideoque si termini p&- aequantatur, erit radix aequationis aequalis unicuique illorum sed sina quales fuerint, erit illa necessirio inter utrosque constituta.

Per transpositionem est x'-lxymnim xx. pri ideoque x major

163쪽

major iam . Sed te transpositionem est, is in xxx lx , ideoque, major qilam m. m x maj xl quam in m x x. Similiter per transpositionem est x - is x m x x, ideoque, major quam , o x majus quam ' Praeterea per transpositionem propositionis est x'--mmxx--p' x x', ideoquel x3 in xy p x majus quam ' dei in in majus quam x. Quare invenimus radicem x aequationis propositae majorem te quam I, in , p, at minorem tuam l--m p. Denique per transpositionem est xv, - - in xx ρ', ideo lue majus quam Lx - 1um xx. xx majus quam lx H in m. Atqui demonstratum est superius, malorem elle quam , ac pio indest minus quam x. Multo igitur magis, x maius erit quam 4 - - major quam

Tl m. Non dissimili ratione demonstrabitur, quod, ma

majus quam xx, majus quam . Similiter est, in m xx mp. - lx , ac per consequenso major quam x p xx ratus quam ' 5 lup majus quamuri L Sed per transpositionem pro

m x x majus erit quam p a 4 Ἀ-jWβλ - si major quam, At vero existente x'-- lx3 minxxxp', erit quoque γ' majus quam lx', ideoque S majus quam ' L, majus quam x. Inventa igitur est radix x quationis propositae major quam at minor quam Per transpositionem est,mxx--ρ' lx3-x , ideoque ma-

164쪽

ior quam x. Deinde est,' p=m Ix3 1um xx, ac per conse-qxiens a major quam Praeterea est PH-nim xx xl xy-- , ac proinde ac najor quam 7, x major quam C. T. Inveni'nrils igitur, unam quamque duarum radicum a quationis propositae ma)orem esse quam j &V C. , at minorem quam l. Per transpositionem est Q -- p m=nmxx-lxy, ideoque majus quam x. Deinde est Xy--p'Pomm xx α' ac proindem major quam . Praeterea est x in xymmmxx-p',&consequenter v v majus quam hoc est a major quam V Inve nimus ergo, unam quamque duarum radicum arquationis propo

sitae majorem esse quam 2, at minorem quam U, m.

de patet, si aequalis est ipsi l ipsam, quoque fore aequalem ipsi 2; per consequens, si fuerint terminia gaequales, erit una radicum aequationis propositae aequalis singulis illorum4 de s suerint inaequales , neutra duarum radicum aequationis propositae poterit esse inter illos duos constituta. Eodem modo per transepositionem est,' -- mxx xl xy- Unde similiter constat,

si fiterit, aequalis ipsi in fore quoque ma qualem ipsi C r. id eoque si aequales fuerint CG una radicum aequationis

proposita aequalis erit cuilibet horum terminorum aequalium is fuerint inaequales , nulla radicum aequationis propositae erit inter illos duos constituta. Porro per transpositionem est duo u ue p' in xx, unde in m x x majus erit quam lx -mm maJu quam xx. Jam si fuerit aequatio proposita rea iisa

165쪽

lis, erit x et aqvialis, vel major, vel minor quam i minaso quam x. Quod si uerit, minor quam in multo magis ipsa minor erit quam H-m. Deinde ex eadem aequatione x xl xy-μnim xx etiam constat, quod lx - - tum a malus est quam p . Atqui inventa cilci in nrajor quam x. Ergo lxx mxx majus crit filiam lx , si lxx lm xx in rum xx majus quam p', ideoque xx

Hinc cum lxx H L mxx--m multo majus sit quam , crit quoque per consequens , --m xiv jus quam p major quam Quare invenimus quamlibet duarum adicunt a quatiotii Propositae majorem tae

Caeterum quoniam inventiariis, quod . necessario est minor quam in m patet, si x supponitur major quam , eam fore inter hos terminos linis S m. Libys m fuerit aequalis aut major quam x quoniam l xy--m in x x majus est quam p , crit&lari xx nam xx majus quam p', xx majus quam '--, x major quam Quare unaquaeque duarum radicum aquationis propositae major erit quam minor duorum terminorum m&έ - Γ, ivi, at minor quaml--m.

PT transpositionem est x 4 x xl l x. Unde patet, quod si x aequalis est ipsi sore quoque x aequalem ipsi ideoque si fuerit laeeu lis ipsi ii hoc est, in 'oop', radix aequa S tionis

166쪽

fuerint inaequales, unaquaeque radicum aequationis propositae, si ve unam, sive tres liabuerit, semper erit inter hos terminos. Prae terea cognoscimus , quod , si fuerint hi ultimi termini aequales, hoc est, nymp', substituto in aequatione proposita in loco pG divisa aequatione per x - , ipsa non possit aliam habere veram radicem quam . Per transpositionem est mp - lx'. Unde constat, si re aequalis est ipsi n, Oic quoquc κ' oo hoc cst, a m V ;& si fuerit, aequalis ipsi, i, radix aequationis aequabitur singulis horum terminorum; si fuerint inaequales, erit necessarib inter duos. Deinde per transpositionem est, p'mnyx lxia

Unde patet, si fuerit x aequalis ipsi p. re quoque xx zo hoc est, x o, ideoque si fuerit, aequalis ipsi i , radix aequationis proposita aequabitur singulis horum terminorum,d si fuerint inaequales, erit necessario inter utr0sque. Per transpositionem est x I xyzonyxH-p , ideoqu' maior quam l. Eodem modo est x - nyx zola: Τ Ii', ac proindex major quam , in x majus quanior x. Similiter est,' p . x ideoque, major quam , j x majus quampti Sed pertranspositionem est quoque xi in nyx- -p'm Ouare ae 3 nx3--pa: majus erit quam vin major quam, Ergo invenimus radicem x aequationis proposita majorem esὰ quaml, , p, at minorem quam ἰ- -n p. Porro ex hac quatione x in x sex x etiam constat, quod I xv i , est

minus quam ' quandoquidem invenimus t minorem ei quam x erit ' mimu quam ideoque lyx nix multo minusquam x ma)or quam 'H-, Non dissimili ratione demon

strabitur, quod major est quam νέμων έ ni

167쪽

Per transpositionem est ' - lx xp - n 'x, ideoMe ma-aus quam x. Eodem modo est a 'H-nyx op lx', ac proinde majus quam x'. Similiter est lxy--n - x &percon sequens p major quam x, 5 p . majus quam , cum 'enaajus quam Sed per transpositionem propolitionis ii quo ue

, is major u in iij , Et sic inventa est radix x qirationis propositae major quam iaor' in

Per transpositionem est nyx-- p. mix'-m, ideoque t major qu nax Deinde est x --p'mix n x, quare erit xx majus quin 7 , hoc est, x major quam Sed est quoque ς ε xx lxy-p', ideoque x majus quam 7, 3 x major quam V C. T Quare invenimus, quod quaelibet duarum radicum aequationis propositae necessario major est quam at minor quatia . Per transpositionem est x'--p'mii 'ς lx'. ideoque Diaa-jus quam xx, hoc est, x minor quam V Deinde clix' - - lx mi' - ' ideoque major quam S. Praeterea est lx' -- p zonyx - ', idcirco, major quam ' hoc est, x minor quam . Ergo in cnimus, unam quamque duarum radicum x aequationis

proposita majorem esse quam ξ, at minorem quam V

168쪽

i o DE LIMITI Bus

de patet, si x aequalis es ipsi , fore quoque x aequalem ipsid per consequens, si fuerint hi termini aequales, hoc est, in imp', una ex radicibus aequationis proposita aequalis erit singulis horum terminorum aequalium si inaequales fuerint, neutra duarum radicum arquationis propositae poterit esse inter ipsos. Deinde per transpositionem est, ' - nyx Iola: 3-p'.

Unde simili modo patet, si aequatur ipsi, ipsam, quoquequar ipsi, ideoque si termini hin , C. aequales siue

rint , una radicum aequationis proposita aequabitur singulis horum terminorum aequalium; si fuerint inaequales , nulla radicum aequationis propositae erit inter utrosque. Porro per transpositionem est quoque. x 'H-p'zolae' nix, ideoque x3--γρο πmajus quam xm lxx nmaiajus quam xy. Jam si fuerit proposita aequatio realis criti realis, de vel aequalis, vel major vel ininor quam m. Qubd si fuerit aequalis vel major erit lxx-Fn xx majus quam x'. Sin verti minor sit, critis multo minor quanal H-n. Quare utraque duarum radicum propositae aequationis necessario minor erit quam Quin desexistente 'H-p' xl xl

nyx majus erit quam p', major qVδm th. itf i Et quandoquidem cubus ex H-n major est quam 3 Inii 1ll --, multo magis erit x major quam ' divisum per cubuni ex in n. Invenimus itaque quod quaelibet duarum radicum quationis propositae major est quam ' divisum per cubum ex

169쪽

niajor quam n erit necetiari inter hos ternit nos L . rae i.

Quod ii vero juerit vel aequalis vel major quam x , qui a lx n x majus eli quam erit: tinx η' x majus quam γ', S umajor quam . Ac proinde quaelibet radicum aequationis propositae naajor erit quam inor horti in terminorum in G, . ii t minor quina in L

Iam si fuerit proposita aequatio realis erit is realis, vel aequalis vel major vel minor quam . Quod ii fuerit aequalis vel

nrajor erit xx nx majus quam x , hoc est , --n major quam x, ct x minor quam n Musto igitur magis minor erit quam Ergo x necessarib minor erit quaml ri. Deinde ex eadem aequatione I x in xx j in x constat, cisclx --n' majus quam p . Sed inventa est l-seu major quam . ac per consequens in n- - 2a n majus quam xx, 5 I x-- nn . et linx malus quam x . Quare erit innx ci flux

Σlln--n is ut erit Pina o quam 'divisum percubum ex H-n. In xc itaque terminus unus major alter mi nor quam unaquaeque radicum aeq rationis propolitae sive haec duas sive quatuor radices habuerit Praeterea, quoniam inveni mus, quod H-n semper major est quam , si ponatur x quo quenaalo qua in η mani testum est eam esse inter duos terminos Quod si autem lucrit aequalis vel minor quamn quoniam est lx H-n' majus quam iit nux --n x s majus,

170쪽

a r. DE LIMITI Busiaaajus quam ideoque x major quam n i. Ergo unaquae'

que radicum propositae aequationis, sive duas, sive tres habuerit, ira ajor erit quam minor horum duorum terminorum ηρ ἡ si,

dicum aequationis propositae majorem esse quam

ideoque nim xx nyis majus quam x'. Jam si proposta aequatio fuerit realis erit . realis, vel aequalis vel major vel minor quam maxima duarum M n. Quod si faerit aequatalis vel major, erit lx in in xy-Hiix majus quam x', liniu i major erit quam x, d magis si fuerit a minor quam maxima duarum in den. Quar n erit necessario major quam x. Praeterea in erit aut Alualis , aut major, aut minor quam . Quod si fuerit aequalis aut major, Mouidem v maior quam ii, crat radix aequationis propositae inter hosce terminos

'S M. Aod si ea istente vi aequali aut majore quamus, ctiam in sit aequasi Vel major quam x erit&lmi ix iii '